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10.2 二重积分的计算二重积分的计算10.2.1 在直角坐标系下计算二重积分在直角坐标系下计算二重积分 二重积分的计算方法是二重积分的计算方法是:将二重积分化为将二重积分化为二次二次积分积分(累次积分累次积分)来计算来计算.现根椐二重积分的几何意义现根椐二重积分的几何意义:的的值值等于以区域等于以区域D为底为底,曲面曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积为顶的曲顶柱体的体积,考虑考虑二重积二重积分分的计算的计算.10 xz ycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y)yD:(y)x (y)c y d20 xz ycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y).yD:(y)x (y)Q(y)=I=c y d30 xz ydD:(y)x (y)c y dQ(y)=I=z=f(x,y)x=(y)41.积分区域为积分区域为:其中函数其中函数 在区间在区间c,d上连续上连续.即即二重积分的计算有两种积分顺序二重积分的计算有两种积分顺序52.积分区域为积分区域为:其中函数其中函数 在区间在区间 上连续上连续.63.若区域如图若区域如图,在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.(利用积分区域的可加性利用积分区域的可加性)则则必须分割必须分割.7例例 求求解解所围所围平面闭区域平面闭区域.两曲线的交点两曲线的交点法一法一8法二法二9特殊地特殊地,D为矩形域为矩形域:a x b,c y d.即等于两个定积分的乘积即等于两个定积分的乘积.则则则则如如D是上述矩形域是上述矩形域,10例例siny2 对对y的积分的积分而它对而它对x的的积分积分交换积分次序交换积分次序的方法是的方法是:改写改写D为为:oxy 分析分析所以将所以将二次积分二次积分先先将所给的积分域将所给的积分域(1)(2)画出积分域的草图画出积分域的草图(3)计算二次积分计算二次积分不能用基本积分法算出不能用基本积分法算出,可用基本积分法算出可用基本积分法算出.交换积分次序交换积分次序.用联立不等式表示用联立不等式表示 D:11oxy12解解 求求 其中其中D 是以是以为顶点的三角形为顶点的三角形.所以所以,积分时必须考虑次序积分时必须考虑次序.因因 无法用初等函数表示无法用初等函数表示,13例例 交换积分次序交换积分次序:解解 积分区域积分区域:原式原式=14解解 计算积分计算积分所以所以,先交换积分次序先交换积分次序.因因 不能用初等函数表示不能用初等函数表示,15解解原式原式=交换积分次序：交换积分次序：16解解交换积分次序交换积分次序17而且又是能否进行计算的问题而且又是能否进行计算的问题.计算二重积分时计算二重积分时,恰当的选取积分次序恰当的选取积分次序十分重要十分重要,它不仅涉及到计算繁简问题它不仅涉及到计算繁简问题,凡遇如下形式积分凡遇如下形式积分:等等,一定要放在后面积分一定要放在后面积分.18例例 求证求证对于左边的累次积分对于左边的累次积分,先交换积分次序先交换积分次序.积分区域积分区域:可表为可表为:证证1910.2.2 在极坐标系下计算二重积分在极坐标系下计算二重积分二重积分在极坐标下的表达式为二重积分在极坐标下的表达式为极坐标系中的面积元素极坐标系中的面积元素20在极坐标系下在极坐标系下,一般化成一般化成1.极点在区域极点在区域D 的外面的外面212.极点在区域极点在区域D 的边界上的边界上(曲边扇形曲边扇形)22极坐标系极坐标系下区域的下区域的面积面积3.极点在区域极点在区域D 的内部的内部23 直角坐标与极坐标的关系为直角坐标与极坐标的关系为 2.积分区域积分区域D 是由圆弧、或圆弧与直线所围成，是由圆弧、或圆弧与直线所围成，常用极坐标计算常用极坐标计算因此因此 在极坐标下在极坐标下 1.若被积函数形如若被积函数形如圆环、扇形等圆环、扇形等.24解解例例 写出积分写出积分的极坐标二次积分的极坐标二次积分形式形式,其中积分区域其中积分区域在极坐标系下在极坐标系下,圆的方程为圆的方程为直线的方程为直线的方程为P234 5(5)25解解a例例 计算计算其中其中D是由中心在原点是由中心在原点,半径为半径为a 的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域.