高等代数考研复习[矩阵]描述课件

高等高等代数考研复习代数考研复习2014年8月 第二章第二章 矩阵矩阵矩阵是高等代数研究的主要对象之一，也是数矩阵是高等代数研究的主要对象之一，也是数学及许多科学领域中最重要的工具学及许多科学领域中最重要的工具.矩阵问题矩阵问题丰富多彩，技巧性高丰富多彩，技巧性高.在高等代数中扮演着重在高等代数中扮演着重要角色要角色.本章主要复习内容本章主要复习内容:(1)(1)矩阵运算与特殊矩阵矩阵运算与特殊矩阵 (2)(2)初等变换与矩阵初等变换与矩阵的逆的逆 (3)(3)矩阵的秩矩阵的秩 (4)(4)分块矩阵及应用分块矩阵及应用1.1.矩阵的运算与特殊矩阵矩阵的运算与特殊矩阵(1)(1)矩阵的线性运算矩阵的线性运算 (a)(a)矩阵的加法矩阵的加法 设设 是数域是数域P P上的矩阵，和定义为上的矩阵，和定义为 .(b)(b)数乘矩阵数乘矩阵 设设 ，与与 的乘积的乘积定义为定义为 矩阵加法与数乘称为矩阵的线性运算，且满足运算矩阵加法与数乘称为矩阵的线性运算，且满足运算律律.(2)(2)矩阵的乘法矩阵的乘法(a)(a)设设 定义定义 与与 的乘积为：的乘积为：其中，其中，注：注：两个矩阵只有当前面矩阵的列数与后面矩阵的两个矩阵只有当前面矩阵的列数与后面矩阵的行数相等时才能相乘行数相等时才能相乘.满足的运算律有：结合律；分配律；数与乘法的结满足的运算律有：结合律；分配律；数与乘法的结合律即：合律即：但是但是，乘法一般不乘法一般不满足交换律即满足交换律即:有三种原因，你是否知道？有三种原因，你是否知道？(b)(b)方阵的幂及矩阵多项式方阵的幂及矩阵多项式 称为矩阵的方幂称为矩阵的方幂.矩阵多项式：设矩阵多项式：设 为为方阵方阵，称，称 为矩阵为矩阵 的多项式。的多项式。对任意的对任意的 都有都有(3)(3)矩阵的转置矩阵的转置 (a)(a)将矩阵将矩阵 的行列互换，所得到的矩的行列互换，所得到的矩阵称为阵称为 的转置。记为的转置。记为 或或 (b)(b)转置的性质转置的性质 特别特别 (4)(4)特殊矩阵特殊矩阵 (a)(a)对角矩阵对角矩阵 对角矩阵的和、对角矩阵的和、差、积、方幂为主对角线上元素的和、差、积、方幂差、积、方幂为主对角线上元素的和、差、积、方幂.它的逆为它的逆为(b)(b)对称阵与反对称阵对称阵与反对称阵 若方阵若方阵 满足满足 ，即，即 则称则称A A为对称矩阵为对称矩阵.若方阵若方阵 满足满足 ，即，即 则称则称A A 为反对称矩阵为反对称矩阵.结论结论1 1：任一方阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵：任一方阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和即的和即 结论结论2 2：奇数阶反对称矩阵的行列式为零；偶数阶反：奇数阶反对称矩阵的行列式为零；偶数阶反对称矩阵的行列式可能为零也可能非零对称矩阵的行列式可能为零也可能非零.(c)基本矩阵基本矩阵 形如形如 的矩阵称为基本矩阵的矩阵称为基本矩阵.结论结论1 1：任一矩阵都可由基本矩阵线性表出：任一矩阵都可由基本矩阵线性表出.结论结论2 2：与任意矩阵可换的矩阵一定是数量矩阵：与任意矩阵可换的矩阵一定是数量矩阵.证明证明可利用基本矩阵可利用基本矩阵.