高等数学D-第3章导数与微分教学课件

第三章第三章 导数与微分导数与微分3.1 导数的概念导数的概念3.3 导数公式导数公式 导数运算法则导数运算法则3.2 函数的可导性与连续性函数的可导性与连续性3.4 导数的实际应用导数的实际应用3.5 高阶导数高阶导数3.6 微分的概念微分的概念3.7 微分公式和法则微分公式和法则3.8 微分的应用微分的应用1问题问题1 1直线运动的瞬时速度问题直线运动的瞬时速度问题一质点作直线运动一质点作直线运动,已知路程已知路程 s 与时间与时间 t 的的试确定试确定t0时刻的时刻的瞬时速度瞬时速度v(t0).平均速度平均速度解解若运动是若运动是匀速的匀速的,瞬时速度就等于平均速度。瞬时速度就等于平均速度。关系关系质点走过的路程质点走过的路程,00tttD D+从时刻从时刻3.1 导数的概念导数的概念差商差商2它越近似表它越近似表定义为定义为并称之为并称之为t0时的时的瞬时速度瞬时速度v(t0).若运动是若运动是非匀速非匀速的的,平均速度平均速度就是这段就是这段时间内运动快慢的平均值时间内运动快慢的平均值,越小越小,明明 t0 时刻运动的快慢时刻运动的快慢.因此因此,人们把人们把 t0时的速度时的速度0limD Dt3问题问题2 2割线的极限位置割线的极限位置对于一般曲线如何定义其切线呢对于一般曲线如何定义其切线呢?曲线的切线斜率问题曲线的切线斜率问题若已知平面曲线若已知平面曲线如何作过如何作过的切线呢？的切线呢？切线位置切线位置.曲线上点曲线上点法国法国数学家费马数学家费马1629年提出了如下的定义和求法年提出了如下的定义和求法,从而圆满地解决了这个问题从而圆满地解决了这个问题.5处切线的斜率处切线的斜率.已知曲线的方程已知曲线的方程确定点确定点 MN为割线，当点为割线，当点N沿沿曲线趋于点曲线趋于点M时时,现在来解决以下问题：现在来解决以下问题：则则MT为点为点M处的处的如图如图,MN旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,切线切线.6割线割线MN的斜率为的斜率为切线切线MT的的斜率斜率为为差商差商差商的极限差商的极限0limxx7定义定义二、二、导数的定义导数的定义存在存在,则称函数在点则称函数在点如果函数在如果函数在 处的差商处的差商的极限的极限可导，可导，并称这个极限为函数并称这个极限为函数或或记为记为处不可导或导数不存在处不可导或导数不存在.当极限当极限(1)式不存在时式不存在时,就说函数就说函数 f(x)在在x010注注写成多种形式写成多种形式:导数定义可以导数定义可以或令或令则则(2)(3)(1)11关于导数的说明关于导数的说明点导数点导数是函数在点是函数在点x0处的变化率处的变化率,它反映了函数它反映了函数随自变量的变化而变化的快慢程度，随自变量的变化而变化的快慢程度，即即函数的变化率函数的变化率.无论何种形式，其本质在于无论何种形式，其本质在于(1)函数增量与自变量增量之比；函数增量与自变量增量之比；(2)变化过程为自变量增量趋近于零变化过程为自变量增量趋近于零.12(1)(1)变变速直线运动的物体在速直线运动的物体在 的瞬时速度的瞬时速度 是路程函数是路程函数 在点在点 处的导数，即处的导数，即(2)(2)曲线曲线 在在 的切线斜率的切线斜率k k 是函数是函数 处的导数，处的导数，即即有了导数的概念，则有了导数的概念，则13特别地特别地:即即三、导数的几何意义三、导数的几何意义由切线问题，由切线问题，切线的斜率就是极限值切线的斜率就是极限值)(,()(,0)()1(000 xfxxfyxf在点在点则曲线则曲线若若=;轴轴的切线平行于的切线平行于Ox1415例例 求函数求函数 在在 处的导数处的导数.解：解：按照导数定义的按照导数定义的另一种形式另一种形式：处的导数：处的导数：在在 1635例例 用导数表示下列极限用导数表示下列极限解解解解17如果函数如果函数y=f(x)在在开区间开区间 I 内的每点处都可内的每点处都可导导,就称函数就称函数 f(x)在开区间在开区间 I 内可导内可导.四、导函数四、导函数定义定义3.2记作记作 对于任一对于任一都对应着都对应着 f(x)的一个确定的的一个确定的导数值导数值.这个函数称为这个函数称为f(x)的的导函数导函数.导函数简称为导函数简称为导数导数.