在极坐标系下在极坐标系下注注26D2例例 计算计算分析分析:因被积函数因被积函数故故的的在积分域内变号在积分域内变号.D1解解27解解计算计算所围成的所围成的平面闭区域平面闭区域.及及直线直线28将将直角坐标系直角坐标系下累次积分下累次积分:化为化为极坐标系极坐标系下的下的累次积分累次积分.oxy解解原式原式=29例例 将积分化为将积分化为极坐标形式极坐标形式r=Ry=R xD1D2R0y xDarctanR解解30设区域设区域D关于关于x轴对称轴对称,如果函数如果函数 f(x,y)关于变量关于变量 y为为偶偶函数函数.oxyD1则则D1为为D在第在第 一象限中一象限中的部分的部分,则则如果如果 f(x,y)关于变量关于变量y为为奇函数奇函数 我们经我们经常常利用被积函数的利用被积函数的奇、偶性奇、偶性和积分区域和积分区域的的对称性质对称性质简化重积分的计算简化重积分的计算.10.2.3 对称性与二重积分对称性与二重积分31如果函数如果函数 f(x,y)关于变量关于变量x为奇函为奇函数数oxyD1如果函数如果函数 f(x,y)关于变量关于变量x则则为偶为偶函数函数则则类似地类似地,设区域设区域D关于关于y轴对称轴对称,D1为为D在在第一象限中的部分第一象限中的部分,3200D1为上半圆域为上半圆域D2为右半圆域为右半圆域例如例如,设设D为圆域为圆域(如图如图)3334 解解由性质得由性质得 例例34 计算计算解解 积分区域积分区域D关于关于x轴对称轴对称,被积函数关于被积函数关于y为偶函数为偶函数.原式原式=记记D1为为D的的y0的部分的部分.则则D1例例3536 思考思考当当f为为关于关于x且且关于关于y的偶函数的偶函数时：时：当当f为为关于关于x或或关于关于y的奇函数的奇函数时：时：04Di是区域是区域D位于第位于第i(i=1,2,3,4)象限的区域象限的区域 设区域设区域 关于关于x轴、轴、y轴均对称轴均对称,函数函数f(x,y)在在D上可积，则上可积，则3637若若D为为 此式的此式的几何意义几何意义是是:中心在原点的上半球的中心在原点的上半球的体积等于它在第一卦限内的体积的体积等于它在第一卦限内的体积的4倍倍.0D1为为 x0,y 0,则则37为顶点的三角形区域为顶点的三角形区域,D1是是D在第一象限的部分在第一象限的部分,(A)(B)(C)(D)0A38D1D2D3D4记记 I=则则I=I1+I2,其中其中I1=I2=而而 I1=D1与与D2关于关于y轴对称轴对称D3与与D4关于关于x轴对称轴对称xy关于关于x和关于和关于y都是奇函数都是奇函数39而而 I2 =是是关于关于x的偶函数的偶函数,关于关于y的奇函数的奇函数.所以所以 D1D2D3D440例例 计算计算 分析分析 从被积从被积函数看函数看,用极坐标系要简单些用极坐标系要简单些,但从积分域但从积分域D的形状看的形状看为宜为宜.却又以用直角坐标系却又以用直角坐标系在两者不可兼得的情况下在两者不可兼得的情况下,应以应以D的形状的形状来决定用什么坐标系来决定用什么坐标系,此题用直角坐标系此题用直角坐标系.4142 二重积分的计算规律二重积分的计算规律再确定再确定交换积分次交换积分次1.交换积分次序交换积分次序:先依给定的积分次序写出积分域先依给定的积分次序写出积分域D的的不等式不等式,并画并画D的草图的草图;序后的积分限序后的积分限;2.如被积函数为如被积函数为圆环域时圆环域时,或积分域为或积分域为圆域、扇形域、圆域、扇形域、则用极坐标计算则用极坐标计算;43 3.注意利用对称性质注意利用对称性质,数中的绝对值符号数中的绝对值符号.以便简化计算以便简化计算;4.被积函数中含有绝对值符号时被积函数中含有绝对值符号时,应应将积分域分割成几个子域将积分域分割成几个子域,使被积函数在使被积函数在每个子域中保持同一符号每个子域中保持同一符号,以消除被积函以消除被积函44作业作业习题习题10.210.2(P233-235(P233-235页页)2.(2)(4)4.(2)(6)(10)极坐标：极坐标：5.(1)(4)6.(2)(4)对称性对称性 7.(1)(2)45
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