高等几何(第二版-朱德祥-朱维宗编)课件

高等几何高等几何高等几何（第二版高等几何（第二版朱德祥朱德祥朱维宗编）朱维宗编）云南师范大学数学学院云南师范大学数学学院云南师范大学云南师范大学第九章：几何基础第九章：几何基础1高等几何高等几何第九章第九章 几何基础之几何基础之 9.7 9.7 罗巴切夫斯基几何罗巴切夫斯基几何高等几何（第二版高等几何（第二版朱德祥朱德祥朱维宗编）朱维宗编）2高等几何高等几何 数千年来，不论在思想领域的突破上，数千年来，不论在思想领域的突破上，在科学方法论的创建上，几何学总是扮演在科学方法论的创建上，几何学总是扮演着着“开路先锋开路先锋”的角色。的角色。今天，几何学仍今天，几何学仍然是一门方兴未艾、蓬勃发展的学科，在然是一门方兴未艾、蓬勃发展的学科，在整个数学体系中，几何一直是一个重要的整个数学体系中，几何一直是一个重要的主角。主角。题题 记记高等几何高等几何3高等几何高等几何提提纲纲一、一、罗巴切夫斯基几何罗巴切夫斯基几何二、二、罗氏几何的公理系统罗氏几何的公理系统高等几何高等几何4高等几何高等几何欧几里得几何学的第五公设，欧几里得几何学的第五公设，由于并不由于并不“自明自明”，引起了，引起了历代数学家的关注。最终，历代数学家的关注。最终，由罗巴切夫斯基和黎曼建立由罗巴切夫斯基和黎曼建立起了两种非欧几何学体系。起了两种非欧几何学体系。这不仅对数学产生了巨大影这不仅对数学产生了巨大影响，而且对于人类文化都产响，而且对于人类文化都产生了深刻影响。可以说是人生了深刻影响。可以说是人类思想史上的一个奇迹。类思想史上的一个奇迹。1.1.罗巴切夫斯基几何罗巴切夫斯基几何5高等几何高等几何罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基（1792.12.11792.12.11856.2.241856.2.24）几何几何：俄罗斯数学家罗巴切夫斯基在尝试俄罗斯数学家罗巴切夫斯基在尝试解决欧氏第五公设问题的过程中，从失败解决欧氏第五公设问题的过程中，从失败走上他的发现之路的。走上他的发现之路的。他从他从1815年着手研究平行线理论的。开始年着手研究平行线理论的。开始他也是循着前人的思路，试图给出第五公他也是循着前人的思路，试图给出第五公设的证明。在保存下来的他的学生听课笔设的证明。在保存下来的他的学生听课笔记中，就记有他在记中，就记有他在18161817学年度在几学年度在几何教学中给出的一些证明。可是，很快他何教学中给出的一些证明。可是，很快他便意识到自己的证明是错误的。便意识到自己的证明是错误的。6高等几何高等几何罗巴切夫斯基从前人和自己的失败的反面罗巴切夫斯基从前人和自己的失败的反面启迪了他，使他大胆思索问题的相反提法：启迪了他，使他大胆思索问题的相反提法：可能根本就不存在第五公设的证明可能根本就不存在第五公设的证明。于是，。于是，他便调转思路，着手寻求第五公设不可证他便调转思路，着手寻求第五公设不可证的解答。这是一个全新的，也是与传统思的解答。这是一个全新的，也是与传统思路完全相反的探索途径。罗巴切夫斯基正路完全相反的探索途径。罗巴切夫斯基正是沿着这个途径，在试证第五公设不可证是沿着这个途径，在试证第五公设不可证的过程中发现了一个崭新的几何世界。的过程中发现了一个崭新的几何世界。7高等几何高等几何那么，罗巴切夫斯基是怎样证得第五公设那么，罗巴切夫斯基是怎样证得第五公设不可证的呢？又是怎样从中发现新几何世不可证的呢？又是怎样从中发现新几何世界的呢？原来他创造性地运用了处理复杂界的呢？原来他创造性地运用了处理复杂数学问题常用的一种逻辑方法数学问题常用的一种逻辑方法反证法。反证法。这种反证法的基本思想是，为证这种反证法的基本思想是，为证“第五公第五公设不可证设不可证”，首先对第五公设加以否定，首先对第五公设加以否定，然后用这个否定命题和其它公理公设组成然后用这个否定命题和其它公理公设组成新的公理系统，并由此展开逻辑推演。新的公理系统，并由此展开逻辑推演。