随机向量函数的分布与数学期望课件

为了解决类似的问题为了解决类似的问题,下面下面我们讨论两个随机变量函数的分布我们讨论两个随机变量函数的分布.一、问题的引入3.3 随机向量函数的分布与数学期望.一、离散型随机向量的函数的分布一、离散型随机向量的函数的分布设 为二维离散型随机向量，概率分布为为二元函数，则随机向量函数的概率分布为：n表上作业法.例例1 若若 X、Y 独立，独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,求求 Z=X+Y 的概率函数的概率函数.解解 =a0br+a1br-1+arb0 由独立性由独立性r=0,1,2,的分布的分布 .n水瓶座是一个富有开拓水瓶座是一个富有开拓精神的人。水瓶座的人精神的人。水瓶座的人思维能力高于本能，是思维能力高于本能，是个先锋派人物。感兴趣个先锋派人物。感兴趣的不是昨天而是明天。的不是昨天而是明天。（摘自百度）（摘自百度）.我们班中有多少水瓶座的男生？我们班中有多少水瓶座的男生？n假如我们班中有 m 名男生，其中 X 人是水瓶座的，p 为任一名男生是水瓶座的概率.n按理来说，都是确定的.n我能数出 m，星座作为私隐，我无从知晓.n换而言之，X 对我来说是个随机变量.n其次，我可以很主观地认为n于是，X b(m,p).女生勒？女生勒？n同样地，我们可以假设水瓶座的女生数目Y b(n,p)，其中 n 为班中女生数目，X+Y 服从什么分布？.分布的可加性分布的可加性若同一类分布的独立随机变量和的分若同一类分布的独立随机变量和的分布仍是此类分布，则称此类分布具有布仍是此类分布，则称此类分布具有可加性（卷积封闭性）可加性（卷积封闭性）.二项分布的可加性二项分布的可加性若 X b(m,p)，Y b(n,p)，Remark若 Xi b(ni,p)，且独立，则 Z=X1+X2+Xk b(n,p),n=n1+n2+nk.且独立，则 Z=X+Y b(m+n,p).n春田花花幼稚园的校长经营了一家粉面档，麦兜好想知道究竟有几多人会帮衬它。.n设 X 为每天光顾的男性顾客。这是个典型的排队问题，所以可以设X P(1)n同样地，每天光顾的女性顾客数目Y P(2)X+Y 服从什么分布？.泊松分布的可加性泊松分布的可加性若 X P(1)，Y P(2)，Remark X Y 不服从泊松分布.且独立，则 Z=X+Y P(1+2).解解 依题意依题意 例例3.13 若若 X 和和 Y 相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为的泊松分布的泊松分布,证明证明Z=X+Y服从参数为服从参数为于是于是i=0,1,2,j=0,1,2,的泊松分布的泊松分布.r=0,1,即即Z服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布.二、连续型随机向量的函数的分布设 为二维连续型随机向量，密度函数为为二元函数，则随机向量函数 的分布函数为：更进一步，若设的密度函数为 则下式对 几乎处处成立：.例例3.14 设设X和和Y的联合密度为的联合密度为 f(x,y),求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.这里积分区域这里积分区域 D=(x,y):x+y z解解Z=X+Y的分布函数是的分布函数是:它它是直线是直线 x+y=z 及其左下方的半平面及其左下方的半平面.化成累次积分化成累次积分,得得 固定固定z和和y,对方括号内的积分作变量代换对方括号内的积分作变量代换,令令 x=u-y,得得变量代换变量代换交换积分次序交换积分次序.由概率由概率密度与分布函数的关系密度与分布函数的关系,即得即得Z=X+Y 的概率的概率密度为密度为:由由X和和Y的对称性的对称性,fZ(z)又可写成又可写成 以上两式即是以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式两个随机变量和的概率密度的一般公式.特别地特别地，当，当 X 和和 Y 独立，设独立，设(X,Y)关于关于 X,Y 的边缘密度分别为的边缘密度分别为 fX(x),fY(y),则上则上述两式化为述两式化为:下面我们用下面我们用卷积公式来求卷积公式来求Z=X+Y的概率密度的概率密度.卷积公式卷积公式.连续型随机变量的和的卷积公式Thm设 的密度函数为 则的密度函数为特别地，当相互独立时，习惯上，函数 的卷积定义为所以，当 相互独立时，有.例例3.15 若若X和和Y 是两个相互是两个相互独立独立的随机变量的随机变量,具有相同的分布具有相同的分布 N(0,1),求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.解解 由卷积公式由卷积公式.令令得得可见可见 Z=X+Y 服从正态分布服从正态分布 N(0,2).用类似的方法可以证明用类似的方法可以证明:若若X和和Y 独立独立,结论又如何呢结论又如何呢?若若X和和Y 独立独立,具有相同的分布具有相同的分布 N(0,1),则则Z=X+Y 服从正态分布服从正态分布 N(0,2).正态分布具有可加性正态分布具有可加性.更一般地，有独立正态变量的线性组合仍为正态变量独立正态变量的线性组合仍为正态变量Xi N(i,i2),i=1,2,.n.且 Xi 间相互独立,实数 a1,a2,.,an 不全为零,则.同理可得同理可得故有故有.当当 X,Y 独立时独立时,由此可得分布密度为由此可得分布密度为.更进一步地，我们有：.例例3.17 M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布 设设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为布函数分别为FX(x)和和 FY(y),我们来求我们来求 M=max(X,Y)及及 N=min(X,Y)的分布函数的分布函数.FM(z)=P(Mz)=P(Xz,Yz)由于由于 X 和和 Y 相互独立相互独立,于是得到于是得到 M=max(X,Y)的分的分布函数为布函数为:=P(Xz)P(Yz)FM(z)1.M=max(X,Y)的分布函数的分布函数即有即有 FM(z)=FX(z)FY(z).即有即有 FN(z)=1-1-FX(z)1-FY(z)=1-P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz)=1-P(Nz)2.N=min(X,Y)的分布函数的分布函数由于由于 X 和和 Y 相互独立相互独立,于是得到于是得到 N=min(X,Y)的分布的分布函数为函数为:=1-P(Xz)P(Yz)FN(z).最大值，最小值Thm 设 相互独立，密度函数分别为 分布函数分别为则.数学期望的进一步性质.Example.四、数学期望的性质四、数学期望的性质 1.设设C是常数，则是常数，则E(C)=C;4.设设X、Y 相互独立，则相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);2.若若k是常数，则是常数，则E(kX)=kE(X);3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);请注意请注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y 独立独立.性质性质4 4得证得证.数学期望的进一步性质（2）若 相互独立，则.Thank you!.