(d)(d)正交矩阵，幂等矩阵，幂零矩阵，对合矩阵正交矩阵，幂等矩阵，幂零矩阵，对合矩阵 (e)(e)可换矩阵可换矩阵 若方阵满足若方阵满足 则称矩阵则称矩阵A A与与B B可换可换.结论结论1 1：与对角阵：与对角阵(主对角元互不相等主对角元互不相等)可换的矩阵可换的矩阵只能是对角矩阵只能是对角矩阵.结论结论2 2：与：与 可换的矩阵只能可换的矩阵只能 是同型的准对角矩阵是同型的准对角矩阵.当当A A与与B B可换时，下面结论成立可换时，下面结论成立.的展开式成立的展开式成立.特别，当特别，当 时，上述公式应用广泛时，上述公式应用广泛.题型分析题型分析：例例1 1 设设 ,求求 .求矩阵的方幂一般有三种方法：求矩阵的方幂一般有三种方法：(1)(1)归纳法，归纳法，(2)(2)可换公式法，可换公式法，(3)(3)相似对角化法相似对角化法.由于矩阵由于矩阵A A是特殊矩阵，所以使用可换公式法简单！是特殊矩阵，所以使用可换公式法简单！例例2 2 设设 为任意多项式，为任意多项式，求出求出 的表达式的表达式.例例3 3 设设A A、B B为为n n阶方阵，且阶方阵，且 证明：证明：分析：证明分析：证明A A、B B可换，联想到可逆定义即可获结论可换，联想到可逆定义即可获结论.例例4 4 设设 求所有与求所有与A A可换的矩阵可换的矩阵.提示：先化简，后计算提示：先化简，后计算.例例5 5 设设 均为均为n n阶方阵，其中阶方阵，其中 的元素均为的元素均为1 1，证，证明方程明方程 仅有零解仅有零解.注意注意：这种元素均为：这种元素均为1 1的矩阵有特殊性质的矩阵有特殊性质 ,以以后还会遇到！后还会遇到！2.2.初等变换与矩阵的逆初等变换与矩阵的逆(1)(1)初等变换初等变换 (a)(a)交换矩阵的两行交换矩阵的两行(列列).).(b)(b)矩阵的某一行矩阵的某一行(列列)同乘一个非零数同乘一个非零数.(c)(c)矩阵的某一行矩阵的某一行(列列)的常数倍加到另一行的常数倍加到另一行(列列).).(2)(2)初等矩阵初等矩阵 对单位矩阵对单位矩阵 作一次初等变换得到的矩阵称为初作一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵等矩阵.初等矩阵有三种形式：初等矩阵有三种形式：结论结论1 1：初等矩阵都是可逆的，且：初等矩阵都是可逆的，且结论结论2 2 (变换与矩阵乘积的关系变换与矩阵乘积的关系)在矩阵在矩阵A A的左的左(右右)侧侧乘初等矩阵，相当于对矩阵乘初等矩阵，相当于对矩阵A A作一次相应的行作一次相应的行(列列)初初等变换等变换.(3)(3)矩阵的等价矩阵的等价 对矩阵对矩阵A A做初等变换得到矩阵做初等变换得到矩阵B B，则称矩阵，则称矩阵A A与矩阵与矩阵B B等价等价.若若 则矩阵则矩阵 与矩阵与矩阵 等价，称为等价，称为 的等价标准形的等价标准形.即存在可逆矩即存在可逆矩阵阵 使使 结论结论1 1：等价标准形在处理矩阵问题中有重要应用！