附录Ⅰ-平面图形的几何性质课件

Mechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质Mechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质选择材料选择材料与材料的机械性质有关与材料的机械性质有关确定尺寸确定尺寸与截面大小、形状有关与截面大小、形状有关拉压：拉压：应力均布，仅需满足应力均布，仅需满足 ，不考虑形状；不考虑形状；扭转：扭转：应力不均布，出现应力不均布，出现 ，在面积在面积A相同，但形状不同的情况下，相同，但形状不同的情况下，应力分布不同。应力分布不同。任务任务Mechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质静矩：平面图形静矩：平面图形面积对某轴的一次矩面积对某轴的一次矩 oyzdA yz静矩可正，可负，也可能等于零静矩可正，可负，也可能等于零。Mechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质yzo dA yzyCc几何意义：形心位置与轴的距离大小。几何意义：形心位置与轴的距离大小。Mechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质图图形形对对某某一一轴轴的的静静矩矩等等于于零零，则则该该轴轴必必然然通通过过图图形的形心。形的形心。注：平面图形静矩是对某一坐标轴而注：平面图形静矩是对某一坐标轴而言的，同一图形对不同的坐标轴，其言的，同一图形对不同的坐标轴，其静矩也不同。量纲是长度的三次方静矩也不同。量纲是长度的三次方若若某某一一轴轴通通过过平平面面图图形形的的形形心心，则则图图形形对对该该轴轴的的静静矩等于零矩等于零 。Mechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质 由几个简单图形组成的截面称为组合截面由几个简单图形组成的截面称为组合截面组组合合图图形形对对某某一一轴轴的的静静矩矩等等于于各各组组成成部部分分对对同同一一轴轴静静矩矩的代数和的代数和Mechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质注注1：组合图形形心计算公式也适用：组合图形形心计算公式也适用于负面积情况，但要记住面积为负号于负面积情况，但要记住面积为负号Mechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质例例-1-1 图示抛物线的方程为图示抛物线的方程为 ,计算由抛物线、计算由抛物线、y y轴和轴和z z轴所轴所围成的平面图形对围成的平面图形对y y轴和轴和z z 轴的静矩轴的静矩S Sy y和和S Sz z，并确定图形的形心并确定图形的形心c c的坐标。的坐标。解：先求对解：先求对z z轴的静矩轴的静矩S Sz zMechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质Mechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质例例I-2:已知：截面尺寸如图。已知：截面尺寸如图。求：该截面的形心位置。求：该截面的形心位置。Mechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质惯性矩惯性矩Moment of inertia：平面图形对：平面图形对某一轴的二次矩某一轴的二次矩 惯性矩恒为正，量纲是长度的四次方惯性矩恒为正，量纲是长度的四次方 分分别别称称为为图图形形对对轴轴y y和和对对轴轴z z的的惯惯性性半半径径，其其量纲为长度。量纲为长度。zyyzdAMechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质若以若以表示微面积到坐标原点表示微面积到坐标原点O O的距离的距离,则则图形对坐标原点图形对坐标原点O O的极惯性矩，的极惯性矩，图形对任意两个互相垂直轴的惯性矩之和，图形对任意两个互相垂直轴的惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。等于它对该两轴交点的极惯性矩。zyyzdAMechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质例例-3 矩矩形形的的高高为为h，宽宽为为b，试试计计算算矩矩形形对对其其对对称称轴轴y和和z的的惯性矩惯性矩的的Iy、IzMechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质惯性积则可能为正值，负值，惯性积则可能为正值，负值，也可能等于零。也可能等于零。图形对图形对y、z两轴的惯性积两轴的惯性积zyyzdA在何种条件下，图形对坐标轴的惯性积为零？在何种条件下，图形对坐标轴的惯性积为零？Mechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质图形图形的对称轴，的对称轴，若若坐标轴中有一个为坐标轴中有一个为则图形对则图形对 该对坐标轴该对坐标轴 惯性积一定等于零惯性积一定等于零yzMechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质若若则该对坐标轴称为则该对坐标轴称为主惯性轴（主轴）。主惯性轴（主轴）。对称轴一定是主轴，对称轴一定是主轴，主轴主轴主轴不一定是对称轴主轴不一定是对称轴zyMechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质对形心主惯性轴的矩。