高等数学上册课件

高等数学电子教案高等数学电子教案 中国石油大学中国石油大学（华东）（华东）理学院基础数学系理学院基础数学系 金贵荣金贵荣 前 言高等数学的基本内容和方法 几 点 要 求电话：电话：15020063032高等数学练习册高等数学练习册发放时间、地点及相关要求：发放时间、地点及相关要求：时时 间：星期二、三、五（间：星期二、三、五（9 9月月2020、2121、2323日）日）下午下午 3 3：00 500 5：0000地地 点：文理楼点：文理楼 237 237 室室联系人：李联系人：李 明明 （电话（电话1525420501115254205011）要要 求：每个班所有同学都要买练习册，由班长统求：每个班所有同学都要买练习册，由班长统一收好钱（最好是整钱，建议在班费中支）在上述一收好钱（最好是整钱，建议在班费中支）在上述高等数学练习册高等数学练习册每本售价：每本售价：1717元元规定时间内购买。规定时间内购买。第一章第一章 函数与极限函数与极限 1.1 1.1 函数的概念及其初等性质函数的概念及其初等性质 1.2 1.2 数列极限数列极限 1.3 1.3 函数极限函数极限 1.4 1.4 无穷小与无穷大无穷小与无穷大 1.5 1.5 函数连续性函数连续性 1.6 1.6 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 1.1 函数的概念及其初等性质1.1.1 预 备 知 识1.1.一些常用的符号一些常用的符号2.2.实数集实数集有理数集有理数集 的稠密性：的稠密性：任意两任意两个不同的有理数个不同的有理数 之间都有无穷多之间都有无穷多个有理数个有理数（无理数集、实数集）（无理数集、实数集）（无理数、实数）（无理数、实数）（无理数、实数）。（无理数、实数）。实数集的连续性：实数集的连续性：实数集与数轴上点的集合之间建实数集与数轴上点的集合之间建立立一一 一对应一对应关系。关系。实数集是连续的实数集是连续的或完备的。或完备的。“”“”3.3.常用不等式常用不等式:绝对值绝对值:三角不等式三角不等式(平均值不等式平均值不等式)(调和平均值调和平均值)(几何平均值几何平均值)(算术平均值算术平均值)（证明略）（证明略）更一般地，更一般地，4.4.邻域邻域:1.1.2 函数的概念一一.函数的定义函数的定义定义函数传统的习惯符号：函数传统的习惯符号：注意：一个函数也可以在其定义域的不同部分分别一个函数也可以在其定义域的不同部分分别用不同的解析式子表示，则称之为用不同的解析式子表示，则称之为分段定义的函数分段定义的函数，简称简称分段函数分段函数 .有些特殊的函数有些特殊的函数只能用语言来描述对应法则只能用语言来描述对应法则 ，并用约定的符号予以表示并用约定的符号予以表示:称为称为取整函数取整函数例如：例如：5.3=-4.9=（求极限时有用求极限时有用）1 2 3 4 5 -2-4 -4 -3 -2 -1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线称为称为非负小数部分函数非负小数部分函数 例例3 符号函数符号函数例例4 狄利克莱狄利克莱 函数函数1-1xyo有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo例例5 黎曼黎曼 函数函数1xyo三三.函数的初等性质函数的初等性质1函数的有界性函数的有界性定理定理证证2函数的单调性函数的单调性xyo()（减）（减）xyoxyoxyo3函数的奇偶性函数的奇偶性证证偶函数偶函数奇函数奇函数4函数的周期性函数的周期性定义 常常 用用 结结 果果 1.1.3 复合函数和反函数1.复合函数复合函数 定义注意注意:2.反函数反函数不一定！不一定！定义结论：结论：关关系系注意：求反函数的方法：解解定理证明略证明略注意：1xyo12-1-121.1.4 初 等 函 数基本初等函数（基本初等函数（6类）：类）：常值函数、幂函数、指数常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数函数、对数函数、三角函数、反三角函数.1.常值函数常值函数2.幂函数幂函数3.指数函数指数函数4.对数函数对数函数5.三角函数三角函数6.