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高二数学高二数学1414导导数在数在实际实际生活中的生活中的应应用用1414个个课时课时1 1、最值的概念、最值的概念(最大值与最小值最大值与最小值)如果在函数定义域如果在函数定义域I内存在内存在x x0 0,使得对任使得对任意的意的xxI,总有总有f(x)f(x)f(xf(x0 0),),则称则称f(xf(x0 0)为函为函数数f(x)f(x)在定义域上的在定义域上的最大值最大值；最值是相对函数最值是相对函数定义域整体定义域整体而言的而言的.如果在函数定义域如果在函数定义域I内存在内存在x x0 0,使得对任使得对任意的意的xxI,总有总有f(x)f(x)f(xf(x0 0),),则称则称f(xf(x0 0)为函为函数数f(x)f(x)在定义域上的在定义域上的最小值最小值.知识回顾：知识回顾：2024/7/292 (2)(2)将将y=f(x)y=f(x)的的各各极极值值与与f(a)f(a)、f(b)f(b)比比较较，其其中中最最大大的的一一个个为为最最大大值值，最最小小的的一个为最小值一个为最小值 (1)(1)求求f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b内极值；内极值；(极大值或极小值极大值或极小值)利用导数求函数利用导数求函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b上最值的步骤上最值的步骤:注意：注意：若函数若函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b内只有一个极大内只有一个极大值值(或极小值或极小值)，则该极大值，则该极大值(或极小值或极小值)即为函数即为函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b内的最大值内的最大值(或最小值或最小值)2024/7/293导数在实际生活中的应用导数在实际生活中的应用2024/7/294实际应用问题实际应用问题审 题（设设）分析、联想、抽象、转化分析、联想、抽象、转化构建数学模型构建数学模型数学化（列列）寻找解题思路（解解）解答数学问题解答数学问题还原（答答）解答应用题的基本流程解答应用题的基本流程2024/7/295引入引入:导数在实际生活中有着广泛的应导数在实际生活中有着广泛的应用用,利用导数求最值的方法利用导数求最值的方法,可以求出可以求出实际生活中的某些最值问题实际生活中的某些最值问题.1.1.几何方面几何方面的应用的应用2.2.物理方面物理方面的应用的应用.3.3.经济学方面经济学方面的应用的应用(面积和体积面积和体积的最值的最值)(利润的利润的最值最值)(功和功率功和功率最值最值)2024/7/296例：例：在边长为在边长为60 cm60 cm的正方形铁片的的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起沿虚线折起(如图如图)，做成一个无盖的，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？子的容积最大？最大容积是多少？2024/7/297由由题题意意可可知知，当当x x过过小小（接接近近0 0）或或过过大大（接接近近6060）时时，箱子容积很小，因此，箱子容积很小，因此，1600016000是最大值。是最大值。答：当答：当x=40cmx=40cm时，箱子容积最大，时，箱子容积最大，最大容积是最大容积是16 000cm16 000cm3 3解法一：设箱底边长为解法一：设箱底边长为x xcmcm，则箱高，则箱高 cmcm，得箱子容积得箱子容积令令 ，解得，解得 x=0 x=0（舍去），（舍去），x=40 x=40，并求得并求得V(40)=16000V(40)=160002024/7/298解解：设设圆圆柱柱的的高高为为h h，底底半半径径为为R R，则则表面积表面积例：例：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底的半径应怎样选取，才能使它的高与底的半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？所用的材料最省？