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微分中值定理的核心是微分中值定理的核心是拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理，中值定理，费马定理费马定理是它的预备定理，是它的预备定理，罗尔定理罗尔定理是它的特例，是它的特例，柯西定理柯西定理是它的推广。是它的推广。1.1.预备定理预备定理费马费马(Fermat)定理定理 费马（费马（Fermat，1601-1665），），法国人，与笛卡尔共法国人，与笛卡尔共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著名于世。同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著名于世。第一节第一节 微分中值定理微分中值定理12几何解释几何解释:3证明证明:4几何解释几何解释:2.2.罗尔罗尔(Rolle)定理定理xO yCx aby f(x)AB 如果连续光滑的曲线如果连续光滑的曲线 y f(x)在在端点端点 A、B 处的处的纵坐标相等。那么，在纵坐标相等。那么，在曲线弧上至少有一点曲线弧上至少有一点 C(x x,f(x x)，曲线在曲线在 C点点的切线平行于的切线平行于 x 轴。轴。如如果果函函数数y f(x)满满足足条条件件：(1)在在闭闭区区间间a,b上上连连续续，(2)在在开开区区间间(a,b)内内可可导导，(3)f(a)f(b)，则至少存在一点则至少存在一点x x(a,b)，使得使得f (x x)0。5证证由费马引理由费马引理,6注意：注意：如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立。f(x)不满足条件不满足条件(1)BxO yAab f(x)不满足条件不满足条件(3)xO yABab f(x)不满足条件不满足条件(2)xO yABabc7例例1 1验证验证8 例例2 2 不不求求导导数数，判判断断函函数数f(x)(x-1)(x-2)(x-3)的的导导数数有几个零点，以及其所在范围。有几个零点，以及其所在范围。解解 f(1)f(2)f(3)0，f(x)在在1,2，2,3上上满满足足罗罗尔定理的三个条件。尔定理的三个条件。在在(1,2)内至少存在一点内至少存在一点 x x1，使使 f (x x1)0，x x1是是 f (x)的一个零点。的一个零点。在在(2,3)内内至至少少存存在在一一点点 x x2，使使f (x x2)0，x x2也也是是f (x)的一个零点。的一个零点。f (x)是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间(1,2)及及(2,3)内。内。可导函数的两个零点之间必有其导数的零点。可导函数的两个零点之间必有其导数的零点。9 如果函数如果函数f(x)满足：满足：(1)在闭区间在闭区间a,b上连续，上连续，(2)在开区间在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点内可导，则至少存在一点x x(a,b)内，使内，使得得几何意义：几何意义：C2h xO yABaby=f(x)C1x 3.3.拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理10证明证明作辅助函数作辅助函数 11例例3 312拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.或或特别地特别地,或或拉格朗日中值公式另外的表达方式：拉格朗日中值公式另外的表达方式：13推论推论1 1证明证明14推论推论2 2证明证明15例例4 4证证由推论由推论1知知,16例例5 5利用拉格朗日定理可利用拉格朗日定理可证明不等式证明不等式.证证17例例6 6证证由上式得由上式得18例例7 7证证类似可证：类似可证：特别，特别，194.4.柯西柯西(Cauchy)中值定理中值定理 设函数设函数f(x)及及g(x)满足条件：满足条件：(1)在闭区间在闭区间a,b上连续，上连续，(2)在开区间在开区间(a,b)内可导，内可导，(3)在在(a,b)内任何一点处内任何一点处g(x)均不为零，均不为零，则至少存在一点则至少存在一点x x(a，b)内，使得内，使得如如果果取取g(x)x，那那么么柯柯西西中中值值定定理理就就变变成成了了拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理.说明说明：20 xO yAB f(b)f(a)g(a)g(b)C1g(x)C2g(h)柯西中值定理的几何意义柯西中值定理的几何意义：由参数方程确定的函数的导数为由参数方程确定的函数的导数为直线直线AB的斜率为的斜率为曲线在点曲线在点C1和和C2的的斜率为斜率为21证明证明 易知易知 F(x)在在 a,b 上满足罗尔定理的全部条件，因此，上满足罗尔定理的全部条件，因此，至少存在一点至少存在一点 x x (a,b)，使使作辅助函数作辅助函数 22练习：练习：P132 习题习题3-12.6.改为改为:7.9.11.(2)改为改为:23证证24第二节第二节 洛必达法则洛必达法则 在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小量在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小量或同是无穷大量，那么极限可能存在，也可能不存在，或同是无穷大量，那么极限可能存在，也可能不存在，这种极限称为这种极限称为未定式未定式，记为，记为洛必达法则是求函数极限的一种重要方法洛必达法则是求函数极限的一种重要方法.25说明说明：26例例1 1例例2 2用洛必达法则求极限例题。用洛必达法则求极限例题。