高三空间几何复习课件

PAOa三垂线定理包含几种垂直关系？三垂线定理包含几种垂直关系？线射垂直线射垂直PAOa 线面垂直线面垂直 线斜垂直线斜垂直PAOa平面内的直线平面内的直线和平面一条斜和平面一条斜线的射影垂直线的射影垂直平面内的直线平面内的直线和平面的一条和平面的一条斜线垂直斜线垂直空间向量基本定理：空间向量基本定理：任意不共面的三个向量都可做为空间的一个任意不共面的三个向量都可做为空间的一个任意不共面的三个向量都可做为空间的一个任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底基底基底基底。如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做那么这个基底叫做那么这个基底叫做那么这个基底叫做正交基底正交基底正交基底正交基底。特别地，当一个正。特别地，当一个正。特别地，当一个正。特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为底为底为底为单位正交基底单位正交基底单位正交基底单位正交基底，通常用，通常用，通常用，通常用 表示。表示。表示。表示。推论推论:空间一点空间一点P P位于平面位于平面MABMAB内的充内的充要条件是存在有序实数对要条件是存在有序实数对x,yx,y使使 或对空间任一点或对空间任一点O,O,有有 注意：注意：证明空间四点证明空间四点P、M、A、B共面的两个依据共面的两个依据实数对实数对定理共线向量共面向量向量两个向量共线三个向量共面点三个点共线四个点共面中点公式重心公式APBO单位正交基底，空间直角坐标系，向量的坐标单位正交基底，空间直角坐标系，向量的坐标xyzO(x,y,z)ijkPPOP=OP+PP=X i+y j+z k启示：空间向量启示：空间向量OP=(x,y,z)X iy jz k则则 叫做叫做点点A 在此空间坐标系在此空间坐标系o-xyz的的坐标坐标；xyzOA3.坐标坐标向量的坐标向量的坐标给定一个空间坐标系和向量给定一个空间坐标系和向量,且设且设为坐标向量，则存在唯一的为坐标向量，则存在唯一的有序有序实数组实数组(a1,a2,a3)使使有序数组有序数组(a1,a2,a3)叫做叫做在空间在空间直角坐标系直角坐标系O-xyz中的中的坐标坐标，记作记作.(a1,a2,a3)点的坐标点的坐标在空间直角坐标系在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一点中，对空间任一点A,对应一个向量对应一个向量于是存在唯一的有序实数组于是存在唯一的有序实数组x,y,z，使，使记作记作Ax,y,z分别称作点分别称作点A的的横坐标横坐标,纵坐标纵坐标,竖坐标竖坐标.3.空间内某点的坐标确定空间内某点的坐标确定xyz设设则则二、空间向量的坐标运算二、空间向量的坐标运算.(注：分母不为零注：分母不为零)问题问题1：若：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则则AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)注：空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个注：空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标终点的坐标减去起点的坐标.问题问题2：M=（x，y，z），若），若M是线段是线段AB的中点，的中点，则则常用结论常用结论1：若若M(x,y,z)是线段是线段AB的中点，则的中点，则常用结论常用结论2：若若M(x,y,z)是是ABC的重心，则的重心，则问题问题2：若若M(x,y,z)分分的比为的比为，则，则二、距离与夹角二、距离与夹角1.1.距离公式距离公式（1 1）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。角线的长度。在空间直角坐标系中，已知、在空间直角坐标系中，已知、，则，则（2 2）空间两点间的距离公式）空间两点间的距离公式终点坐标减终点坐标减起点坐标起点坐标2.2.两个向量夹角公式两个向量夹角公式注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向；（2）当）当 时，反向；时，反向；（3）当）当 时，。时，。思考：当思考：当 及及 时，的夹角在什么范围内？时，的夹角在什么范围内？面面面面面面1 1、空间直角坐标系共有八个卦限、空间直角坐标系共有八个卦限一、空间点的直角坐标一、空间点的直角坐标O 练习 1.如图建立直角坐标系,已知正方体的棱长为2,且E为 的中点,求各点的坐标解:请问:向量 的坐标是?