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第一章第一章 函数与极限函数与极限（一）函数的定义（一）函数的定义（二）极限的概念（二）极限的概念（三）连续的概念（三）连续的概念一、主要内容一、主要内容函函 数数的定义的定义反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数函函 数数的性质的性质单值与多值单值与多值奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性双双曲函数与曲函数与反双曲函数反双曲函数1 1、函数的定义、函数的定义函数的分类函数的分类函函数数初初等等函函数数非初等函数非初等函数(分段函数分段函数,有无穷多项等函数有无穷多项等函数)代代数数函函数数超越函数超越函数有有理理函函数数无理函数无理函数有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分函数有理分函数(分式函数分式函数)(1)单值性与多值性单值性与多值性:2 2、函数的性质、函数的性质(2)函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数奇函数奇函数yxo(3)函数的单调性函数的单调性:设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D，区间区间I D，如果对于区间如果对于区间I上上任意两点任意两点 及及 ，当，当 时，恒有：时，恒有：(1),则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是单调增加的单调增加的；或或(2),则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是单调递减的单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调增加和单调减少的函数统称为单调函数单调函数。(4)函数的有界性函数的有界性:设函数设函数 f(x)的定义域为的定义域为D，如果存在一个不为零的如果存在一个不为零的数数l,使得对于任一使得对于任一 ,有有 .且且 f(x+l)=f(x)恒成立恒成立,则称则称f(x)为为周期函数周期函数,l 称为称为 f(x)的的周期周期.（通（通常说周期函数的周期是指其最小正常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.(5)函数的周期性函数的周期性:oyx3 3、反函数、反函数4 4、隐函数、隐函数5、反函数与直接函数之间的关系、反函数与直接函数之间的关系6 6、基本初等函数、基本初等函数1）幂函数幂函数2）指数函数）指数函数3）对数函数）对数函数4）三角函数）三角函数5）反三角函数）反三角函数7 7、复合函数、复合函数8 8、初等函数、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.9 9、双曲函数与反双曲函数、双曲函数与反双曲函数双曲函数常用公式双曲函数常用公式左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件判定极限判定极限存在的准则存在的准则无穷小的比较无穷小的比较极限的性质极限的性质数列极限数列极限函函 数数 极极 限限等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性无穷小无穷小两者的两者的关系关系无穷大无穷大1 1、极限的定义、极限的定义左极限左极限右极限右极限无穷小无穷小:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.无穷大无穷大:在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为恒不为零的无穷小的倒数为无穷大零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系2 2、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大定理定理1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.定理定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小乘积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质无穷小的运算性质定理定理推论推论1 1推论推论2 23 3、极限的性质、极限的性质4 4、求极限的常用方法、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.5 5、判定极限存在的准则、判定极限存在的准则(夹逼准则夹逼准则)(1)(2)6 6、两个重要极限、两个重要极限定义定义:7 7、无穷小的比较、无穷小的比较定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理)8、等价无穷小的性质、等价无穷小的性质9、极限的唯一性、极限的唯一性左右连续左右连续在区间在区间 a,ba,b上连续上连续连续函数连续函数的的 性性 质质初等函数初等函数的连续性的连续性间断点定义间断点定义连连 续续 定定 义义连续的连续的充要条件充要条件连续函数的连续函数的运算性质运算性质非初等函数非初等函数的连续性的连续性 振振荡荡间间断断点点 无无穷穷间间断断点点 跳跳跃跃间间断断点点 可可去去间间断断点点第一类第一类 第二类第二类1 1、连续的定义、连续的定义定理定理3 3、连续的充要条件、连续的充要条件2 2、单侧连续、单侧连续4 4、间断点的定义、间断点的定义(1)跳跃间断点跳跃间断点(2)可去间断点可去间断点5 5、间断点的分类、间断点的分类跳跃间断点与可去间断点统称为跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点第一类间断点.特点特点:可去型可去型第第一一类类间间断断点点跳跃型跳跃型0yx0yx0yx无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点0yx第二类间断点第二类间断点6 6、闭区间的连续性、闭区间的连续性7 7、连续性的运算性质、连续性的运算性质定理定理定理定理1 1 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数.定理定理2 28 8、初等函数的连续性、初等函数的连续性定理定理3 3定理定理4 4 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.定理定理5 5 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.9 9、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值.定定理理2(2(有有界界性性定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定在该区间上有界在该区间上有界.推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值与最小值m之间的任何值之间的任何值.第二章第二章 导数与微分导数与微分求求 导导 法法 则则基本公式基本公式导导 数数微微 分分关关 系系高阶导数高阶导数高阶微分高阶微分一、主要内容1 1、导数的定义、导数的定义定义定义2.