27例例3 3等价无穷等价无穷小替换小替换28例例4 4例例5 529例例6 6或解或解：及时及时分离分离非零非零因子因子 30例例7 731例例8 8解解极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。例例9 9不能使用洛必达法则。不能使用洛必达法则。解解32例例1010关键关键:将其它类型未定式化为将其它类型未定式化为 或或 型未定式。型未定式。步骤步骤:33例例1111步骤步骤:34步骤步骤:例例1212对数恒等式对数恒等式35例例1313或解或解(重要极限法重要极限法)：36例例1414解解37第三节第三节 泰勒泰勒(Taylor)公式公式38不足不足:问题问题:1、精确度不高；、精确度不高；2、误差不能估计。、误差不能估计。39分析分析:2.若有相同的切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近近似似程程度度越越来来越越好好1.若在若在 点相交点相交40N 阶接触阶接触41拉格朗日型余项拉格朗日型余项42证明证明:434445说明说明:46麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)公式公式此时泰勒公式称为此时泰勒公式称为麦克劳林公式麦克劳林公式.拉格朗日型余项拉格朗日型余项皮亚诺型余项皮亚诺型余项47解解近似公式近似公式误差误差其误差其误差48解解495051525354 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式55解解56解解57解解利用泰勒展开式求极限利用泰勒展开式求极限58例例6 6解解59练习：练习：P143 习题习题3-31.3.5.7.10.60第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法61函数的单调性与导数符号的关系函数的单调性与导数符号的关系观察与思考：观察与思考：函数单调增加函数单调增加函数单调减少函数单调减少 函数的单调性与导数的符号有什么关系？函数的单调性与导数的符号有什么关系？62 函数单调增加时导数大于零，函数单调减少时导数函数单调增加时导数大于零，函数单调减少时导数小于零。小于零。函数的单调性与导数符号的关系函数的单调性与导数符号的关系观察结果：观察结果：函数单调减少函数单调减少函数单调增加函数单调增加63定理定理64证证应用拉格朗日定理应用拉格朗日定理,得得65例例1 1解解例例2 2解解66例例3 3解解67例例4 4解解68例例4 4解解也可用列表的方式，也可用列表的方式，69导数等于零的点和不可导点，可能导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点是单调区间的分界点方法方法:注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响不影响区间的单调性区间的单调性.例如例如,y-2O2-4-224x y=x3 驻点驻点70例例5 5证证利用函数的单调性证明不等式利用函数的单调性证明不等式71即原式成立。即原式成立。例例6 6证证72由连续函数的零点存在定理知，由连续函数的零点存在定理知，利用函数的单调性讨论方程的根。利用函数的单调性讨论方程的根。例例7 7证证73小结小结单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式程实根的个数和证明不等式.74问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点NABM75观察与思考观察与思考：函数曲线除了有上升和下降外，还有什么特点？函数曲线除了有上升和下降外，还有什么特点？76 定定义义一一 如如果果在在某某区区间间内内，曲曲线线弧弧位位于于其其上上任任意意一一点点的的切切线线的的上上方方，则则称称曲曲线线在在这这个个区区间间内内是是凹凹的的；如如果果在在某某区区间间内内，曲曲线线弧弧位位于于其其上上任任意意一一点点的的切切线线的的下下方方，则称曲线在这个区间内是则称曲线在这个区间内是凸凸的。的。曲线凹向的定义曲线凹向的定义凹的凹的凸的凸的77曲线凹向的定义曲线凹向的定义凹的凹的凸的凸的78图形上任意弧段位于图形上任意弧段位于所张弦的上方：凸的所张弦的上方：凸的图形上任意弧段位于图形上任意弧段位于所张弦的下方：凹的所张弦的下方：凹的79定义二定义二80观察与思考：观察与思考：曲线的凹向与函数的导数的单调性有什么关系？曲线的凹向与函数的导数的单调性有什么关系？拐点拐点凹的凹的凸的凸的当曲线是凹的时，当曲线是凹的时，f (x)单调增加。单调增加。当曲线是凸的时，当曲线是凸的时，f (x)单调减少。单调减少。曲线凹向的判定曲线凹向的判定曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点拐点。81定理定理82例例8 8解解x yO83例例9 9解解凹凹凸凸凹凹拐点拐点拐点拐点8485例例1010解解拐点的求法：拐点的求法：1.1.找出二阶导数为零的点或不可导点；找出二阶导数为零的点或不可导点；2.2.若它两边的二阶导数值异号若它两边的二阶导数值异号,则为拐点则为拐点,若同号则不是拐点若同号则不是拐点.86例例1111解解87利用函数图形的凹凸性利用函数图形的凹凸性,证明不等式证明不等式 例例1212证证88-2-112-2-112Ox y 解：解：f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)。当x(-,-1)时，f(x)0，函数f(x)在(-,-1)内单调增加；当x(-1,1)时，f(x)0，函数f(x)在(1,+)内单调增加。89
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