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29 七月 20241 1第三节 二阶常系数线性微分方程 第八章第八章 一、线性微分方程解的结构一、线性微分方程解的结构四、小结与思考练习四、小结与思考练习二、二阶常系数齐次线性微分方程的求解二、二阶常系数齐次线性微分方程的求解 三、二阶常系数非齐次线性微分方程求解三、二阶常系数非齐次线性微分方程求解 29 七月 20242 2一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时当重力与弹性力抵消时,物体处于物体处于 平衡状态平衡状态,例例1 质量为质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动力作用下作往复运动,解解:阻力的大小与运动速度阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向若用手向物体在弹性力与阻物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图建立坐标系如图.设时刻设时刻 t 物位移为物位移为 x(t).(1)自由振动情况自由振动情况.弹性恢复力弹性恢复力物体所受的力有物体所受的力有:(虎克定律虎克定律)成正比成正比,方向相反方向相反.建立位移满足的微分方程建立位移满足的微分方程.29 七月 20243 3据牛顿第二定律得据牛顿第二定律得阻力阻力即即这就是在有阻尼的情况下，描述物体这就是在有阻尼的情况下，描述物体自由振动的方程自由振动的方程。(2)强迫振动情况强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力若物体在运动过程中还受铅直外力则得则得强迫振动方程强迫振动方程:29 七月 20244 可以看出，自由振动和强迫振动的微分方程都是可以看出，自由振动和强迫振动的微分方程都是二阶微分方程二阶微分方程而且而且未知函数未知函数及其及其各阶导数各阶导数都是都是一次幂一次幂的，的，我们把这种方程称为我们把这种方程称为二阶线性微分方程二阶线性微分方程。其一般形式可其一般形式可表示为表示为n 阶线性微分方程阶线性微分方程的一般形式为的一般形式为时时,称为称为非齐次非齐次的方程的方程时时,称为称为齐次齐次的方程的方程.29 七月 20245 5证毕证毕二、线性微分方程解的结构是二阶线性齐次方程是二阶线性齐次方程的两个解的两个解,也是该方程的解也是该方程的解.证证:代入方程左边代入方程左边,得得(叠加原理叠加原理)定理定理1 29 七月 20246 6不一定不一定是所给二阶方程的通解是所给二阶方程的通解.例如例如,是某二阶齐次方程的解是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解也是齐次方程的解 并不是并不是通解通解但是但是则则为解决通解的判别问题为解决通解的判别问题,下面引入函数的下面引入函数的线性相关线性相关与与 线性无关线性无关概念概念.说明说明:29 七月 20247 7是定义在区间是定义在区间 I 上的上的 n 个函数个函数,使得使得则称这则称这 n个函数在个函数在 I 上上线性相关线性相关,否则称为否则称为线性无关线性无关.例如，例如，在在(,)上都有上都有故它们在任何区间故它们在任何区间 I 上都上都线性相关线性相关;又如，又如，若在某区间若在某区间 I 上上则根据二次多项式至多只有两个零点则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为必需全为 0,可见可见在任何区间在任何区间 I 上都上都 线性无关线性无关.若存在若存在不全为不全为 0 的常数的常数定义定义29 七月 20248 8线性相关线性相关存在不全为存在不全为 0 的的使使(无妨设无妨设线性无关线性无关常数常数思考思考:中有一个恒为中有一个恒为 0,则则必线性必线性相关相关(证明略证明略)线性无关线性无关两个函数在区间两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:29 七月 20249 9是二阶线性齐次方程的两个线是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解性无关特解,则则数数)是该方程的通解是该方程的通解.例如例如,方程方程有特解有特解且且常数常数,故方程的通解为故方程的通解为推论推论是是 n 阶齐次方程阶齐次方程 的的 n 个线性无关解个线性无关解,则方程的通解为则方程的通解为定理定理 2 29 七月 20241010是二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的一个特解的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解是相应齐次方程的通解,则则是非齐次方程的通解是非齐次方程的通解.证证:将将代入方程代入方程左端左端,得得定理定理 329 七月 20241111是非齐次方程的解是非齐次方程的解,又又Y 中含有中含有两个独立任意常数两个独立任意常数,例如例如,方程方程有特解有特解对应齐次方程对应齐次方程有通解有通解因此该方程的通解为因此该方程的通解为证毕证毕因而因而 也是通解也是通解.29 七月 20241212分别是方程分别是方程的特解的特解,是方程是方程的特解的特解.(非齐次方程之解的叠加原理非齐次方程之解的叠加原理)定理定理3,定理定理4 均可推广到均可推广到 n 阶阶线性非齐次方程线性非齐次方程.定理定理 429 七月 20241313例如，例如，是对应齐次方程的是对应齐次方程的 n 个线性个线性无关特解无关特解,给定给定 n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解是非齐次方程的特解,则非齐次方程则非齐次方程的通解为的通解为齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解29 七月 20241414设函数设函数都是二阶非齐次线都是二阶非齐次线性方程性方程定理定理5的解的解,则则必为原方程对应齐次线性方程必为原方程对应齐次线性方程的特解。的特解。提示：提示：设设三、非齐次线性方程与其对应齐次方程解的关系29 七月 20241515内容小结1.二阶线性微分方程的概念二阶线性微分方程的概念2.二阶线性微分方程的解的结构二阶线性微分方程的解的结构3.非齐次线性方程其对应齐次方程解的关系非齐次线性方程其对应齐次方程解的关系29 七月 20241616思考练习则该方程的通解是则该方程的通解是().1.