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第十一章第十一章 曲线积分曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念一、对弧长的曲线积分的概念1.定义函数定义函数 f(x,y)在曲线弧上对弧长的曲线积分在曲线弧上对弧长的曲线积分2.存在条件：存在条件：3.推广推广4.性质性质 5、对弧长曲线积分的计算、对弧长曲线积分的计算定理定理注意注意:例例1解解例例2解解例例3解解例例3解解 由对称性由对称性,知知练习题练习题练习题答案练习题答案二、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的概念1.定义定义:2.函数函数 P(x,y)在有向曲线弧在有向曲线弧L上对坐标上对坐标 x 的曲线积的曲线积分分类似地定义类似地定义2.存在条件：存在条件：3.组合形式组合形式4.4.推广推广5.5.性质性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.6、对坐标的曲线积分的计算、对坐标的曲线积分的计算定理定理例例1解解例例2解解问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同路径不同积分结果不同.例例3解解问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同路径不同而积分结果相同.(4)两类曲线积分之间的联系：两类曲线积分之间的联系：其中其中（可以推广到空间曲线上（可以推广到空间曲线上 ）思考题思考题思考题解答思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定.练习题答案练习题答案1 1、区域连通性的分类、区域连通性的分类 设设D为平面区域为平面区域,如果如果D内任一闭曲线所内任一闭曲线所围成的部分都属于围成的部分都属于D,则称则称D为平面单连通区域为平面单连通区域,否则称为复连通区域否则称为复连通区域.复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD三三、格林公式、格林公式2.2.格林公式格林公式定理定理1 1边界曲线边界曲线L L的正向的正向:当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区区域域D总在他的左边总在他的左边.xyoLAB 解解xyoLyxoxyo(注意格林公式的条件注意格林公式的条件)若区域若区域 如图为如图为复连通域，试描述格复连通域，试描述格林公式中曲线积分中林公式中曲线积分中L的方向。的方向。思考题思考题思考题解答思考题解答由两部分组成由两部分组成外外边界：边界：内内边界：边界：Gyxo四、第二类曲线积分与路径无关的条件四、第二类曲线积分与路径无关的条件BA1.1.定义：如果在区域定义：如果在区域G内有内有2.2.曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件定理定理2 2两条件缺一不可两条件缺一不可有关定理的说明：有关定理的说明：定理定理3 3解解解解四、小结四、小结与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题练习题答案练习题答案五、对面积的曲面积分五、对面积的曲面积分1.1.定义定义2.2.对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质3、计算法、计算法则则则则例例1 1解解解解依对称性知：依对称性知：练练 习习 题题练习题答案练习题答案六、对坐标的曲面积分六、对坐标的曲面积分1.曲面的侧曲面的侧(假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧曲面法曲面法向量的指向向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧.决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面.曲面的投影问题曲面的投影问题:2 2、概念及性质、概念及性质类似可定义类似可定义存在条件存在条件:组合形式组合形式:性质性质:3 3、计算法、计算法注意注意:对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧.解解练练 习习 题题练习题答案练习题答案七、高七、高 斯斯 公公 式式GaussGauss公式的实质公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系曲面上的曲面积分之间的关系.由两类曲面积分之间的关系知由两类曲面积分之间的关系知解解(利用柱面坐标得利用柱面坐标得)使用使用Guass公式时应注意公式时应注意:解解空间曲面在空间曲面在 面上的投影域为面上的投影域为曲面曲面 不是封闭曲面不是封闭曲面,为利用为利用高斯公式高斯公式故所求积分为故所求积分为练习题练习题练习题答案练习题答案
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