从而确定了一个以从而确定了一个以x为自变量，以导数值为为自变量，以导数值为因变量因变量的新的函数，的新的函数，18注注或或函数在某点的函数在某点的导数就是导函导数就是导函数在这点的函数在这点的函数值数值根据导数的定义，根据导数的定义，19例例解解五、求导举例五、求导举例(几个基本初等函数的导数几个基本初等函数的导数)步步 骤骤 即即20例例解解更一般地更一般地如如即即21例例解解即即同理可得同理可得课下练习课下练习22例例解解即即23例例解解即即243.1 导数的概念小结导数的概念小结1.导数定义导数定义(2)(3)(1)252.导数意义导数意义263.2 函数的可导性与连续性函数的可导性与连续性一定不可导一定不可导.从右图可见，在从右图可见，在 处没有切线因而不可导，处没有切线因而不可导，处连续处连续.从左图可见，函数在点从左图可见，函数在点 处不连续，处不连续，没有切线，没有切线，却在却在27定理定理3.1证明：证明：即即从而从而3.2 函数的可导性与连续性函数的可导性与连续性该定理的逆定理不一定成立该定理的逆定理不一定成立.注注28例例 讨论函数讨论函数 在在 x=0处的连续性和处的连续性和可导性可导性.解解 在在x=0处的连续性是显然的处的连续性是显然的.但在但在x=0处，由于处，由于所以是不可导的所以是不可导的.函数在此点处，是不是不存在切线？函数在此点处，是不是不存在切线？事实上，在此点处，函数存在铅直的切线！事实上，在此点处，函数存在铅直的切线！29例例解解30如如,该定理的逆定理不一定成立该定理的逆定理不一定成立.注注连续是可导的必要条件连续是可导的必要条件,不是可导的充分条件不是可导的充分条件.317分段函数求导分段函数求导函数导数的公式函数导数的公式 是一个极限式，是一个极限式，和右极限的概念和右极限的概念.也有左极限也有左极限左极限左极限 的的左导数左导数，称为函数在点称为函数在点 记作记作右极限右极限 的的右导数右导数，称为函数在点称为函数在点 记作记作32如果左、右导数不存在或存在但不相等，都称函数如果左、右导数不存在或存在但不相等，都称函数 在点在点 的导数不存在的导数不存在.直观上，曲线在这一点没有切线，导数就不存在直观上，曲线在这一点没有切线，导数就不存在.33例例 求西瓜的价格函数求西瓜的价格函数 的导数的导数.解：解：在在 就是西瓜的单价就是西瓜的单价.导数导数在分段点在分段点 ，右导数右导数左导数左导数不存在不存在.结论结论:的导数不存在的导数不存在.事实上函数在事实上函数在不连续，不连续，因此一定不可导因此一定不可导.注：注：在在函数在点函数在点34连续连续 可导可导3.2 函数的可导性与连续性小结函数的可导性与连续性小结连续是可导的必要条件连续是可导的必要条件,不是可导的充分条件不是可导的充分条件.353.3 导数公式导数公式 导数运算法则导数运算法则1.常数和基本初等函数的导数公式（第常数和基本初等函数的导数公式（第48页）页）363.反函数的求导法则反函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则2.函数的线性组合、积、商的求导法则函数的线性组合、积、商的求导法则5、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则6、对数求导法、对数求导法7、分段函数求导、分段函数求导1.常数和基本初等函数的导数公式（第常数和基本初等函数的导数公式（第48页）页）3.3 导数公式导数公式 导数运算法则导数运算法则372.函数的线性组合、积、商的求导法则函数的线性组合、积、商的求导法则38例例解解例例 解：解：求的导数求的导数40例例解解41例例解解课下练习课下练习即即42例例解解课下练习课下练习即即xxxcotcsc)(csc.-=43解解 法一法一法二法二443.反函数的求导法则反函数的求导法则且且,内也可导内也可导xI事实上，在点事实上，在点 的切线与的切线与x x轴和轴和y y轴的夹角轴的夹角 的和是的和是 ，所以，所以45例例解解同理可得同理可得单调、可导单调、可导,直接函数直接函数 反函数反函数 463.3 导数公式导数公式 导数运算小结导数运算小结1.常数和基本初等函数的导数公式（第常数和基本初等函数的导数公式（第48页）页）473.