结论结论2 2：可逆矩阵的等价标准形是：可逆矩阵的等价标准形是 结论结论3 3：矩阵：矩阵A A与与B B等价的充要条件是等价的充要条件是(4)(4)逆矩阵逆矩阵 (a)(a)逆矩阵的定义逆矩阵的定义 对于对于方阵方阵 如果存在如果存在方阵方阵 使得使得 则称则称矩阵矩阵 可逆，可逆，为为 的逆矩阵，记为的逆矩阵，记为 (b)(b)逆矩阵的性质逆矩阵的性质 (c)(c)伴随矩阵及相关公式伴随矩阵及相关公式 设设 称称 为为A A的伴随矩阵，下的伴随矩阵，下面公式成立：面公式成立：(d)(d)矩阵可逆的判别条件矩阵可逆的判别条件 矩阵矩阵 可逆的充分必要条件为：可逆的充分必要条件为：也有等价条件也有等价条件(e)(e)求逆矩阵的方法求逆矩阵的方法伴随矩阵法：伴随矩阵法：此法仅限于二阶矩阵此法仅限于二阶矩阵.初等变换法：初等变换法：题型解析题型解析:(a):(a)与逆矩阵定义及性质相关问题与逆矩阵定义及性质相关问题.(b)(b)与伴随矩阵有关问题与伴随矩阵有关问题.（c c）矩阵方程解法）矩阵方程解法.证明证明A A 可逆，并求可逆，并求 方法一：初等变换法方法一：初等变换法.方法二：利用矩阵的特殊性及运算性质方法二：利用矩阵的特殊性及运算性质.例例2 2 设设A A为为n n阶方阵阶方阵,若若 可逆且可逆且求证求证:(1):(1)(2)(2)例例3 3 设设A A 满足满足 证明：证明：与与 可逆，可逆，并求逆并求逆.例1 设例例4 4 已知已知 均可逆，证明：均可逆，证明：可逆，并可逆，并求逆求逆.例例5 5 已知已知 可逆，证明：可逆，证明：可逆，且可逆，且 这是一个较难的问题，可以灵活地从几个方面去考虑：这是一个较难的问题，可以灵活地从几个方面去考虑：(a)(a)利用逆的定义利用逆的定义 (b)(b)利用反证法，构造齐次方程组利用反证法，构造齐次方程组(c)(c)利用增补项方法构造利用增补项方法构造 下面问题与伴随矩阵有关，四个结论是重要的下面问题与伴随矩阵有关，四个结论是重要的.(a)(b)(a)(b)(c)(d)(c)(d)要求会证明四个公式，清楚他们的联系要求会证明四个公式，清楚他们的联系.且且 求矩阵求矩阵 例例2 2 已知已知A A为为3 3阶非零方阵，且阶非零方阵，且 证明，证明，A A可逆，可逆，并求并求 例例1 1 已知已知A A的伴随矩阵的伴随矩阵 例例3 3 设设n n阶矩阵阶矩阵A A满足满足又矩阵又矩阵其中其中为为A A中元素的代数余子式，证明中元素的代数余子式，证明例例4 4 证明：与任意证明：与任意n n阶可逆矩阵可交换的矩阵阶可逆矩阵可交换的矩阵一定与任意一定与任意n n阶矩阵可交换阶矩阵可交换.例5 如果可逆的如果可逆的n n阶方阵阶方阵A A的每行元素之和为的每行元素之和为a a，试证明：，试证明：的每一行元素之和为的每一行元素之和为矩阵方程是线性代数研究的重要对象.矩阵方程求解大致分为两步进行：先化简方程，然后求解.如果所求未知矩阵只有一个，通过移项，合并同类项提取公因子等使之变形为 或 或的形式，再通过左乘或右乘可逆矩阵，即可求出未知矩阵.如果矩阵方程除含有所求的未知矩阵外，还含有未知伴随矩阵、未知可逆矩阵、未知矩阵的转置等形式时，常常先利用公式进行转化，转化为第一种形式.例1 设3阶矩阵A与B满足 若 求矩阵B.例2 设3阶方程A与B满足 若求矩阵B.例3 已知矩阵A、B如下，且满足求例4 设A为 矩阵，证明：矩阵方程必有解.证明：设 则存在可逆矩阵P、Q使得令于是有3.3.矩阵的秩矩阵的秩(1)(1)矩阵秩的两种定义：矩阵秩的两种定义：a)a)矩阵矩阵A A的行秩等于列秩，称为的行秩等于列秩，称为A A的秩的秩.