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高高高高 等等等等 数数数数 学学学学第二章第二章 极限与连续极限与连续第一节第一节 数列的极限数列的极限第二节第二节 函数的极限函数的极限第三节第三节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大第五节第五节 两个重要极限两个重要极限第六节第六节 函数的连续性函数的连续性第四节第四节 函数极限的运算法则函数极限的运算法则第七节第七节 连续函数的性质连续函数的性质基本要求：基本要求：了解复合函数的连续性、初等函数了解复合函数的连续性、初等函数的连续性；熟悉极限的基本理论及定义，的连续性；熟悉极限的基本理论及定义，极限存在准则，闭区间上连续函数的性质；极限存在准则，闭区间上连续函数的性质；掌握两个重要极限、无穷小的比较、等价掌握两个重要极限、无穷小的比较、等价无穷小代换、连续函数的定义及运算、函无穷小代换、连续函数的定义及运算、函数间断点的类型。数间断点的类型。重点：重点：函数的性质；极限的性质、四则运算函数的性质；极限的性质、四则运算法则；无穷小阶的比较；两个重要极限。法则；无穷小阶的比较；两个重要极限。难点：难点：函数在某点处的左、右极限；利用等函数在某点处的左、右极限；利用等价无穷小代换求极限；用两个重要极限求价无穷小代换求极限；用两个重要极限求极限。极限。一一.数列极限的定义数列极限的定义数列是整标函数数列是整标函数:注意注意：数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一动可看作一动点在数轴上依次取点在数轴上依次取第一节第一节 数列的极限数列的极限问题问题:意味着什么意味着什么?如何用如何用数学语言定量数学语言定量地刻划它地刻划它.定义定义1定义定义2注意注意:用用 定义定义”验证数列极限，验证数列极限，关关键是如何由任意给定的键是如何由任意给定的 寻找寻找 N？具体方法：具体方法：例例1证证例例2证证注注:例例3证证证证综合之，故综合之，故二二.数列极限的运算法则数列极限的运算法则【例5】【例6】求下列极限一.函数在有限点处的极限第第二二节节 函数函数的极限的极限一般地有一般地有定义定义1几何解释几何解释:单侧极限单侧极限:例如例如,左极限左极限右极限右极限定理定理左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例1证证例例2 2解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,用用 定义定义”验证函数极限验证函数极限:关键是如何由关键是如何由 寻找寻找？具体方法：具体方法：证证证证证证问题问题:如何用数学语言刻划两个如何用数学语言刻划两个“无限趋近无限趋近”.二.函数在无穷远处的极限定义定义2定理定理1几何解释几何解释:用用 定义定义”验证函数极限验证函数极限:关键是如何由关键是如何由 寻找寻找？具体方法：具体方法：证证证证证证定义定义1 一一.无穷小及其性质无穷小及其性质第三节第三节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大定理定理1 1（一般极限一般极限与与无穷小无穷小的关系的关系）定理定理2 2 解解解解 二二.无穷小阶的比较无穷小阶的比较极限不同极限不同,反映了趋向于反映了趋向于 0 的的“快慢快慢”程度不同程度不同.观观察察各各极极限限定义定义2 2常用等价无穷小常用等价无穷小定理定理3 3证证证毕证毕定理定理4 4(乘积因子乘积因子等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理 )证证证毕证毕三三.无穷大及其性质无穷大及其性质定义定义3 3性质（性质（无穷大与无穷小的关系无穷大与无穷小的关系）注意注意:无穷大量无穷大量 无界量无界量（证明略）（证明略）【例4】解答下列各题：定义定义4 4第四节第四节 函数极限的运算法则函数极限的运算法则(1)1第五节第五节 两个重要极限两个重要极限证证(证毕证毕(2)证证证毕证毕【例例1】求下列极限：求下列极限：第六节第六节 函数的连续性函数的连续性一、函数的增量二、函数的连续第七节第七节 连续函数的性质连续函数的性质一、连续函数的和、差、积、商的连续性一、连续函数的和、差、积、商的连续性一、连续函数的和、差、积、商的连续性一、连续函数的和、差、积、商的连续性(四则运算四则运算)性质性质1 1(复合函数的连续性复合函数的连续性)性质性质2 2极限符号可以进入到连续函数的函数符号极限符号可以进入到连续函数的函数符号内，它对求复合函数的极限是很有用的内，它对求复合函数的极限是很有用的.（证明略）（证明略）二、复合函数的连续性二、复合函数的连续性二、复合函数的连续性二、复合函数的连续性一般结论：一般结论：三三.初初 等等 函函 数数 的的 连连 续续 性性性质性质3 3：初等函数在其初等函数在其定义域区间定义域区间上连续上连续 .注意：注意：1.初等函数仅在其初等函数仅在其定义域区间定义域区间上上连续连续,例如：例如：函数在这些函数在这些孤立点孤立点的空心邻域内没有定义的空心邻域内没有定义，因此在这些因此在这些孤立点无法讨论其连续性孤立点无法讨论其连续性.在其在其定义域定义域内内不一定连续不一定连续.又如：又如：函数在函数在 0 点点的空心邻域内没有定义的空心邻域内没有定义，因此在，因此在 0 点无法讨论其连续性点无法讨论其连续性；【例例1 1】解解【例例2 2】(i)(ii)四、四、闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质性质性质4 4（有界性）（有界性）注意注意:若区间是开若区间是开区间区间,或闭区间内或闭区间内有间断点有间断点,则则 结论结论不一定成立不一定成立.（证明略）（证明略）性质性质4 4（最值性）（最值性）注意注意:若区间是开若区间是开区间区间,或闭区间内或闭区间内有间断点有间断点,则则 结论结论不一定成立不一定成立.（证明略）（证明略）性质性质5 5（介值定理）（介值定理）Mmab几何解释几何解释:证证再由性质再由性质 3,证毕证毕Mmab证证【例例3 3】第二章第二章 小结小结 了解复合函数的连续性、初等函数的了解复合函数的连续性、初等函数的连续性；熟悉极限的基本理论及定义，极连续性；熟悉极限的基本理论及定义，极限存在准则，闭区间上连续函数的性质；限存在准则，闭区间上连续函数的性质；掌握两个重要极限、无穷小的比较、等价掌握两个重要极限、无穷小的比较、等价无穷小代换、连续函数的定义及运算、函无穷小代换、连续函数的定义及运算、函数间断点的类型。数间断点的类型。
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