四课堂练习例1练习2直线直线APl点点A和和 不仅可以确不仅可以确定直线定直线l的位置，还可的位置，还可以具体表示出以具体表示出l上的任上的任意一点意一点P。A给定一点给定一点A和一个向量和一个向量,那么过点那么过点A,以向量以向量为法向量的平面是完全为法向量的平面是完全确定的确定的.l3.平面的向量表示：平面的向量表示：一个定点和平面的一个法向量，不仅可以表示出平面，还可以表示出平面内的任意一点。第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据na=0且nb=0可列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标.由两个三元一次方程由两个三元一次方程组成的方程组的解是组成的方程组的解是不惟一的，为方便起不惟一的，为方便起见，取见，取z=1z=1较合理。较合理。其实平面的法向量不其实平面的法向量不是惟一的。是惟一的。三、平行关系：三、平行关系：四、垂直关系：四、垂直关系：证明证明:设正方体的棱长为设正方体的棱长为1,建立如图的空间直角坐标系建立如图的空间直角坐标系xyzA1D1C1B1ACBDFEA1xD1B1ADBCC1yzEFCD中点，求证：中点，求证：D1F例例5.5.在正方体在正方体中，中，E、F分分别是是BB1,1,，平面平面ADE证明：设正方体棱长为证明：设正方体棱长为1，为单位正交为单位正交 基底，建立如图所示坐标系基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：则可得：所以所以四、异面直线成角四、异面直线成角lmlm(1)定义定义:设设a,b是两条异面直线是两条异面直线,过空间任一点过空间任一点O作直作直线线a a,b b,则则a,b 所夹的锐角或直角叫所夹的锐角或直角叫a与与b所所成的角成的角.练习179页-例1、例3当直线与平面垂直时，直当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角是线与平面所成的角是90当直线在平面内或当直线在平面内或与平面平行时，与平面平行时，直线与平面所成的角直线与平面所成的角是是0OPA关键：过斜线上一点作平面的关键：过斜线上一点作平面的垂线垂线线面所成角线面所成角斜线斜线斜足斜足线面所成角线面所成角（锐角（锐角PAO）射影射影AOBC如图如图,直线直线OA与平面与平面所成的角为所成的角为 1,平平面内一条直线面内一条直线OC与与OA的射影的射影OB所成所成的角为的角为 2,设设AOC为为 求证求证:cos=cos 1cos 2最小角原理最小角原理AOBC斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中面内的直线所成的一切角中最小的角最小的角。若直线若直线l1与平面所成的角为与平面所成的角为60，则这条直线与，则这条直线与平面内的直线所成的一切角中最小的角为平面内的直线所成的一切角中最小的角为，最大的角为，最大的角为。9060Ol1SACBOFE如图，如图，ACB=90，S为平面为平面ABC外一点，外一点，SCA=SCB=60，求，求SC与平面与平面ACB所成的角所成的角直线与平面所成角的范围：思考：思考：结论：结论：二、线面角：二、线面角：182页-例2例1：的棱长为1.正方体xyz设正方体棱长为设正方体棱长为1，OBA 从一条从一条直线直线出发的两个出发的两个半平面半平面所组成的图形叫做二面角。所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。这两个半平面叫做二面角的面。平面角由平面角由射线射线-点点-射线射线构成。构成。二面角由二面角由半平面半平面-线线-半平面半平面构成。构成。lABPQAB 二面角二面角 AB l二面角二面角 l 二面角二面角CAB DABCD5OBAAOB表示方法：二面角的平面角必须满足二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内度量度量 以二面角的以二面角的棱上任意一点棱上任意一点为端点，为端点，在在两个面内两个面内分别作分别作垂直于棱垂直于棱的两条射线，这的两条射线，这两条射线所成的两条射线所成的角角叫做叫做二面角的平面角。二面角的平面角。10 lOAB平面角是平面角是直角直角的二面角叫做的二面角叫做直二面角直二面角一一“作作”二二“证证”三三“计算计算”1.顶点在棱上；顶点在棱上；2.两边在两面内；两边在两面内；3.两边垂直于棱两边垂直于棱.