记为记为 b)b)的充分必要条件为的充分必要条件为A A至少有一个至少有一个 阶子式阶子式非零，但是所有非零，但是所有 阶子式全为零阶子式全为零.注：掌握子式、主子式、顺序主子式的概念注：掌握子式、主子式、顺序主子式的概念.(2)(2)矩阵秩的求法矩阵秩的求法 依据：初等变换不改变矩阵的秩依据：初等变换不改变矩阵的秩.对矩阵对矩阵 作初等变换将它化为阶梯形，则阶梯形矩阵作初等变换将它化为阶梯形，则阶梯形矩阵非零行的个数为矩阵的秩非零行的个数为矩阵的秩.(3)(3)矩阵秩的性质矩阵秩的性质 a)a)b)b)若矩阵若矩阵 可逆，则可逆，则 c)c)d)d)e)e)f)f)特例，若特例，若 则则 g)g)设设 则则h)h)设设 则则题型分析：题型分析：1)1)矩阵秩的求法与简单性质应用矩阵秩的求法与简单性质应用 例例1 1 讨论矩阵讨论矩阵 的秩的秩.例例2 2 设设A A是一个是一个 矩阵，矩阵，B B是是 矩阵，如果矩阵，如果 试求试求 并证明并证明 例例3 3 设设A,BA,B是是n n阶方阵，且阶方阵，且 求求 例例4 4 设设A A为为n n阶方阵，且阶方阵，且 证明证明:(1)(1)(2)(2)若若 则则 2)2)利用齐次线性方程组的解处理矩阵秩的问题利用齐次线性方程组的解处理矩阵秩的问题 例例1 1设设 ，证明：，证明：例例2 2 证明：证明：例例3 3 证明：证明：的充分必要是的充分必要是 与与 同解同解.例例4 4 设设A A、B B、C C是三个是三个n n阶矩阵，如果阶矩阵，如果 则则 例例5 5 设设A A为任意为任意n n阶方阵，证明：阶方阵，证明：3)3)秩不等式的证明秩不等式的证明 例例1(1(西尔维斯特不等式西尔维斯特不等式)证明：证明：熟悉分块矩阵的应用！熟悉分块矩阵的应用！例例2 2 设设 都是都是n n阶方阵，且阶方阵，且证明：证明：例例3 3 设设 证明：证明：4.4.分块矩阵分块矩阵 1)1)分块矩阵乘法与转置分块矩阵乘法与转置 a)a)b)b)设设 则则 2)2)常见分块法常见分块法 a)a)行、列分块行、列分块.b)b)二分块二分块 c)c)四分块四分块 d d）准对角矩阵）准对角矩阵 3)3)分块矩阵的初等变换与初等矩阵分块矩阵的初等变换与初等矩阵 a)a)交换两行，交换两行，b)b)某一行某一行(列列)左左(右右)同乘一个可逆矩同乘一个可逆矩阵阵.c).c)某一行某一行(列列)的矩阵倍加到另一行的矩阵倍加到另一行.分块初等矩阵分块初等矩阵：将将 作一次初等变换得到的矩作一次初等变换得到的矩阵称为分块初等矩阵阵称为分块初等矩阵.结论：对分块矩阵做一次行初等变换，相当于在它的结论：对分块矩阵做一次行初等变换，相当于在它的左边乘上相应的分块初等矩阵左边乘上相应的分块初等矩阵.题型分析题型分析:(1):(1)分块及分块乘法的应用分块及分块乘法的应用.(2)(2)分块初等变换的应用分块初等变换的应用.例例1 1 设设B B为为 矩阵，矩阵，C C为为 矩阵，且矩阵，且 证明：证明：1)1)如果如果 那么，那么，2)2)如果如果 那么，那么，例例2 2 设设 ，若，若 则存在秩为则存在秩为r r的矩阵的矩阵 与与使得使得例例3 3 设设A A是是n n阶方阵，证明：存在可逆矩阵阶方阵，证明：存在可逆矩阵B B及一个幂及一个幂等矩阵等矩阵C C使得使得例例4 4 设设 当当 可逆时，求可逆时，求两种方法，定义法，初等变换法。