反函数的求导法则反函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则2.函数的线性组合、积、商的求导法则函数的线性组合、积、商的求导法则5、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则 将方程两边同时对将方程两边同时对x求导求导.6、对数求导法、对数求导法 等式两边取对数等式两边取对数7、分段函数求导、分段函数求导左、右导数定义左、右导数定义48 链导法则链导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则可导可导,且其导数为且其导数为或或因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间等于因变量对中间变量求导变量求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.,)(可导可导在点在点如果函数如果函数xxgu=,)(可导可导在点在点xgu=xxgfy在点在点则复合函数则复合函数)(=49推广推广例例解解uyddvudd.ddxvxudd51例例解解52例例解解例例解解53例例证明幂函数的导数公式：证明幂函数的导数公式：证明：证明：54对于方程对于方程 当当x取某一个取某一个值时，值时，如果总有满足方程的如果总有满足方程的唯一唯一的的 y 值存在，值存在，就说就说方程方程 确定了一个确定了一个隐函数隐函数.函数函数称为称为显函数显函数.5、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则回顾回顾:隐函数的显化有时很困难，甚至不可能！隐函数的显化有时很困难，甚至不可能！但在实际的计算中，但在实际的计算中，有时需要计算隐函数的导数有时需要计算隐函数的导数.所以，所以，必须找到一种不经过显化而求隐函数的导必须找到一种不经过显化而求隐函数的导数的方法数的方法.55例例(1)(1)求由圆的方程求由圆的方程 （2 2）求）求 处曲线切线的斜率处曲线切线的斜率.（1 1）确定的隐函数的导数确定的隐函数的导数将方程两边同时对将方程两边同时对x求导求导,因为因为y是是x的函数的函数,是是x的复合函数的复合函数.所以所以得得整理得到整理得到解：解：56处，对于圆的上半支曲线处，对于圆的上半支曲线 切线斜率是切线斜率是 对圆的下半支曲线对圆的下半支曲线 切线斜率是切线斜率是 （2 2）求）求 处曲线切线的斜率处曲线切线的斜率.57练习练习解解将方程两边同时对将方程两边同时对x求导求导.因为因为y是是x的函数的函数,是是x的复合函数的复合函数,所以所以左边对左边对x求导得求导得方程右边对方程右边对x求导得求导得0.所以所以即即59作为隐函数求导法的一个简单应用作为隐函数求导法的一个简单应用,介绍介绍 对数求导法对数求导法,它可以利用对数性质使某些函数的求导变得更为简单它可以利用对数性质使某些函数的求导变得更为简单.对数求导法对数求导法对数求导法对数求导法先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导法然后利用隐函数的求导法求出导数求出导数.6、对数求导法、对数求导法60解解例例当当0 x 1时，等式两边取对数得时，等式两边取对数得 隐函数隐函数61例例解解 等式两边取对数得等式两边取对数得627、分段函数求导、分段函数求导函数导数的公式函数导数的公式 是一个极限式，是一个极限式，和右极限的概念和右极限的概念.也有左极限也有左极限左极限左极限 的的左导数左导数，称为函数在点称为函数在点 记作记作右极限右极限 的的右导数右导数，称为函数在点称为函数在点 记作记作65如果左、右导数不存在或存在但不相等，都称函数如果左、右导数不存在或存在但不相等，都称函数 在点在点 的导数不存在的导数不存在.直观上，曲线在这一点没有切线，导数就不存在直观上，曲线在这一点没有切线，导数就不存在.66例例 求西瓜的价格函数求西瓜的价格函数 的导数的导数.解：解：在在 就是西瓜的单价就是西瓜的单价.导数导数在分段点在分段点 ，右导数右导数左导数左导数不存在不存在.结论结论:的导数不存在的导数不存在.事实上函数在事实上函数在不连续，不连续，因此一定不可导因此一定不可导.