注意注意:二面角的平面角必须满足二面角的平面角必须满足:法向量在求二面角中的应用：法向量在求二面角中的应用：一个二面角的平面角一个二面角的平面角与这个二面角的两个半平面的法与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角向量所成的角的关系是的关系是 。l ll l知识要点知识要点3相等或互补相等或互补（二面角是钝角还是锐角要视具体情况而定）（二面角是钝角还是锐角要视具体情况而定）ll三、面面角：三、面面角：二面角的范围：法向量法法向量法注意注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角同进同出，二面角等于法向量夹角的补角“同进同出互补，一进一出相等同进同出互补，一进一出相等”ABCA1B1C13）二面角的大小二面角的大小解法解法2步骤：步骤：1、求、求两个半平面的法向量两个半平面的法向量2、求两个法向量的夹角、求两个法向量的夹角3、当两个法向量、当两个法向量同时指向同时指向二面角的二面角的内（外）部内（外）部，所求角是所求角是法向量的夹角的法向量的夹角的补角补角，否则所求角，否则所求角是法向量的夹角是法向量的夹角面面BAB1的法向量的法向量设面设面AB1C1的法向量为：的法向量为：所求角为所求角为?求二面角方法求二面角方法:.应用三垂线（逆）定理法：在二面角应用三垂线（逆）定理法：在二面角-l-的的面面上取一点上取一点A，作，作AB于于B，BCl于于C，则则ACB即为即为-l-的平面角的平面角.OADCBHS1S.定义法：以二面角的棱上某一点为端点，在两定义法：以二面角的棱上某一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角即二面角的平面角所成的角即二面角的平面角.ABC的边的边BC在平面在平面内，内，A在平面在平面内的射影是内的射影是P，设设ABC的面积为的面积为S，它和，它和平面平面交成二面角交成二面角(0 90)，射影射影PBC的面的面积为积为S1，求证求证:S1=Scos.ABCPD面积射影法面积射影法:S射射=S原原cosS1=SPBC=BCPD，S2=SABC=BCAD，用此公式就可以求出二面角的平面角用此公式就可以求出二面角的平面角(异面直线上两点的距离公式异面直线上两点的距离公式)公式法公式法：如图，如图，CBF=为二面角的平面角为二面角的平面角 在在CBF中，由余弦定理可求得，中，由余弦定理可求得，再由再由RtECF可得可得EF2=d2+m2+n22mncos(0，180)EFmndBClmd例、已知在一个二面角的棱上有两个点例、已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱都垂直于棱AB，AB=4=4cm，AC=6=6cm，BD=8=8cm，CD=cm，求二面角的度数，求二面角的度数CDABE求二面角方法求二面角方法:.应用三垂线（逆）定理法：在二面角应用三垂线（逆）定理法：在二面角-l-的的面面上取一点上取一点A，作，作AB于于B，BCl于于C，则则ACB即为即为-l-的平面角的平面角.作垂面法作垂面法:作棱的垂面，则它和二面角的两个面作棱的垂面，则它和二面角的两个面的交线所成的角就是二面角的平面角的交线所成的角就是二面角的平面角.向量法向量法:利用两平面的利用两平面的法向量的夹角与二面角的法向量的夹角与二面角的平面角的关系求得平面角的关系求得.cos=OADCBHS1S.定义法：以二面角的棱上某一点为端点，在两定义法：以二面角的棱上某一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角即二面角的平面角所成的角即二面角的平面角.公式法公式法:l2=m2+n2+d22mncos.求二面角方法求二面角方法:.应用三垂线（逆）定理法：在二面角应用三垂线（逆）定理法：在二面角-l-的的面面上取一点上取一点A，作，作AB于于B，BCl于于C，则则ACB即为即为-l-的平面角的平面角.作垂面法作垂面法:作棱的垂面，则它和二面角的两个面作棱的垂面，则它和二面角的两个面的交线所成的角就是二面角的平面角的交线所成的角就是二面角的平面角.向量法向量法:利用两平面的利用两平面的法向量的夹角与二面角的法向量的夹角与二面角的平面角的关系求得平面角的关系求得.cos=OADCBHS1S.定义法：以二面角的棱上某一点为端点，在两定义法：以二面角的棱上某一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角即二面角的平面角所成的角即二面角的平面角.公式法公式法:l2=m2+n2+d22mncos.异面直线所成角的范围：一、空间三种角的范围及公式一、空间三种角的范围及公式直线与平面所成角的范围：二面角的范围：例例1复习复习例例2例例3小结小结作业作业