两种方法，定义法，初等变换法。例例5 5 设设 都是都是n n阶方阵，且阶方阵，且 当当A A可可逆时，证明：逆时，证明：例例6 6 设设 证明证明:(1):(1)(2)(2)若若 则则 上面结论在上面结论在 时称为降阶公式，在行列式计算时称为降阶公式，在行列式计算中扮演重要角色中扮演重要角色.下面两个例子说明它的应用下面两个例子说明它的应用.例例 计算行列式计算行列式 (1)(2)(1)(2)例例7 7 证明：设证明：设A A为为n n阶方阵，证明阶方阵，证明:的充分必要的充分必要为为 注：本题的充分性主要说明构造分块矩阵解决要证注：本题的充分性主要说明构造分块矩阵解决要证明的问题明的问题!例例8 8 设设A A是是 矩阵矩阵,证明：证明：例例9 9 设设 且且A A的列向量组线性无关，证明：的列向量组线性无关，证明：的任意的任意 个列向量有相同的相关性个列向量有相同的相关性.下次再见！行列式是高等代数中的一个基本概念，它不仅是研究线性方程组理论的有力工具，而且在求逆矩阵、求矩阵的秩、判断向量组的线性相关性以及求矩阵的特征值、判断二次型的正定性等方面都起着重要的是作用.本章复习内容分三个部分：(1)行列式定义(2)行列式性质(3)行列式计算.定义是基础，性质是关键，计算是核心.第一章第一章 行列式行列式二阶三阶行列式是使用对角线法定义的，四阶以上的行列式对角线法不成立.n阶行列式是通过对二阶三阶行列式定义的分析、归纳总结得到的.1.1 行列式的定义(1)项的构成 (2)项的个数 (3)每项的符号1 行列式的定义其中 是 的一个排列.例1 已知求 与 的系数.1.2 排列的性质(1)对换改变排列的奇偶性.(2)奇偶排列各半.(3)任一排列都可通过一系列对换变为自然排列，并且所做的对换次数的奇偶性与排列的奇偶性相同.例2 求2.2.行列式的性质(1)(对称性).反应了行与列具有相同的性质.(2)(互换性)行行互换行列式反号.(3)(比例性)两行对应成比例，行列式为零.(4)(数量性)行有公因子可提到行列式之外.(或数K乘行列 式等于数K 乘行列式的某一行.)(5)(倍加性)某一行的倍数加到另一行，行列式不变.(6)(拆分性)(7)行列式展开定理-降阶定理 两个概念：余子式 ，代数余子式 关系：定理：推论：(8)Laplace定理 K 阶子式()，K 阶代数余子式，主子式，顺序主子式.定理：在行列式D 中，任意选定K 行 ，由这K 行元素所组成的一切K 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D。例1 设求 D 的第K行元素的代数余子式之和，即 例2 计算例2推广为3.行列式计算中常用的结论(1)对角线行列式(2)三角形行列式下三角(3)范德蒙德行列式 由一组数的连续方幂(从0到n)构成的行列式称为范德蒙德行列式.对范德蒙德行列式要求会证明！方法：用逐行想减法降阶得递推公式，然后使用数学归纳法证明.(4)对称行列式、反对称行列式 若 或 则称 为对称行列式.若 或 则称 为反对称行列式.结论：奇数阶反对称行列式为零.(5)分块行列式 A为n阶方阵，B为m阶方阵.(6)行列式乘积公式：(i)(ii)(iii)4 4 行列式的计算行列式的计算 今天是星期六20003 2222222009学学雪雪