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:2 2、基本导数公式、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）（常数和基本初等函数的导数公式）3 3、求导法则、求导法则(1)函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则反函数的求导法则(3)复合函数的求导法则复合函数的求导法则(4)对数求导法对数求导法先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法然后利用隐函数的求导方法求出导数求出导数.适用范围适用范围:(5)(5)隐函数求导法则隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.(6)(6)参变量函数的求导法则参变量函数的求导法则4 4、高阶导数、高阶导数记作记作二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数)5、微分的定义微分的定义定义定义(微分的实质微分的实质)6 6、导数与微分的关系、导数与微分的关系定理定理7 7、微分的求法微分的求法求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式第三章第三章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值中值定理定理常用常用的的泰勒公式泰勒公式CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理单调性单调性,极值与最值极值与最值,凹凸性凹凸性,拐点拐点,函数函数图形的描绘图形的描绘;曲率曲率;求根方法求根方法.导数的应用导数的应用一、主要内容一、主要内容1 1、罗尔中值定理、罗尔中值定理2 2、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理有限增量公式有限增量公式.3 3、柯西中值定理、柯西中值定理推论推论4 4、洛必达法则、洛必达法则定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件.5 5、泰勒中值定理、泰勒中值定理 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式6 6、导数的应用、导数的应用定理定理(1)函数单调性的判定法函数单调性的判定法定义定义(2)函数的极值及其求法函数的极值及其求法定理定理(必要条件必要条件)定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.定理定理(第一充分条件第一充分条件)定理定理(第二充分条件第二充分条件)求极值的步骤求极值的步骤:步骤步骤:1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个那个小那个就是最小值就是最小值;注意注意:如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)(3)最大值、最小值问题最大值、最小值问题实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:1)建立目标函数建立目标函数;2)求最值求最值;(4)曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点定义定义定理定理1 1方法方法1:1:方法方法2:2:利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步(5)函数图形的描绘函数图形的描绘第三步第三步第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势他变化趋势;第五步第五步(6)弧微分弧微分 曲率曲率 曲率圆曲率圆 曲率的计算公式曲率的计算公式定义定义第四章第四章 不定积分不定积分积分法积分法原原 函函 数数选选择择u u有有效效方方法法基基本本积积分分表表第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法直接直接积分法积分法分部分部积分法积分法不不 定定 积积 分分几种特殊类型几种特殊类型函数的积分函数的积分一、主要内容一、主要内容1 1、原函数、原函数定义定义原函数存在定理原函数存在定理即：即：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数2 2、不定积分、不定积分(1)定定义义(2)微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.(3)不定积分的性质不定积分的性质3 3、基本积分表、基本积分表是常数是常数)5 5、第一类换元法、第一类换元法4 4、直接积分法、直接积分法第一类换元公式（第一类换元公式（凑微分法凑微分法凑微分法凑微分法）由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法定积分的方法.常见类型常见类型:6 6、第二类换元法、第二类换元法第二类换元公式第二类换元公式常用代换常用代换:7 7、分部积分法、分部积分法分部积分公式分部积分公式8.8.选择选择u u的有效方法的有效方法:LIATELIATE选择法选择法L-对数函数；对数函数；I-反三角函数；反三角函数；A-代数函数；代数函数；T-三角函数；三角函数；E-指数函数；指数函数；哪哪个在前哪个选作个在前哪个选作u.9 9、几种特殊类型函数的积分、几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分）有理函数的积分定义定义两个多项式的商表示的函数称之两个多项式的商表示的函数称之.真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法四种类型分式的不定积分四种类型分式的不定积分此两积分都可积此两积分都可积,后者有递推公式后者有递推公式令令（2）三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分定义定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为（3）简单无理函数的积分简单无理函数的积分讨论类型：讨论类型：解决方法：解决方法：作代换去掉根号作代换去掉根号第五节第五节 定积分定积分 问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理广义积分广义积分定积分定积分定定积积分分的的性性质质定定积积分分的的计计算算法法牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式一、主要内容一、主要内容1 1、问题的提出、问题的提出实例实例1 （求曲边梯形的面积（求曲边梯形的面积A）实例实例2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）方法方法:分割、求和、取极限分割、求和、取极限.2 2、定积分的定义、定积分的定义定义定义记为记为可积的两个可积的两个充分充分条件：条件：定理定理1定理定理23 3、存在定理、存在定理4 4、定积分的性质、定积分的性质性质性质1性质性质2性质性质3性质性质5推论：推论：（1）（2）性质性质4性质性质7(定积分中值定理定积分中值定理)性质性质6积分中值公式积分中值公式5 