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第5节 指数与指数函数一、基础知识一、基础知识一、基础知识一、基础知识一、基础知识一、基础知识一、基础知识一、基础知识左右两边齐冲天，左右两边齐冲天，永与横轴不沾边。永与横轴不沾边。大大1增，小增，小1减，减，图象恒过（图象恒过（0,1)点。点。二、典例考点二、典例考点考点1、指数幂的化简与求值例例1 1：化简：化简（1 1）（2 2）参考答案：参考答案：(1)(1)原式原式二、典例考点二、典例考点考点1、指数幂的化简与求值(2)(2)原式原式二、典例考点二、典例考点考点1、指数幂的化简与求值二、典例考点二、典例考点考点1、指数幂的化简与求值【拓展提升拓展提升】指数幂运算的一般原则指数幂运算的一般原则(1)(1)有括号的先算括号里的有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算无括号的先做指数运算.(2)(2)先乘除后加减先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)(3)底数是负数底数是负数,先确定符号先确定符号,底数是小数底数是小数,先化成分先化成分 数数,底数是带分数的底数是带分数的,先化成假分数先化成假分数.(4)(4)若是根式若是根式,应化为分数指数幂，尽可能用幂的形应化为分数指数幂，尽可能用幂的形 式表示式表示,运用指数幂的运算性质来解答运用指数幂的运算性质来解答.【提醒提醒】运算结果不能同时含有根号和分数指数，运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数也不能既有分母又含有负指数.二、典例考点二、典例考点考点1、指数幂的化简与求值二、典例考点二、典例考点1、指数幂的化简与求值二、典例考点二、典例考点1、指数幂的化简与求值二、典例考点二、典例考点1、指数幂的化简与求值二、典例考点二、典例考点1、指数幂的化简与求值(2)(2)已知已知【解析解析】m+mm+m-1-1=14,=14,=m+m =m+m-1-1+1=14+1=15+1=14+1=15.二、典例考点二、典例考点考点2、指数函数的图象及应用(2)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_【答案】(1)D(2)1,1(1)函数f(x)axb的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b1，b0C0a0 D0a1，b1.71.73 3B B0.60.61 10.60.62 2C C0.80.80.10.11.251.250.20.2D D1.71.70.30.30.90.93.13.1【答案答案】B BA A中中，函函 数数y y 1.71.7x x是是 增增 函函 数数，2.532.53，1.71.72.52.51.71.73 3；B B中中，y y0.60.6x x是是减减函函数数，1210.60.62 2；C C中中，0.80.81 11.251.25，问问题题转转化化为为比比较较1.251.250.10.1与与1.251.250.20.2的的大大小小，y y1.251.25x x是是增增 函函 数数，0.10.20.10.2，1.251.250.10.11.251.250.20.2，即即 0.80.80.10.11.251,0.91,0.93.13.110.90.93.13.1.二、典例考点二、典例考点考点3、指数函数的性质(2)指数函数定义解析关闭二、典例考点二、典例考点考点3、指数函数的性质(3)解指数方程或指数不等式二、典例考点二、典例考点考点3、指数函数的性质(4)定点问题解析关闭巩固巩固练习：1.(2013揭阳模拟揭阳模拟)设设y1=40.9,y2=80.48,y3=()-1.5,则则()(A)y3y1y2 (B)y2y1y3(C)y1y3y2 (D)y1y2y3【解析解析】选选C.C.y y1 1=2=21.81.8,y,y2 2=2=21.441.44,y,y3 3=2=21.51.5，1.81.81.51.51.441.44，2 21.81.82 21.51.52 21.441.44,yy1 1y y3 3y y2 2.巩固巩固练习：2.(2013东莞模拟东莞模拟)已知已知f(x)=32x-(k+1)3x+2，当当x R时，时，f(x)恒为正值，则恒为正值，则k的取值范围是的取值范围是()(A)(-,-1)(B)(C)(D)【解析解析】选选B.B.令令t=3t=3x x，则，则t t0.0.由题意知由题意知t t0 0时，时，t t2 2-(k+1)t+2-(k+1)t+20 0恒成立，恒成立，即即 在在t(0,+)t(0,+)上恒成立，上恒成立，因为因为 所以所以 即即3.