随机变量及其概率分布课件

第第 二二 章章 第一节第一节 离散型随机变量离散型随机变量 主讲人：赵洪欣实例实例 1 掷一个硬币掷一个硬币,观察出现的结果观察出现的结果,共有两种共有两种情况情况:若用若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数表示掷一个硬币出现正面的次数,则有则有即即 X(e)是一个随机变量是一个随机变量.1.1.定义定义一、随机变量的概念一、随机变量的概念2.随机变量的分类随机变量的分类离散型离散型随机变量随机变量连续型连续型 观察掷一个骰子出现的点数观察掷一个骰子出现的点数.随机变量随机变量 X 的可能值是的可能值是:实例实例11,2,3,4,5,6.（1）离散型）离散型实例实例2 若随机变量若随机变量 X 记为记为“连续射击连续射击,直至命直至命中时的射击次数中时的射击次数”,则则 X 的可能值是的可能值是:(2)连续型连续型实例实例1 随机变量随机变量 X 为为“灯泡的寿命灯泡的寿命”.实例实例2 随机变量随机变量 X 为为“测量某零件尺寸时的测误差测量某零件尺寸时的测误差”.则则 X 的取值范围为的取值范围为 (a,b)内的任一内的任一值值.随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫叫做连续型随机变量做连续型随机变量.则X的取值范围为性质性质 二、离散型随机变量的分布律定义定义分布律也可表示为例1解:由分布律的性质知:例2解:例3解:例4 已知一批零件共10个,其中有3个不合格,现任取一件使用，若取到不合格零件就丢弃,再重新抽取一个，如此下去,试求取到合格零件之前取出的不合格零件个数X的分布律.解:对于任意的实数ab,由概率的 可列可加性如三、常见离散型随机变量的概率分布 1.两点分布两点分布(0-1(0-1分布分布)实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.分布律为 两点分布是最简单的一种分布两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有任何一个只有两种可能结果的随机现象两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点都属于两点分布分布.说明说明2.二项分布二项分布二项分布二项分布两点两点分布分布且分布律为:n重贝氏试验中事件A发生的次数X,即服从二项分布.说明在相同条件下相互独立地进行在相同条件下相互独立地进行 5 次射击次射击,每次射每次射击时击中目标的概率为击时击中目标的概率为 p,则击中目标的次数则击中目标的次数 X 的概率的概率,并求出分布律并求出分布律.解:分布律或为例例5例例6解解:例例7解解:4.泊松分布泊松分布(Poisson)(Poisson)例例8解解:地震地震 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等,都服从泊松分布都服从泊松分布.火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水电话呼唤次数电话呼唤次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等,都服从泊松分布都服从泊松分布.6.几何分布几何分布 若随机变量若随机变量 X 的分布律为的分布律为则称则称X服从服从几何分布几何分布.实例实例 设某批产品的次品率为设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有对该批产品做有放回的抽样检查放回的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止直到第一次抽到一只次品为止(在此之前抽到的全是正品在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的产品那么所抽到的产品数目数目 X 是一个随机变量是一个随机变量,求求 X 的分布律的分布律.所以所以 X 服从几何分布服从几何分布.说明说明 几何分布可作为描述某个试验几何分布可作为描述某个试验“首次成功首次成功”的概率模型的概率模型.解解两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布几何分布几何分布二项分布二项分布两点分布两点分布三、小结离散随机变量离散随机变量定义定义分布列分布列作业：34页第2题、第6题例例 从一批含有从一批含有10件正品及件正品及3件次品的产品中一件次品的产品中一件、一件地取产品件、一件地取产品.设每次抽取时设每次抽取时,所面对的各所面对的各件件产品被抽到的可能性相等产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下在下列三种情形下,分分别求出直到取得正品为止所需次数别求出直到取得正品为止所需次数 X 的分布律的分布律.(1)每次取出的产品经检定后又放回每次取出的产品经检定后又放回这批产品中去在取下一件产品这批产品中去在取下一件产品;(2)每每次取出的产品都不放回这批产品中次取出的产品都不放回这批产品中;(3)每次取出一件产品后总以一件正每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产品中品放回这批产品中.备份题故故 X 的分布律为的分布律为解解(1)X 所取的可能值是所取的可能值是 (2)若每次取出的产品都不放回这批产品中时若每次取出的产品都不放回这批产品中时,故故 X 的分布律为的分布律为X 所取的可能值是所取的可能值是 (3)每次取出一件产品后总以一件正品放回这批每次取出一件产品后总以一件正品放回这批 产品中产品中.故故 X 的分布律为的分布律为X 所取的可能值是所取的可能值是Jacob BernoulliBorn:27 Dec 1654 in Basel,SwitzerlandDied:16 Aug 1705 in Basel,Switzerland伯努利资料普哇松资料Born:21 June 1781 in Pithiviers,FranceDied:25 April 1840 in Sceaux(near Paris),FranceSimon Poisson 第第 二二 章章 第二节第二节 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 主讲人：赵洪欣一一.分布函数的概念分布函数的概念1.定义:离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数例1解:练习：二二.分布函数的性质分布函数的性质注：连续型随机变量不仅右连续，在注：连续型随机变量不仅右连续，在R内任何一点都连续内任何一点都连续例2解:练习：例3解:小结小结一.掌握分布函数的概念二.掌握分布函数的性质三.会求离散型随机变量的分布函数作业：第38页第5、6题 第第 二二 章章 第三节第三节 连续型随机变量及其连续型随机变量及其概率密度概率密度主讲人：赵洪欣一一.连续型随机变量及其概率密连续型随机变量及其概率密度度1.定义定义2.性质性质1x例例1解:练习：解：或者例2解:例3解:二二.常用连续型随机变量常用连续型随机变量1.均匀分布均匀分布(Uniform distribution)分布函数分布函数 分布密度函数为解：解：例4设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数,2.指数分布指数分布(Exponential distribution)分布函数分布函数 某些元件或设备的寿命服从指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如例如无线电元件的寿命无线电元件的寿命,电力设备的寿命电力设备的寿命,动物的动物的寿命等都服从指数分布寿命等都服从指数分布.设随机变量设随机变量的概率密度为的概率密度为则称则称服从参数为服从参数为的指数分布的指数分布例5解：解：（1）分布密度函数为（2）设Y 表示3次故障中在一小时内修好的次数3.正态分布正态分布(Normal distribution)正态分布的分布函数正态分布的分布函数正态分布下的概率计算正态分布下的概率计算原函数不是原函数不是初等函数初等函数标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的图形标准正态分布的图形性质：定义：称称 为标准正态分布的上侧为标准正态分布的上侧 分位数分位数.标准化标准化例6解：解：例7解：解：由题意可得：练习：解：正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如例如测量误差测量误差;人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 小结小结一.定义二.性质三.常用连续型随机变量1.均匀分布均匀分布2.指数分布指数分布3.正态分布正态分布标准化标准化 第第 二二 章章 第四节第四节 随机变量函数的概率分布随机变量函数的概率分布主讲人：赵洪欣一一.离散型随机变量函数的概率分布离散型随机变量函数的概率分布例1解：例2解：二二.连续型随机变量函数的概率分布连续型随机变量函数的概率分布定理证明：例2解：例2解：解二：练习：例3解：练习：小结随机变量