5、牛顿、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式定理定理1定理定理2（原函数存在定理）（原函数存在定理）定理定理 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）也可写成也可写成牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式6 6、定积分的计算法、定积分的计算法换元公式换元公式（1）换元法）换元法（2）分部积分法）分部积分法分部积分公式分部积分公式、广义积分、广义积分(1)无穷限的广义积分无穷限的广义积分(2)无界函数的广义积分无界函数的广义积分第六章第六章 定积分的应用定积分的应用微微 元元 法法理理 论论 依依 据据名名称称释释译译所所求求量量的的特特点点解解 题题 步步 骤骤定积分应用中的常用公式定积分应用中的常用公式一、主要内容一、主要内容1 1、理论依据、理论依据2 2、名称释译、名称释译3 3、所求量的特点、所求量的特点4 4、解题步骤、解题步骤5 5、定积分应用的常用公式、定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积平面图形的面积直角坐标情形直角坐标情形如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数极坐标情形极坐标情形(2)体积体积xyo平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积(3)平面曲线的弧长平面曲线的弧长弧长弧长A曲线弧为曲线弧为弧长弧长B曲线弧为曲线弧为C曲线弧为曲线弧为弧长弧长(4)旋转体的侧面积旋转体的侧面积xyo(5)细棒的质量细棒的质量(6)转动惯量转动惯量(7)变力所作的功变力所作的功(8)水压力水压力(9)引力引力(10)函数的平均值函数的平均值(11)均方根均方根第七章第七章 空间解析几何空间解析几何与向量代数与向量代数一、主要内容一、主要内容（一）向量代数（一）向量代数（二）空间解析几何（二）空间解析几何向量的向量的线性运算线性运算向量的向量的表示法表示法向量积向量积数量积数量积混合积混合积向量的积向量的积向量概念向量概念（一）向量代数（一）向量代数1 1、向量的概念、向量的概念定义定义:既有大小又有方向的量称为向量既有大小又有方向的量称为向量.自由向量、自由向量、相等向量、相等向量、负向量、负向量、向径向径.重要概念重要概念:零向量、零向量、向量的模、向量的模、单位向量、单位向量、平行向量、平行向量、(1)加法：加法：2 2、向量的线性运算、向量的线性运算(2)减法：减法：(3)向量与数的乘法：向量与数的乘法：向量的分解式：向量的分解式：在三个坐标轴上的分向量：在三个坐标轴上的分向量：向量的坐标表示式：向量的坐标表示式：向量的坐标：向量的坐标：3 3、向量的表示法、向量的表示法向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式4 4、数量积、数量积(点积、内积点积、内积)数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式5 5、向量积、向量积(叉积、外积叉积、外积)向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式/6 6、混合积、混合积直直 线线曲面曲面曲线曲线平平 面面参数方程参数方程旋转曲面旋转曲面柱柱 面面二次曲面二次曲面一般方程一般方程参数方程参数方程一般方程一般方程对称式方程对称式方程 点法式方程点法式方程一般方程一般方程空间直角坐标系空间直角坐标系（二）空间解析几何（二）空间解析几何横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴定点定点1 1、空间直角坐标系、空间直角坐标系空间的点空间的点有序数组有序数组空空间间直直角角坐坐标标系系共有一个原点共有一个原点,三个坐标轴三个坐标轴,三个坐标面三个坐标面,八个卦限八个卦限.它们距离为它们距离为两点间距离公式两点间距离公式:曲面方程的定义：曲面方程的定义：2 2、曲面、曲面研究空间曲面的两个基本问题：研究空间曲面的两个基本问题：（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状.（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程.1 旋转曲面旋转曲面定义：以一条平面曲线绕定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称之一周所成的曲面称之.这条定直线叫旋转曲面的这条定直线叫旋转曲面的轴轴.方程特点方程特点:（2）圆锥面）圆锥面（1）球面）球面（3）旋转双曲面）旋转双曲面2 柱面柱面定义：定义：平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C移动的直线移动的直线L所形成的曲面称之所形成的曲面称之.这条定曲线叫柱面这条定曲线叫柱面的的准线准线，动直线叫，动直线叫柱面的柱面的母线母线.从柱面方程看柱面的特征：从柱面方程看柱面的特征：(1)平面平面(3)抛物柱面抛物柱面(4)椭圆柱面椭圆柱面(2)圆柱面圆柱面 3 二次曲面二次曲面定义定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.（1）椭球面）椭球面（2）椭圆抛物面）椭圆抛物面（3）马鞍面）马鞍面（4）单叶双曲面）单叶双曲面（5）圆锥面）圆锥面3 3、空间曲线、空间曲线1 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程2 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程如图空间曲线如图空间曲线一般方程为一般方程为参数方程为参数方程为3 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影消去变量消去变量z后得：后得：设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程：曲线在曲线在 面上的投影曲线为面上的投影曲线为面上的投影曲线面上的投影曲线面上的投影曲线面上的投影曲线如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面4 空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影空空间间立立体体曲曲面面4 4、平面、平面1 平面的点法式方程平面的点法式方程2 平面的一般方程平面的一般方程3 平面的截距式方平面的截距式方程程4 平面的夹角平面的夹角5 两平面位置特征：两平面位置特征：/5 5、空间直线、空间直线1 空间直线的一般方程空间直线的一般方程3 空间直线的参数方程空间直线的参数方程2 空间直线的对称式方程空间直线的对称式方程直线直线直线直线两直线的夹角公式两直线的夹角公式4 两直线的夹角两直线的夹角5 两直线的位置关系：两直线的位置关系：/6 直线与平面的夹角直线与平面的夹角直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式7 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系/
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