S=2Rh+2RS=2Rh+2R2 2由由V=RV=R2 2h h，得，得 ，则，则令令解得，解得，从而，从而2024/7/299答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省即即h=2Rh=2R因为因为S(R)S(R)只有一个极值，所以它是最小值只有一个极值，所以它是最小值2024/7/2910高考链接高考链接（江苏卷）（江苏卷）v请你设计一个帐篷，它的下部的形状是请你设计一个帐篷，它的下部的形状是高为高为m的正六棱柱，上部的形状是侧的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为棱长为m的正六棱锥，试问：当帐篷的正六棱锥，试问：当帐篷的顶点的顶点O到底面中心到底面中心O1的距离为多少时，的距离为多少时，帐篷的体积最大？帐篷的体积最大？OO12024/7/2911帐篷的体篷的体积为（单位：位：m3）V（x）=解:设OO1为x m，则1x4 由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）于是底面正六形的面于是底面正六形的面积为（单位：位：m2）2024/7/2912求求导数数令令V（x）=0 解得解得 x=-2(不合不合题意意,舍去舍去),x=2当当 1x2 时 V（x）0，V（x）为增函数增函数当当 2x4 时 V（x）0 V（x）为减函数减函数所以所以 当当 x=2时V（x）最大）最大答：当答：当OO1为2m时帐篷的体篷的体积最大最大2024/7/2913v已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值解析设圆柱的底面半径为r，高为h，则S圆柱底2r2，S圆柱侧2rh，2024/7/29142024/7/2915例例3:3:在如图所示的电路中，已知在如图所示的电路中，已知电源的内阻为电源的内阻为r r，电动势为，电动势为，外，外电阻电阻R R为多大时，才能使电功率最为多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？大？最大电功率是多少？Rr 2024/7/2916解：电功率PI2R，其中IE/(R+r)为电流强度，则PE/(Rr)2R=E2R/(Rr)2由P0，解得：R=r列表分析列表分析，当R=r时，P取得极大值，且是最大值。最大值为PE2/(4r)答：当外电阻R等于内电阻r时，电功率最大，最大电功率是E2/(4r)2024/7/2917例例4：强度分别为强度分别为a,b的两个点光源的两个点光源A,B，它们间的距离为它们间的距离为d，试问在连接这两个，试问在连接这两个光源的线段光源的线段AB上，何处照度最小？试就上，何处照度最小？试就a=8,b=1,d=3时回答上述问题（照度与时回答上述问题（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成光的强度成正比，与光源距离的平方成反比）反比）ABPX3-X2024/7/2918 APBx3-x解:如图如图,设点设点p在线段在线段AB上上,且且P距光源距光源A为为x,则则P距光源距光源B为为3-x(0 x3).P点受点受A光源的照度为光源的照度为（其中，（其中，k为比例为比例常数）常数）2024/7/2919解得x=2,故当0 x0)，y0.18kx3kx2，由y0，得x0.06或x0(舍去)当x(0,0.06)时，y0，当x(0.06，)时，y0得x140，令S0得20 x140.函数在(140，)上单调递增，在(20,140)上单调递减，S(x)的最小值为S(140)2024/7/2946 练习练习1：某产品制造过程中，次品数：某产品制造过程中，次品数y依依赖于日产量赖于日产量x，其函数关系为，其函数关系为y=x/(101-x)(x100);又该产品售出一件可以盈利又该产品售出一件可以盈利a元，但出一件次品就损失元，但出一件次品就损失a/3元。为获元。为获取最大利润，日产量应为多少？取最大利润，日产量应为多少？2024/7/2947练习练习2：生产某塑料管的利润函数为：生产某塑料管的利润函数为 P（n）=-n3+600n2+67500n-1200000,其中其中n为工厂每月生产该塑料管的根数，利润为工厂每月生产该塑料管的根数，利润P(n)的单位为元。的单位为元。（1）求边际利润函数）求边际利润函数 （n）;（2）求使）求使 （n）=0的的n值；值；（3）解释（）解释（2）中的）中的n值的实际意义。值的实际意义。2024/7/2948练习练习（1）求内接于半径为）求内接于半径为R的圆的矩形的圆的矩形面积的最大值。面积的最大值。（2）求内接于半径为）求内接于半径为R的球的圆柱的球的圆柱体积的最大值。体积的最大值。2024/7/2949汇报结束谢谢大家!请各位批评指正
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