(20133.(2013韶关模拟韶关模拟)设设a=2a=22.52.5，b=2.5b=2.50 0，则则a a，b b，c c的大小关系是的大小关系是()()(A)a(A)ac cb (B)cb (B)ca ab (C)ab (C)ab bc (D)bc (D)ba ac c【解析解析】选选C.C.b=2.5 b=2.50 0=1,=1,则则2 2-2.5-2.51 12 22.52.5，即，即 c cb ba.a.4.(20124.(2012上海高考上海高考)方程方程4 4x x-2-2x+1x+1-3=0-3=0的解是的解是_._.【解析解析】方法一：方法一：原方程原方程4 4x x-2-2x+1x+1-3=0 -3=0 可化为可化为 (2(2x x)2 2-2-22 2x x-3=0-3=0，即即(2(2x x-3)(2-3)(2x x+1)=0+1)=0，由于，由于2 2x x0 0，xRxR，2 2x x-3=0-3=0，即，即x=logx=log2 23.3.方法二：令方法二：令t=2t=2x x，则，则t t0 0，原方程可化为原方程可化为t t2 2-2t-3=0-2t-3=0，解得解得t=3t=3或或t=-1(t=-1(舍去舍去)，即，即2 2x x=3=3，x=logx=log2 23 3答案答案:x=logx=log2 23 3二、典例考点二、典例考点考点4、指数函数性质的综合应用例例1 1、已知已知 (a(a0 0且且a1).a1).(1)(1)讨论讨论f(x)f(x)的奇偶性的奇偶性.(2)(2)求求a a的取值范围，使的取值范围，使f(x)f(x)0 0在定义域上恒成立在定义域上恒成立.【思路点拨思路点拨】先求函数的定义域，再判断奇偶性，先求函数的定义域，再判断奇偶性，对于恒成立问题，可借助函数的奇偶性，只讨论对于恒成立问题，可借助函数的奇偶性，只讨论x x0 0的情况的情况.【规范解答规范解答】(1)(1)由于由于a ax x-10,-10,则则a ax x1,1,得得x0,x0,所以函数所以函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为x|x0,xR.x|x0,xR.对于定义域内任意对于定义域内任意x x，有，有f(x)f(x)是偶函数是偶函数.(2)(2)由由(1)(1)知知f(x)f(x)为偶函数，为偶函数，只需讨论只需讨论x x0 0时的情况时的情况.当当x x0 0时，要使时，要使f(x)f(x)0 0，即即 即即 即即即即a ax x-1-10 0，a ax x1 1，a ax xa a0 0.又又x x0 0，a a1.1.因此因此a a1 1时，时，f(x)f(x)0 0在定义域上恒成立在定义域上恒成立.解决指数函数的综合问题时，要把指数函解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶如奇偶性、周期性性、周期性)相结合，同时要特别注意底数相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论不确定时，对底数的分类讨论巩固练习：巩固练习：练习：练习：4.4.函数函数 的单调递减区间为的单调递减区间为_，值域为值域为_._.【解析解析】令令g(x)=-xg(x)=-x2 2-4x+3=-(x+2)-4x+3=-(x+2)2 2+7,+7,由于由于g(x)g(x)在在(-,-2)(-,-2)上单调递增上单调递增,在在(-2,+)(-2,+)上单调递减上单调递减,而而 在在R R上为单调递减上为单调递减,所以所以f(x)f(x)在在(-,-2)(-,-2)上上单调递减单调递减.又又g(x)=-(x+2)g(x)=-(x+2)2 2+77,+77,答案答案:(-,-2)3(-,-2)3-7-7,+),+)【方方法法规规律律】指指数数函函数数的的性性质质及及应应用用问问题题解解题策略：题策略：(1)比比较较大大小小问问题题，常常利利用用指指数数函函数数的的单单调调性性及中间值及中间值(0或或1)法法(2)简简单单的的指指数数方方程程或或不不等等式式的的求求解解问问题题，应应利利用用指指数数函函数数的的单单调调性性，要要特特别别注注意意底底数数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论的取值范围，并在必要时进行分类讨论(3)解解决决指指数数函函数数的的综综合合问问题题时时，要要把把指指数数函函数数的的概概念念和和性性质质同同函函数数的的其其他他性性质质(如如奇奇偶偶性性、周周期期性性)相相结结合合，同同时时要要特特别别注注意意底底数数不确定时，对底数的分类讨论不确定时，对底数的分类讨论
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