8高等几何高等几何首先假设第五公设是可证的，即第五公设首先假设第五公设是可证的，即第五公设可由其它公理公设推演出来。那么，在新可由其它公理公设推演出来。那么，在新公理系统的推演过程中一定会出现逻辑矛公理系统的推演过程中一定会出现逻辑矛盾，至少第五公设和它的否定命题就是一盾，至少第五公设和它的否定命题就是一对逻辑矛盾；对逻辑矛盾；反之，如果推演不出矛盾，反之，如果推演不出矛盾，就反驳了就反驳了“第五公设可证第五公设可证”这一假设，从这一假设，从而也就间接证得而也就间接证得“第五公设不可证第五公设不可证”。9高等几何高等几何依照这个逻辑思路，罗巴切夫斯基对第五依照这个逻辑思路，罗巴切夫斯基对第五公设的等价命题公设的等价命题普雷菲尔公理普雷菲尔公理“过平过平面上直线外一点，只能引一条直线与已知面上直线外一点，只能引一条直线与已知直线不相交直线不相交”作以否定，得到否定命题作以否定，得到否定命题“过平面上直线外一点，至少可引两条直线过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交与已知直线不相交”，并用这个否定命题并用这个否定命题和其它公理公设组成新的公理系统展开逻和其它公理公设组成新的公理系统展开逻辑推演。辑推演。在推演过程中，他得到一连串古在推演过程中，他得到一连串古怪、非常不合乎常理的命题。但是，经过怪、非常不合乎常理的命题。但是，经过仔细审查，却没有发现它们之间存在任何仔细审查，却没有发现它们之间存在任何逻辑矛盾。逻辑矛盾。10高等几何高等几何于是，远见卓识的罗巴切夫斯基大胆断言，于是，远见卓识的罗巴切夫斯基大胆断言，这个这个“在结果中并不存在任何矛盾在结果中并不存在任何矛盾”的新的新公理系统可构成一种新的几何，它的逻辑公理系统可构成一种新的几何，它的逻辑完整性和严密性可以和欧几里得几何相媲完整性和严密性可以和欧几里得几何相媲美。而这个无矛盾的新几何的存在，就是美。而这个无矛盾的新几何的存在，就是对第五公设可证性的反驳，也就是对第五对第五公设可证性的反驳，也就是对第五公设不可证性的逻辑证明。由于尚未找到公设不可证性的逻辑证明。由于尚未找到新几何在现实界的原型和类比物，罗巴切新几何在现实界的原型和类比物，罗巴切夫斯基慎重地把这个新几何称之为夫斯基慎重地把这个新几何称之为“想象想象几何几何”。11高等几何高等几何罗巴切夫斯基开创了数学的一个新领域，罗巴切夫斯基开创了数学的一个新领域，但他的创造性工作在生前始终没能得到学但他的创造性工作在生前始终没能得到学术界的重视和承认。就在他去世的前两年，术界的重视和承认。就在他去世的前两年，俄国著名数学家俄国著名数学家布尼雅可夫斯基布尼雅可夫斯基还在其所还在其所著的著的平行线平行线一书中对罗巴切夫斯基发一书中对罗巴切夫斯基发难，难，他试图通过论述非欧几何与经验认识他试图通过论述非欧几何与经验认识的不一致性，来否定非欧几何的真实性。的不一致性，来否定非欧几何的真实性。12高等几何高等几何英国著名数学家英国著名数学家莫尔甘莫尔甘对非欧几何的抗拒对非欧几何的抗拒心里表现得就更加明显了，他甚至在没有心里表现得就更加明显了，他甚至在没有亲自研读非欧几何著作的情况下就武断地亲自研读非欧几何著作的情况下就武断地说：说：“我认为，任何时候也不会存在与欧我认为，任何时候也不会存在与欧几里得几何本质上不同的另外一种几何几里得几何本质上不同的另外一种几何。”莫尔甘的话代表了当时学术界对非欧几莫尔甘的话代表了当时学术界对非欧几何的普遍态度。何的普遍态度。13高等几何高等几何在创立和发展非欧几何的艰难历程上，罗在创立和发展非欧几何的艰难历程上，罗巴切夫斯基始终没能遇到他的公开支持者，巴切夫斯基始终没能遇到他的公开支持者，就连非欧几何的另一位发现者德国的高斯就连非欧几何的另一位发现者德国的高斯也不肯公开支持他的工作。也不肯公开支持他的工作。