反三角函数反三角函数由基本初等函数经过由基本初等函数经过有限有限次四则运算和次四则运算和有限有限次次复合运算所构成的并且可以用复合运算所构成的并且可以用一个式子一个式子表示的函数表示的函数,统称为统称为初等函数初等函数.双双 曲曲 函函 数数都都是是初初等等函函数数解解解解1.2 数 列 极 限一一.数列极限的定义数列极限的定义数列是整标函数数列是整标函数:注意注意：数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一动可看作一动点在数轴上依次取点在数轴上依次取问题问题:意味着什么意味着什么?如何用如何用数学语言定量数学语言定量地刻划它地刻划它.定义定义1定义定义2注意注意:用用 定义定义”验证数列极限，验证数列极限，关关键是如何由任意给定的键是如何由任意给定的 寻找寻找 N？具体方法：具体方法：例例1证证例例2证证注注:例例3证证证证综合之，故综合之，故二二.收敛数列的性质和运算收敛数列的性质和运算定理定理1 1（唯一性唯一性）证证由定义由定义,证毕证毕定理定理2 2（有界性有界性）证证由定义由定义,证毕证毕 子数列的概念子数列的概念定义定义 左向右左向右任意任意选取选取无穷多项无穷多项，并按它们在原数，并按它们在原数列中的次序排成一个列中的次序排成一个新的数列新的数列，表为：，表为：简称简称子列子列.定理定理 3 3证证证毕证毕推论推论 1推论推论 2证证证毕证毕定理定理4 4（四则运算四则运算）注意注意:四则运算只对四则运算只对有限有限个个收敛收敛数列而言，否则数列而言，否则不能用不能用 .无穷多个收敛无穷多个收敛数列数列 这是错误的这是错误的.例例5 求下列极限求下列极限解解三三.数列收敛的判别数列收敛的判别定理定理5 5（迫敛性迫敛性或或两边夹定理两边夹定理）证证证毕证毕例例6 6解解由两边夹定理，由两边夹定理，练练习习册册 习习题题7例例7 7解解由两边夹定理，由两边夹定理，单单 调调 数数 列列定理定理6 6（单调有界原理单调有界原理）（证明略证明略）上界上界 下界下界 例例8 8证证例例9 9证证计算可得：计算可得：1.3 1.3 函函 数数 的的 极极 限限一.函数在有限点处的极限一般地有一般地有定义定义1几何解释几何解释:单侧极限单侧极限:例如例如,左极限左极限右极限右极限定理定理左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例1证证例例2 2解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,用用 定义定义”验证函数极限验证函数极限:关键是如何由关键是如何由 寻找寻找？具体方法：具体方法：证证证证证证问题问题:如何用数学语言刻划两个如何用数学语言刻划两个“无限趋近无限趋近”.二.函数在无穷远处的极限定义定义2定理定理1几何解释几何解释:用用 定义定义”验证函数极限验证函数极限:关键是如何由关键是如何由 寻找寻找？具体方法：具体方法：证证证证证证三三.函数极限的性质和运算函数极限的性质和运算性质性质1 1（唯一性唯一性）性质性质2 2（局部局部有界性有界性）证证证毕证毕性质性质3 3（局部保号性局部保号性）证证证毕证毕性质性质4 4（四则运算四则运算）（证明略）（证明略）注注：四则运算对四则运算对有限个存在极限有限个存在极限的函数而言的函数而言.性质性质5 5（极限极限不等式不等式）证证注意注意:性质性质6 6（迫敛性迫敛性或或两边夹定理两边夹定理）性质性质7 7（海涅海涅(Heine,1821-1881,(Heine,1821-1881,德德 )定理定理）（证明略）（证明略）注注：海涅定理揭示了函数极限与数列极限的关系海涅定理揭示了函数极限与数列极限的关系.（证明略）（证明略）推论推论:(判断判断 不存在的方法不存在的方法 )证证性质性质8 8（极限的变量代换极限的变量代换）（证明略）（证明略）四四.两两 个个 重重 要要 极极 限限(1)1证证(证毕证毕(2)证证证毕证毕 1.4 无穷小与无穷大定义定义1 一一.无穷小及其性质无穷小及其性质定理定理1 1（一般极限一般极限与与无穷小无穷小的关系的关系）定理定理2 2 解解解解 二二.无穷小阶的比较无穷小阶的比较极限不同极限不同,反映了趋向于反映了趋向于 0 的的“快慢快慢”程度不同程度不同.