设线性无关函数设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程都是二阶非齐次线性方程的解的解,是任意常数是任意常数,提示提示:都是对应齐次方程的解且线性无关都是对应齐次方程的解且线性无关.(反证法可证反证法可证)29 七月 202417172.常系数齐次线性微分方程 第八章第八章(Constant coefficient homogeneous linear differential equation)一、常系数齐次线性微分方程定义一、常系数齐次线性微分方程定义二、常系数齐次线性方程解法二、常系数齐次线性方程解法三、小结与思考练习三、小结与思考练习29 七月 20241818一、常系数齐次线性微分方程定义二阶二阶常系数常系数齐次齐次线性方程的标准形式线性方程的标准形式二阶二阶常系数常系数非齐次非齐次线性方程的标准形式线性方程的标准形式n阶阶常系数线性微分方程的标准形式常系数线性微分方程的标准形式29 七月 20241919二、二阶常系数齐次线性方程解法基本思路基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程求特征方程(代数方程代数方程)之根之根转化转化29 七月 20242020和它的导数只差常数因子和它的导数只差常数因子,代入代入得得称称为微分方程为微分方程的的特征方程特征方程,1.当当时时,有两个相异实根有两个相异实根方程有两个线性无关的特解方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为因此方程的通解为(r 为待定常数为待定常数),所以令所以令的解为的解为 则微分则微分其根称为其根称为特征根特征根.二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:29 七月 20242121时时,特征方程有两个相等实根特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解则微分方程有一个特解设另一特解设另一特解(u(x)待定待定)代入方程得代入方程得:是特征方程的重根是特征方程的重根取取 u=x,则得则得因此原方程的通解为因此原方程的通解为2.当当29 七月 20242222时时,特征方程有一对共轭复根特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解这时原方程有两个复数解:利用解的叠加原理利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为因此原方程的通解为3.当当29 七月 20242323特征方程特征方程:特特 征征 根根通通 解解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.小结：小结：29 七月 202424的通解的通解.解解:特征方程特征方程特征根特征根:因此原方程的通解为因此原方程的通解为解解:特征方程特征方程因此原方程的通解为因此原方程的通解为利用初始条件得利用初始条件得于是所求初值问题的解为于是所求初值问题的解为例例1特征根特征根 29 七月 20242525解解:所给微分方程的特征方程为所给微分方程的特征方程为它有一对共轭虚根它有一对共轭虚根 故所求通解为故所求通解为 29 七月 20242626这是二阶常系数齐次线性方程这是二阶常系数齐次线性方程.易求解易求解.29 七月 20242727内容小结特征根特征根:(1)当当时时,通解为通解为(2)当当时时,通解为通解为(3)当当时时,通解为通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.课后练习课后练习习题习题83 1-229 七月 20242828思考练习 1.求方程求方程的通解的通解.答案答案:通解为通解为通解为通解为通解为通解为29 七月 202429293.常系数非齐次线性微分方程 第第八章章(Constant coefficient non-homogeneous linear differential equation)一、一、三、小结与思考练习三、小结与思考练习二、二、29 七月 20243030二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理根据解的结构定理,其通解为其通解为非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解求特解的方法求特解的方法根据根据 f(x)的特殊形式的特殊形式,的待定形式的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.待定系数法待定系数法29 七月 20243131一、为实数为实数,为为 m 次多项式次多项式.设特解为设特解为其中其中 为待定多项式为待定多项式,代入原方程代入原方程,得得(1)若若 不是特征方程的根不是特征方程的根,则取则取从而得到特解从而得到特解形式为形式为Q(x)为为 m 次待定系数多项式次待定系数多项式29 七月 20243232(2)若若 是特征方程的是特征方程的单根单根,为为m 次多项式次多项式,故特解形式为故特解形式为(3)若若 是特征方程的是特征方程的重根重根,是是 m 次多项式次多项式,故特解形式为故特解形式为小结小结对方程对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即即即当当 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 时时,可设可设特解特解29 七月 20243333的一个特解的一个特解.解解:本题本题而特征方程为而特征方程为不是特征方程的根不是特征方程的根.设所求特解为设所求特解为代入方程代入方程:比较系数比较系数,得得于是所求特解为于是所求特解为例例529 七月 202434先求对应齐次方程的通解，其特征方程是先求对应齐次方程的通解，其特征方程是 29 七月 20243535从而所求方程的通解为从而所求方程的通解为29 七月 20243636解解:参见教材参见教材.解解:参见教材参见教材.29 七月 20243737利用欧拉公式利用欧拉公式设设29 七月 20243838注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程.29 七月 2024393929 七月 2024404029 七月 2024414129 七月 2024424229 七月 20244343(待定系数法待定系数法)内容小结内容小结
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