高数下三重积分及其计算-课件

高数下三重积分及其计算假如当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零时,该和式的极限存在,则称此极限为空间物体 的质量M,即 当然,在三维空间定义的函数u=f(x,y,z)的“几何”意义是四维空间的“曲面”,我们能够想象,但不管如何也无法画出其“图形”,因此我们不再讨论其几何意义、下面我们给出三重积分的定义:定义:设f(x,y,z)是空间有界闭区域 上的有界函数,将闭区域 任意分成n个小闭区域 v1,v2,vn,其中 vi 表示第 i 个小闭区域,也表示它的体积,在每个 vi上任取一点(i,i,i),作乘积 f(i,i,i)vi(i=1,2,n),并作和假如当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零时,该和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y,z)在闭区域 上的三重积分,并记为 即其中dv 称为体积元素,其它术语与二重积分相同、同样有:闭区域上的连续函数一定可积、在直角坐标系中,假如我们用三族(平行于坐标的)平面 x=常数,y=常数,z=常数,对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体、其体积元素为:dv=dxdydz、三重积分可写成:由定义可知三重积分与二重积分有着完全相同的性质,不再叙述、二、三重积分在直角坐标系中的计算法 与二重积分类似,三重积分可化成三次积行计算、具体可分为先单后重和先重后单两种类型、(x,y)z=z1(x,y)z=z2(x,y)先单后重:设闭区域 在xoy面的投影为闭区域Dxy、在闭区域Dxy内任取一点(x,y),作垂直于xoy面的直线穿过闭区域 、穿入 时的下边界曲面方程:z=z1(x,y)穿出 时的上边界曲面方程:z=z2(x,y)先将x,y看作定值,f(x,y,z)看作z的函数,则积分 为闭区域Dxy上的函数,能够理解为压缩在平面薄片Dxy 上的密度函数、(x,y)z=z1(x,y)z=z2(x,y)y=y1(x)y=y2(x)ab 由三重积分的物理意义,若将f(x,y,z)理解为闭区域 上的体密度函数,那么三重积分表示空间物体的质量M、则函数F(x,y)能够理解为压缩在平面薄片Dxy上的密度函数、则质量M等于F(x,y)在平面薄片Dxy上二重积分:即下面只需将二重积分化成二次积分:不妨设Dxy为X区域:y1(x)y y1(x),a x b、则 此方法也称为先一后二,或切条法(先z次y后x,或先z次x后y)注意:这是用平行于z轴(或垂直于xoy平面)且穿过闭区域 内部的直线与闭区域 的边界曲面相交不多于两点情形、用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分、化三重积分为三次积分的步骤:投影:得平面区域;穿越法定限:穿入点下限,穿出点上限、关于二重积分化为累次积分的方法,差不多介绍过、oxyzDxy例1:将三重积分 化成三次积分,其中 为长方体,各边界面平行于坐标面、解:将 投影到xoy面得Dxy,它是一个矩形:c y d,a x b,在Dxy内任取一点(x,y)作平行于z 轴的直线,交边界曲面于两点,其竖坐标为l 和m(l m)、abcd(x,y)ml例2:计算平面x+y+z=1所围成的区域、Dxyxyzo其中 是三个坐标面与 解:画出 在xoy面上的投影区域 Dxy:0 y 1x,0 x 1,平行于z 轴直线穿过的下曲面为z=0,上曲面为z=1xy,有 0 z 1xy、x+y+z=1x+y=1解:画出积分区域 的草图、其中积分区域 为由曲面z=x2+y2,y=x2,y=1,z=0所围成的空间闭区域、例3:化三重积分为 三次积分,在xoy面上的投影区域Dxy:x2 y 1,1 x 1,平行于z 轴的直线穿过 的下曲面为z=0,上曲面为z=x2+y2,有0 z x2+y2、例4:将三次积分 化为按y,z,x的次序积分、解:由所给积分次序可得 :0 z x2+y2,0 y 1,0 x 1、即 在xoy面上得投影为方形区域,0 y 1,0 x 1、平行于z 轴的直线穿过 的下曲面为z=0,上曲面为z=x2+y2,有 0 z x2+y2、由题意要求,需要先对y积分,则应作平行于y 轴的直线穿过 ,为此,需作一母线平行于y 轴的柱面z=x2,将积分区域分为两部分(见图)1,2、1,2在xoz面上的投影区域D1,D2分别为:D1:0 z x2,0 x 1;D2:x2 z x2+1,0 x 1、xoz 关于y的变化范围:在D1上:0 y 1;在D2上:因此,除了上面介绍的先单后重法(切条法)外,利用先重后单法或称截面法也可将三重积分化成三次积分、先重后单,就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分、先重后单:D(z)xyzoc1c2 设积分区域 介于两平行平面z=c1,z=c2(c1c2)之间,用任一平行且介于此两平面的平面去截 ,得区域D(z),c1 z c2、则 易见,若二重积分容易计算时,特别是被积函数f(x,y,z)与x,y无关时,则二重积分的结果就是D(z)的面积,因此,用截面法较为方便、即得三重积分值.