高斯是当时数学界首屈一指的学学巨匠，高斯是当时数学界首屈一指的学学巨匠，负有负有“欧洲数学之王欧洲数学之王”的盛名，早在的盛名，早在1792年，也就是罗巴切夫斯基诞生的那一年，年，也就是罗巴切夫斯基诞生的那一年，他就已经产生了非欧几何思想萌芽，到了他就已经产生了非欧几何思想萌芽，到了1817年已达成熟程度。年已达成熟程度。14高等几何高等几何他把这种新几何最初他把这种新几何最初称之为称之为“反欧几何反欧几何”，后称，后称“星空几何星空几何”，最后称，最后称“非欧几何非欧几何”。但是，高斯由于害怕新几何会激起学。但是，高斯由于害怕新几何会激起学术界的不满和社会的反对，会由此影响他术界的不满和社会的反对，会由此影响他的尊严和荣誉，生前一直没敢把自己的这的尊严和荣誉，生前一直没敢把自己的这一重大发现公之于世，只是谨慎地把部分一重大发现公之于世，只是谨慎地把部分成果写在日记和与朋友的往来书信中。成果写在日记和与朋友的往来书信中。15高等几何高等几何当高斯看到罗巴切夫斯基的德文非欧几何著当高斯看到罗巴切夫斯基的德文非欧几何著作作平行线理论的几何研究平行线理论的几何研究后，内心是矛后，内心是矛盾的，他一方面私下在朋友面前高度称赞罗盾的，他一方面私下在朋友面前高度称赞罗巴切夫斯基是巴切夫斯基是“俄国最卓越的数学家之一俄国最卓越的数学家之一”；另一方面，却又不准朋友向外界泄露他对；另一方面，却又不准朋友向外界泄露他对非欧几何的有关告白，也从不以任何形式对非欧几何的有关告白，也从不以任何形式对罗巴切夫斯基的非欧几何研究工作加以公开罗巴切夫斯基的非欧几何研究工作加以公开评论；他积极推选罗巴切夫斯基为哥廷根皇评论；他积极推选罗巴切夫斯基为哥廷根皇家科学院通讯院士家科学院通讯院士,可是，在评选会和他亲可是，在评选会和他亲笔写给罗巴切夫斯基的推选通知书中笔写给罗巴切夫斯基的推选通知书中,对罗对罗巴切夫斯基在数学上的最卓越贡献创立巴切夫斯基在数学上的最卓越贡献创立非欧几何却避而不谈。非欧几何却避而不谈。16高等几何高等几何2.2.罗氏几何的公理系统罗氏几何的公理系统欧氏、罗氏两种几何的全部基本概念和前四欧氏、罗氏两种几何的全部基本概念和前四组公理组公理IIV均相同均相同,仅第五组公理不同仅第五组公理不同V(欧几里得平行公理欧几里得平行公理,简称欧氏平行公理简称欧氏平行公理)对任何直线对任何直线a和不在其上的任何点和不在其上的任何点A，至，至多有一直线过多有一直线过A且与且与a共面不交共面不交17高等几何高等几何平行公理的等价命题：平行公理的等价命题：第五公设第五公设在一平面上，若一直线与两直线相交，在一平面上，若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。直线无限延长后必相交于该侧的一点。18高等几何高等几何V*（罗巴切夫斯基平行公理罗巴切夫斯基平行公理,简称罗氏平行简称罗氏平行公理公理）有这样的直线）有这样的直线a和不在其上的点和不在其上的点A，过，过A至少有两条直线与至少有两条直线与a共面不交。共面不交。19高等几何高等几何罗氏几何就是公理罗氏几何就是公理I-IV和和V*的一切可能的的一切可能的逻辑推论系统。逻辑推论系统。绝对几何绝对几何(公理系统公理系统)是是欧氏几何欧氏几何(公理系统公理系统)和和罗氏几何罗氏几何(公理系统公理系统)的公共部分的公共部分.欧欧(罗罗)氏几何公理系统氏几何公理系统=绝对几何公理系绝对几何公理系统统+欧氏平行公理欧氏平行公理V(V*).20高等几何高等几何定理定理9.329.32在罗氏平面上，给了一直线在罗氏平面上，给了一直线a及不及不在其上的一点在其上的一点A，则有两直线与，则有两直线与a平行。平行。定理定理9.249.24设直线设直线a a，则此性质与定义中，则此性质与定义中点点A的选择无关。的选择无关。依照罗巴切夫斯基几何，依照罗巴切夫斯基几何，直线直线aa如果是通如果是通过其上某点而与直线过其上某点而与直线a a不相交的直线集合的不相交的直线集合的界限直线，则称界限直线，则称aa为直线为直线a a的平行线。的平行线。