注：注：在在函数在点函数在点673.4 3.4 导数的实际应用导数的实际应用1.变化率变化率表示自变量在以表示自变量在以 和和 为端点的区间里为端点的区间里函数函数的平均变化量，的平均变化量，平均变化率平均变化率.当当 时，时，在在 反映了函数反映了函数 的变化率的变化率.慢程度慢程度.差商差商每变动一个单位时，每变动一个单位时，因此因此差商差商就是就是称为函数称为函数随自变量随自变量在在的变化而变化的快的变化而变化的快68速度速度 的变化率：的变化率：意义是意义是 单位时间质点经过的距离单位时间质点经过的距离.是路程是路程 对时间对时间 例如：例如：加速度加速度 单位时间质点改变的速度；单位时间质点改变的速度；是速度是速度 对时间对时间 的变化率：的变化率：意义是意义是在热力学中，热容量在热力学中，热容量 温度改变温度改变1个单位时从外界吸收或放出的热量；个单位时从外界吸收或放出的热量；是热量是热量 对温度对温度 的变化率：的变化率：意义是：意义是：69在生物学中，动物体重的增长速率是体重在生物学中，动物体重的增长速率是体重 对时间对时间 的变化率：的变化率：（单位时间体重的改变量）（单位时间体重的改变量）在环境评价学中，在环境评价学中，垂直递减率：垂直递减率：（每单位距离（一般是（每单位距离（一般是100m）气温的增加量或减少量）气温的增加量或减少量）随高度随高度 气温气温变化的气温变化的气温70表格给出的函数如何估计变化率表格给出的函数如何估计变化率某种植物每某种植物每10天测量的植株的高度天测量的植株的高度 通过表格给出：通过表格给出：利用利用差商差商来估计函数在每点的来估计函数在每点的变化率变化率.栽后天数2030405060708090100 植株高度 cm 6.612.319.841.255.061.266.068.570.5设函数是设函数是 则在时间则在时间 差商是差商是 的值就代表各点的变化率值的值就代表各点的变化率值.其中其中 用这个式子计算用这个式子计算72例如第例如第20天的变化率：天的变化率：（cm/天）天）它表示在第它表示在第20天时，植株每天大约增长天时，植株每天大约增长0.57cm.73 3.4 导数的实际应用小结导数的实际应用小结导数称为变化率导数称为变化率 表示函数表示函数 对自变量对自变量x的变化率。的变化率。74问题问题:变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.定义定义这就是二阶导数的物理意义这就是二阶导数的物理意义3.5 高阶导数高阶导数二阶导数二阶导数.记作记作75三阶导数的导数称为三阶导数的导数称为二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为二阶导数的导数称为二阶导数的导数称为高阶导数高阶导数.三阶导数三阶导数,四阶导数四阶导数,n阶导数阶导数,记作记作一般地一般地,76例例解解 由高阶导数的定义由高阶导数的定义,欲求函数的高阶导数欲求函数的高阶导数,只需按求导法则和基本公式一阶阶的算下去只需按求导法则和基本公式一阶阶的算下去,而而不需要新的方法不需要新的方法.77例例解解几个基本初等函数的几个基本初等函数的n阶导数阶导数 则则幂函数幂函数 78例例解解 分析分析此函数是此函数是6次多项式次多项式,故不需将函数因式全乘出来故不需将函数因式全乘出来.因为因为其中其中为为x的的5次多项式次多项式,故故又是求又是求6阶导数阶导数,79例例解解同理可得同理可得即即三角函数三角函数 80例例解解例例解解指数函数指数函数 对数函数对数函数 81几个常用高阶导数公式几个常用高阶导数公式82例例解解22)1(1)2(1-=xxy83 3.5 高阶导数小结高阶导数小结二阶导数二阶导数.86相关变化率相关变化率P66 18题题 细胞体积增长细胞体积增长 球形细胞以常速每天增加体积400。当它的半径是10时，它的半径增长速度是多少？分析分析两边分别对两边分别对t求导求导87导数导数微分微分导数与微分导数与微分表示函数在一点处由自变量所引起表示函数在一点处由自变量所引起的函数变化的快慢程度的函数变化的快慢程度.是函数在一点处由于自变量微小变化是函数在一点处由于自变量微小变化所引起的改变量的近似值所引起的改变量的近似值.