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3.1 3.1 导数的概念导数的概念第三章第三章 导数与微分导数与微分3.2 3.2 求导法则求导法则3.3 3.3 基本导数公式与高阶导数基本导数公式与高阶导数3.4 3.4 函数的微分函数的微分3.5 3.5 导数在经济学中的简单应用导数在经济学中的简单应用13.1 导数的概念导数的概念一、导数产生的背景一、导数产生的背景二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义五、函数的可导性与连续性的关系五、函数的可导性与连续性的关系四、单侧导数四、单侧导数2一、导数产生的背景一、导数产生的背景变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为设描述质点运动位置的函数为则则 到到 的的平均速度平均速度为为而在而在 时刻的时刻的瞬时速度瞬时速度为为自由落体运动自由落体运动物理背景物理背景3 平面曲线上切线的概念平面曲线上切线的概念割线割线MQ切线切线MT切点切点曲线的切线斜率曲线的切线斜率数学背景数学背景4曲线曲线在在 M 点处的切线点处的切线割线割线 M N 的极限位置的极限位置 M T(当当 时时)割线割线 M N 的斜率的斜率切线切线 MT 的斜率的斜率5瞬时速度瞬时速度切线斜率切线斜率所求量为所求量为函数增量函数增量与与自变量增量自变量增量之比的极限之比的极限.共性？共性？6二、导数的定义二、导数的定义7由定义求导数（由定义求导数（三步法三步法）89k 0为常数为常数.如果函数如果函数 f(x)在点在点 x0 处可导处可导,反之是否成立？反之是否成立？不成立！不成立！10导数的几何意义导数的几何意义11x 轴轴、或、或不存在不存在,反映出点反映出点 x0 处的处的导数值也是导数值也是三种情况三种情况。y O x x0 y=c f (x0)=0 y O x f (x0)=x0 O xyx0 y O x x0f (x0)不存在不存在f (x0)不存在不存在切线平行于切线平行于x 轴：轴：切线垂直于切线垂直于x 轴：轴：无切线无切线：无切线无切线：曲线曲线 y=f(x)在点在点 x0 处的切线可能处的切线可能平行于平行于x 轴轴、垂直垂直于于 12瞬时速度瞬时速度切线斜率切线斜率类似问题还有类似问题还有:加速度加速度角速度角速度线密度线密度电流强度电流强度是是速度增量速度增量与与时间增量时间增量之比的极限之比的极限是是转角增量转角增量与与时间增量时间增量之比的极限之比的极限是是质量增量质量增量与与长度增量长度增量之比的极限之比的极限是是电量增量电量增量与与时间增量时间增量之比的极限之比的极限变变化化率率问问题题1314 先求导、后代值！先求导、后代值！15解解:即即 通常说成：通常说成：常数的导数为零常数的导数为零.16 练习练习 求函数求函数的导数的导数.解解:即即类似可证得类似可证得和差化积和差化积等价无穷小等价无穷小或重要极限或重要极限17等价无穷小代换等价无穷小代换解解:18例如，例如，19解解:等价无穷小代换等价无穷小代换20等价无穷小替代等价无穷小替代故故解解:2122三、导数的几何意义三、导数的几何意义曲线曲线在点在点的切线斜率为的切线斜率为23解解:即即故点故点(3,9)的切线方程为：的切线方程为：即即点点(3,9)的法线方程为：的法线方程为：24解解:25四、四、单侧导数单侧导数26连续不一定可导！连续不一定可导！判断可导性判断可导性:用导数定义！用导数定义！27解解28逆否命题是？逆否命题是？五、函数的可导性与连续性的关系五、函数的可导性与连续性的关系可导必连续！可导必连续！29解解30 f(x)在 x=0 处可导,从而 f(x)=1+bx,x0e x,x 0f(0)=1 f(x)在 x=0 处连续,f(0)=a.设a+bx,x0求 a,b 之值.e x,x 0y=在 x=0 可导,例例11.解解:31由可导性：故 b=1,此时函数为f(x)=1 x,x 0e x,x 03233求求解解:方法方法1 利用导数定义利用导数定义.方法方法2 利用求导公式利用求导公式.练习练习1 设设34内容小结内容小结1.导数的实质导数的实质:3.导数的几何意义导数的几何意义:4.可导必连续可导必连续,但连续不一定可导但连续不一定可导;5.已学求导公式已学求导公式:2.增量比的极限增量比的极限;切线的斜率切线的斜率;6.判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.35
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