21高等几何高等几何定理定理9.25任何三角形的内角和小于任何三角形的内角和小于定理定理9.26设直线设直线a在指定的方向平行于直在指定的方向平行于直线线b，则，则b也在同一方向平行于也在同一方向平行于a。（见教材。（见教材P.201）定理定理9.27设直线设直线a和和b在同一方向与直线在同一方向与直线c平平行，则它们在此方向互相平行。行，则它们在此方向互相平行。定理定理9.28同垂直于一直线的两条共面直线同垂直于一直线的两条共面直线是是分散分散的。的。22高等几何高等几何定理定理9.29设平面上两直线被第三直线所截，设平面上两直线被第三直线所截，组成相等的同位角或内错角，则它们是分组成相等的同位角或内错角，则它们是分散的。散的。定理定理9.30任意两条分散直线必有唯一的公垂任意两条分散直线必有唯一的公垂线。因此，唯一公垂线的存在，成了两直线。因此，唯一公垂线的存在，成了两直线是分散的充要条件。线是分散的充要条件。23高等几何高等几何定理定理9.31从两平行线之一上的动点到另一线从两平行线之一上的动点到另一线的距离，当动点向平行方向变动时趋向于零，的距离，当动点向平行方向变动时趋向于零，而当动点向反对方向变动时则无界地增大。而当动点向反对方向变动时则无界地增大。定理定理9.32平行角由平行距完全决定。平行角由平行距完全决定。定理定理3.33一点对于一直线的平行角一点对于一直线的平行角是这点是这点到该直线的距离到该直线的距离x的函数的函数:=(x).这函数是这函数是连续的单减函数，且有连续的单减函数，且有24高等几何高等几何推论推论1有两条共面直线有两条共面直线a，b和截它们的第和截它们的第三条直线三条直线c，a与与b被被c所截成的同侧二内角所截成的同侧二内角之和小于二直角，而之和小于二直角，而a和和b不相交不相交25高等几何高等几何推论推论2有两条共面不交的直线有两条共面不交的直线a和和b以及截以及截它们的第三条直线它们的第三条直线c，a与与b被被c所截成的同所截成的同位角不合同位角不合同26高等几何高等几何推论推论3在同一平面上，有已知直线的一垂在同一平面上，有已知直线的一垂线和一斜线不相交线和一斜线不相交推论推论4有这样的三角形，它的三高线不共有这样的三角形，它的三高线不共点（即：点（即：有的三角形无垂心有的三角形无垂心）推论推论5有这样的不共线的三点，不存在通有这样的不共线的三点，不存在通过它们的圆（即：有的三角形无外接圆）过它们的圆（即：有的三角形无外接圆）27高等几何高等几何推论推论6有这样的角及其内部一点，过此点有这样的角及其内部一点，过此点不能引直线与角的两边都相交不能引直线与角的两边都相交推论推论7有一个三角形的内角和小于有一个三角形的内角和小于28高等几何高等几何推论推论8在任何平面上，对于任何锐角及其在任何平面上，对于任何锐角及其任一边，都有这样的直线，它垂直于该边任一边，都有这样的直线，它垂直于该边而不与另一边相交而不与另一边相交推论推论9两三角形若有三对对应角合同，则两三角形若有三对对应角合同，则此两个三角形合同（此两个三角形合同（罗氏几何中特有的三罗氏几何中特有的三角形合同的判定定理角形合同的判定定理-角角角定理角角角定理,记作记作a.a.a.）【注注】据此据此,在罗氏几何中不存在一般的相在罗氏几何中不存在一般的相似三角形似三角形.29高等几何高等几何推论推论10凸四边形的内角和小于凸四边形的内角和小于2.推论推论11勾股定理不成立勾股定理不成立定理定理三角形的内角和不是常数三角形的内角和不是常数.30高等几何高等几何证明：证明：设设ABC的内角和的内角和S()=k为常数为常数.在在ABC的两边的两边AB和和AC上分别取点上分别取点B和和C,使得使得AC*C且且AB*B因为因为ABC和和ABC有公共内角有公共内角A,于是由于是由S()=k为为常数常数,可知可知+=k-=+.但但+=,+=,从而从而+=+=2.即四边形即四边形BCCB的内角和等于的内角和等于2，得，得出矛盾出矛盾31高等几何高等几何高等几何第九章高等几何第九章 9.79.7完完高等几何高等几何朱维宗朱维宗32