观观察察各各极极限限定义定义2 2常用等价无穷小常用等价无穷小定理定理3 3证证证毕证毕定理定理4 4(乘积因子乘积因子等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理 )证证证毕证毕注意：注意：只能只能对函数的对函数的乘积因子乘积因子作等价无穷小代作等价无穷小代换换.对于对于代数和代数和中各无穷小中各无穷小不能不能作等价作等价无穷小代换无穷小代换 .否则，否则，因丢失高阶无穷小因丢失高阶无穷小，而导致而导致错误的结果错误的结果 .错误结果错误结果！导致导致错误的结果错误的结果 .三三.无穷大及其性质无穷大及其性质定义定义3 3性质（性质（无穷大与无穷小的关系无穷大与无穷小的关系）注意注意:无穷大量无穷大量 无界量无界量（证明略）（证明略）定义定义4 41.5 连 续 函 数一一.函函 数数 的的 连连 续续定义定义1 1（增量式定义）（增量式定义）例例1 1证证定义定义2 2定理定理例例2 2 讨论下列函数在指定点的连续性：讨论下列函数在指定点的连续性：右不连续右不连续 左连续左连续 解解(函数在区间的连续性函数在区间的连续性)连续函数的图形是一条连续不断的曲线连续函数的图形是一条连续不断的曲线.定义定义3 3例例3 3证证例例4 4证证二二.间断点及其分类间断点及其分类第第 一一 类类 间间 断断 点点特点特点:第第 二二 类类 间间 断断 点点例例5 5解解解解解解解解解解三三.连续函数的运算连续函数的运算(四则运算四则运算)定理定理1 1（证明从略）（证明从略）在其定义域区间上都连续在其定义域区间上都连续 .在其定义域区间上都连续在其定义域区间上都连续 .(反函数的连续性反函数的连续性)定理定理2 2（证明略）（证明略）在其定义域区间上都连续在其定义域区间上都连续 .在其定义域区间上都连续在其定义域区间上都连续 .结论：结论：常值函数、有理函数、三角函数、常值函数、有理函数、三角函数、反三角函数、指数函数、对数函数在其反三角函数、指数函数、对数函数在其定定义域区间义域区间上都连续上都连续 .(复合函数的连续性复合函数的连续性)定理定理3 3极限符号可以进入到连续函数的函数符号极限符号可以进入到连续函数的函数符号内，它对求复合函数的极限是很有用的内，它对求复合函数的极限是很有用的.（证明略）（证明略）一般结论：一般结论：四四.初初 等等 函函 数数 的的 连连 续续 性性 结论：结论：初等函数在其初等函数在其定义域区间定义域区间上连续上连续 .基本初等函数：基本初等函数：常值函数、幂函数、指数函常值函数、幂函数、指数函 其其定义域区间定义域区间上都连续上都连续 .、反三角函数在、反三角函数在 函数、对数函数、三角函数函数、对数函数、三角函数 注意：注意：1.初等函数仅在其初等函数仅在其定义域区间定义域区间上上连续连续,例如：例如：函数在这些函数在这些孤立点孤立点的空心邻域内没有定义的空心邻域内没有定义，因此在这些因此在这些孤立点无法讨论其连续性孤立点无法讨论其连续性.在其在其定义域定义域内内不一定连续不一定连续.又如：又如：函数在函数在 0 点点的空心邻域内没有定义的空心邻域内没有定义，因此在，因此在 0 点无法讨论其连续性点无法讨论其连续性；例例6 6例例7 7解解(i)(ii)1.6 1.6 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质性质性质1 1（有界性）（有界性）注意注意:若区间是开若区间是开区间区间,或闭区间内或闭区间内有间断点有间断点,则则 结论结论不一定成立不一定成立.（证明略）（证明略）性质性质2 2（最值性）（最值性）注意注意:若区间是开若区间是开区间区间,或闭区间内或闭区间内有间断点有间断点,则则 结论结论不一定成立不一定成立.（证明略）（证明略）性质性质3 3（零点定理或根的存在定理）（零点定理或根的存在定理）几何解释几何解释:（证明略）（证明略）注意注意:性质性质 3 只是保证了根的存在性，并没有给只是保证了根的存在性，并没有给 出根的求法出根的求法.例例8 8证证性质性质4 4（介值定理）（介值定理）Mmab几何解释几何解释:证证再由性质再由性质 3,证毕证毕Mmab例例9 9证证