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期中考试时间期中考试时间:5月月5日日上午上午1010：00-1200-12：0000一代、二换、三定限一代、二换、三定限代代：将积分曲线的参数方程代入被积函数，：将积分曲线的参数方程代入被积函数，换换：换弧微元：换弧微元定限定限：定积分限，下限：定积分限，下限小参数，上限小参数，上限大参数大参数三、对弧长曲线积分的计算三、对弧长曲线积分的计算计算公式计算公式(重点）重点）对光滑曲线弧对光滑曲线弧 对光滑曲线弧对光滑曲线弧 对光滑曲线弧对光滑曲线弧首页首页例例5.计算计算其中其中L为双纽线为双纽线解解:在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得例6.设 C 是由极坐标系下曲线及所围区域的边界,求解解:分段积分例7.计算计算其中为球面解解:化为参数方程 则习习1解解 由对称性由对称性,知知四、几何与四、几何与物理意义物理意义例例1.椭圆柱面椭圆柱面被平面被平面 所截，所截，求截得部分求截得部分 的侧面积的侧面积.解 所求椭圆柱面的准线是xoy面上的半个椭圆对L作分割，取微元则相应小柱面的侧面积近似等于,因此侧面积积分曲线L的参数方程为于是例例2.2.L L为球面为球面面的交线面的交线,求其形心求其形心.在第一卦限与三个坐标在第一卦限与三个坐标解解:如图所示,交线长度为由对称性,形心坐标为例3.计算半径为计算半径为 R,中心角为中心角为的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度=1).解解:建立坐标系如图,则 例4.有一半圆弧有一半圆弧其线密度 解解:故所求引力为求它对原点处单位质量质点的引力.五、小结五、小结1.1.对弧长曲线积分的概念对弧长曲线积分的概念2.2.对弧长曲线积分的计算对弧长曲线积分的计算3.3.对弧长曲线积分的应用对弧长曲线积分的应用思考题思考题?对对弧长的曲线积分弧长的曲线积分与与重积分重积分进行比较：进行比较：这里，这里，相同点：相同点：1。物理意义都。物理意义都是表示质量（是表示质量（当被积函数是密度函数当被积函数是密度函数）2。化成定积分后的积分下限都小于积分上限。化成定积分后的积分下限都小于积分上限不同点：不同点：重积分：不能代入，如重积分：不能代入，如曲线积分：可以代入，如曲线积分：可以代入，如一一.引例引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线C移动到点 B,求移“分割”“近似求和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法解决办法:动过程中变力所作的功W.机动 目录 上页 下页 返回 结束&2&2、第二型曲线积分、第二型曲线积分(对坐标曲线积分）对坐标曲线积分）分割：分割：求和求和取极限取极限近似值近似值精确值精确值二、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的概念1.定义定义类似地定义类似地定义2.存在条件：存在条件：3.组合形式组合形式4.4.推广推广5.5.性质性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.定积分是第二类曲线积分（对坐标）的特例,但不是第一类曲线积分（对弧长）的特例.对弧长的曲线积分要求对弧长的曲线积分要求 ds 0,但定积分中但定积分中dx 可能为负可能为负.三、对坐标的曲线积分的计算三、对坐标的曲线积分的计算定理定理特殊情形特殊情形例3.计算计算其中C为沿抛物线解法解法1 取 x 为参数,则解法解法2 取 y 为参数,则从点的一段.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4.计算计算其中 L 为(1)半径为 a 圆心在原点的 上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).解解:(1)取L的参数方程为(2)取 L 的方程为则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同路径不同积分结果不同.例例5解解问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同路径不同而积分结果相同.其中其中（可以推广到空间曲线上（可以推广到空间曲线上 ）四、两类曲线积分之间的联系四、两类曲线积分之间的联系可用向量表示可用向量表示有向曲线元；有向曲线元；二者夹角为 例6.设设曲线段 L 的长度为s,证明续,证证:设说明说明:上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7.将积分化为对弧长的积分,解：解：其中L 沿上半圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.定义2.性质(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧(2)L 表示 L 的反向弧第二型曲线积分必须注意积分曲线弧段的方向积分曲线弧段的方向!内容小结机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.计算计算 对有向光滑弧 对有向光滑弧机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.两类曲线积分的联系 对空间有向光滑弧对空间有向光滑弧 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义联联系系计计算算三代一定三代一定二代一定二代一定 (与方向有关与方向有关)思考题解答思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定.作业作业P250 1（2）（）（5）(8)；2（3）;5,6(1)
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