(4)最后计算单积分 (3)计算二重积分 的函数F(z);其结果为 z 截面法的一般步骤:(1)把积分区域 向某轴(例如 z 轴)投影,得投影区间c1,c2;(2)对z c1,c2用过 z 轴且平行xoy面的平面去截,得截面D(z);例5:计算 解:易见 介于z=c 和 z=c 之间,而 zyxo或故例6:计算 解一:先重后单、介于z=0 和 z=1之间,D(z):x2+y2 z、解二:先单后重、将 投影到xoy面得投影区域:Dxy:x2+y2 1、平行于z 轴的直线穿过 的下曲面为z=x2+y2,上曲面为z=1,因此有 x2+y2 z 1、(用极坐标,用对称性)因此,因此,此例介绍的是一种计算三重积分的方法,这种方法也具有一定的普遍性,这就是我们将要介绍的柱坐标系下的计算法、三、小结 三重积分的定义;在直角坐标系下的体积元素:dv=dxdydz;三重积分的计算:用切条法或截面法将三重积分化为三次积分、考虑题:为六个平面x=0,x=2,y=1,x+2y=4,z=x,z=2围成的区域,f(x,y,z)在 上连续,则累次积分_ (D)x=0 x=2y=1 x+2y=4四、在柱坐标系下的计算法 设M(x,y,z)为空间内一点,并设点M在xoy面上的投影P的极坐标为r,则如此的三个数r,z 就叫点M的柱面坐标、规定:0 r+,0 2,z+、直角坐标与柱面坐标的变换公式:三重积分在柱坐标系和球坐标系下的计算 zx0yzMrS S z r=常数 圆 柱 面 z=常数 垂直z轴的平面 动点M(r,z)柱面坐标系的坐标面 zx0yzMrS S P P r=常数 圆 柱 面 z=常数 垂直z轴的平面动点M(r,z)柱面坐标系的坐标面 =常数 过z轴的半平面 xz y0 drrrd d z平面z柱面坐标下的体积元素 元素区域由六个坐标面围成:半平面 及+d ;半径为r及r+dr的圆柱面;平面z及z+dz;xz y0 drrrd d z底面积:rdrd dz平面z+dz、柱面坐标下的体积元素 元素区域由六个坐标面围成:半平面 及+d ;半径为r及r+dr的圆柱面;平面z及z+dz;xz y0 drrrd d z底面积:rdrd dz、dv柱面坐标下的体积元素 元素区域由六个坐标面围成:半平面 及+d ;半径为r及r+dr的圆柱面;平面z及z+dz;因此:dv=rdrd dz、因此 然后再把它化为三次积分来计算、积分次序一般是先z次r后 、积分限是依照 z,r,在积分区域中的变化范围来确定、解:积分区域 为一圆锥面与平面z=1围成、将积分区域 投影到xoy面得Dxy:x2+y2 1、例1:计算三重积分:圆锥面 柱面坐标方程为z=r.则积分限为:0 2,0 r 1,r z 1、注:若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体,圆锥体或旋转体时,通常总是考虑使用柱坐标来计算、因此 例2:计算三重积分 面 z=1,z=2 和圆锥面 围成的区域、其中 是由平 解:确定变量 z,r,的变化范围、r,的范围容易定出:0 2,0 r 2、z 呢?当0 r 1时,1 z 2;当1 r 2时,r z 2、作图!由图能够看出:因此,五、在球坐标系下的计算法 设M(x,y,z)为空间内一点,则点M可用三个有次序的数r,来确定,其中 r 为原点O与点M间的距离,为有向线段OM与 z 轴正向的夹角,为从 z 轴正一直看自 x 轴按逆时针方向转到有向线段OP 的夹角,这个地方P 为点M在 xoy 面上的投影,如此的三个数 r,就叫做点M的球面坐标、x=OAy=OBz=OC OM=r、=OMsin cos =OMsin sin =OMcos=OPcos =OPsin 因此 规定:0 r 0)所围的立体.解一:用球坐标、平面 z=a x2+y2=z2 解二:用柱坐标、x2+y2=z2 z=r,因此,:r z a,0 r a,0 2 、例4:求曲面x2+y2+z2 2a2与 立体体积、所围成的 解:由锥面和球面围成、采纳球面坐标、由x2+y2+z2=2a2 r=由三重积分的性质知:所求立体的体积V为:感谢您的聆听！感谢您的聆听！