有着密切的联系有着密切的联系.3.6 3.6 微分的概念微分的概念88正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.1.问题的引出问题的引出实例实例的线性的线性(一次一次)函数函数,很小时可忽略很小时可忽略.的高阶无穷小的高阶无穷小,89再如再如,90定义定义2.微分的定义微分的定义如果增量如果增量则称函数则称函数可微可微.记作记作微分微分,并称并称为函数为函数线性主部线性主部)()(0 xoxxfD D+D D 91 称为函数称为函数的微分的微分,记作记作注注（2）由于）由于,)()1(的微分的微分在任意点在任意点函数函数xxfy=92设设 导数称为微商导数称为微商(3)(3)解解称为自变量的微分称为自变量的微分.93从而从而定理定理证明：证明：)0,0(D Da ax94例例32.设设 求函数的增量与微分求函数的增量与微分.解：解：代入代入 得到得到 例例33.求函数的增量与微分求函数的增量与微分.解：解：95例例30.药物反应药物反应与剂量与剂量 有如下有如下 关系：关系：将敏感度定义为反映程度对剂量的变化率将敏感度定义为反映程度对剂量的变化率 解：解：假设注射某种药物的反应程度假设注射某种药物的反应程度 表示表示剂量每增加一个单位剂量每增加一个单位，反映程度反映程度的增加值的增加值近似近似为为227500单位；单位；96几何意义几何意义(如图如图)3.微分的几何意义微分的几何意义增量增量,增量增量;是曲线的纵坐标是曲线的纵坐标是是切线切线对应的对应的纵坐标纵坐标99求法求法1.基本微分公式基本微分公式 P583.7 微分公式与运算法则微分公式与运算法则计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1001012.导数运算法则和对应的微分运算法则导数运算法则和对应的微分运算法则102例例解解例例解解103 求函数求函数 的微分的微分.按微分运算法则，有按微分运算法则，有例例解解104结论结论微分形式的不变性微分形式的不变性3.复合函数求微分的法则复合函数求微分的法则无论无论x 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量,函数函数的微分形式总是的微分形式总是105例例解解 法一法一 用复合函数求导公式用复合函数求导公式法二法二 用微分形式不变性用微分形式不变性106例例例例解解107例例解解在括号中填入适当的函数在括号中填入适当的函数,使等式成立使等式成立.108例例解解两边求微分，两边求微分，109例例解解两边取对数，两边取对数，两边求微分两边求微分110微分的应用微分的应用1.2.3.111例例解解3.8 3.8 微分的应用微分的应用1.计算函数增量的近似值计算函数增量的近似值,很小时很小时且且xD D112115常用的几个一次近似式常用的几个一次近似式;111)1(xnx+116例例解解(1)(2)xnx111+118定义定义由于测量仪器的精度、条件和方法等各种由于测量仪器的精度、条件和方法等各种因素的影响因素的影响,测得的数据往往带有误差测得的数据往往带有误差,带有误差的数据计算所得的结果也会有误差带有误差的数据计算所得的结果也会有误差,把它叫做把它叫做间接测量误差间接测量误差.的的绝对误差绝对误差.的的相对误差相对误差.3.误差估计误差估计而根据而根据那末那末叫做叫做叫做叫做,A如果某个量的精度值为如果某个量的精度值为,a它的近似值为它的近似值为的比值的比值而绝对误差与而绝对误差与A119根据直接测量的根据直接测量的x值按公式值按公式计算计算y值时值时,测量值测量值x的误差的误差 我们常有必要来计算我们常有必要来计算 y的的绝对误差绝对误差约为约为和和y的的相对误差相对误差约为约为一般一般,一定会引起一定会引起y的误差的误差|ydyyy D D120例例解解体积体积y的的绝对误差绝对误差不大于不大于面积面积y的的相对误差相对误差为为,001.0的绝对误差为的绝对误差为半径半径x=D D=xp p4121可导可导 可微可微 3.5 微分小结微分小结1.微分定义微分定义2.2.定理定理3.微分公式与运算法则微分公式与运算法则 P584 4 微分的应用微分的应用122xiexie!xiexie!谢谢！谢谢！xiexie!xiexie!谢谢！谢谢！