主惯性轴：主惯性轴：图形对一对正交的坐标轴的惯性积等于零;主惯性矩：主惯性矩：对主惯性轴的惯性矩。形心主惯性轴：形心主惯性轴：通过图形形心的主惯性轴。形心主惯性矩：形心主惯性矩：几个常用概念几个常用概念Mechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质例例-3求图示圆形截面的求图示圆形截面的Iy，Iz，IP。由于圆截面对称的原因，则有由于圆截面对称的原因，则有 实心圆截面实心圆截面空心圆截面空心圆截面Mechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质 工程问题的许多截面（工字、丁字、槽形等）是简单截面工程问题的许多截面（工字、丁字、槽形等）是简单截面（如矩形）的组合，（如矩形）的组合，总惯性矩总惯性矩 =分惯性矩之和分惯性矩之和，而分惯性矩在，而分惯性矩在 各自的各自的 形心坐标系形心坐标系 中计算中计算.将将 分惯性矩分惯性矩 转换到转换到 总形心坐标系总形心坐标系 时，要考虑坐标系转换的时，要考虑坐标系转换的影响影响,分坐标系分坐标系 与与 总形心坐标系总形心坐标系通常是通常是 平行关系平行关系，于是就抽，于是就抽象出惯性矩计算的象出惯性矩计算的 平行移轴平行移轴 问题问题Mechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质图形对形心轴图形对形心轴yC、zC的惯性矩和惯性积：的惯性矩和惯性积：则则图图形形对对坐坐标标轴轴y的的惯惯性性矩为：矩为：zyzcycdAbayczcCyzMechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质zyzcycdAbayczcCyz同理得到：同理得到：惯性积惯性积Mechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质惯惯性性矩矩和和惯惯性性积积的的平行移轴公式平行移轴公式结论：同一平面内对相互平行轴的惯性矩，形结论：同一平面内对相互平行轴的惯性矩，形心轴的最小。心轴的最小。组合截面的惯性矩组合截面的惯性矩 惯性积惯性积Mechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质实质实质 1、数学，不是力学、数学，不是力学 2、颠倒了学科发展顺序、颠倒了学科发展顺序 （历史是：（历史是：弯曲内力弯曲内力弯曲应力弯曲应力惯性矩）惯性矩）目的目的 1、翦除弯曲前面的拦路虎之一（惯性矩、翦除弯曲前面的拦路虎之一（惯性矩)2、从更高的观点，统一截面几何性质、从更高的观点，统一截面几何性质 Mechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质20cm3173例例1：T字形截面字形截面,求其对形心轴的惯矩。求其对形心轴的惯矩。(1)求形心求形心zyC任选参考坐标系任选参考坐标系,Mechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质(2)求求20cm3173zyCIIIMechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质转轴公式转轴公式 逆時针转取为逆時针转取为+号，号，zyyz1dAy1z1yzMechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质同理同理改写为改写为Mechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质并且并且主轴的方位主轴的方位Mechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质主惯性矩主惯性矩计算主惯性矩的第一组公式计算主惯性矩的第一组公式Mechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质求求 惯性矩的极值惯性矩的极值0 0+从而确定了一对坐标轴yo和 zo0 0+的方位上 惯性积惯性积Iy1z1=0该对坐标轴是图形的主轴该对坐标轴是图形的主轴惯性矩的极值方位就是主轴方位惯性矩的极值方位就是主轴方位Mechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质图形对主轴图形对主轴y0 z0 的主惯性矩计算的主惯性矩计算图形对主轴的惯性矩图形对主轴的惯性矩Mechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质几个结论几个结论1 图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和保持常量；图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和保持常量；2 在过同一点的所有正交轴中，在过同一点的所有正交轴中，图形对主轴的惯性矩图形对主轴的惯性矩另一个为最小值；另一个为最小值；一个为最大值，一个为最大值，3 此公式适用于水平轴为此公式适用于水平轴为y轴轴Mechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质 1 确定形心确定形心 的位置的位置2 选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐 标轴标轴 yc，zc,求形心主惯性矩的步骤求形心主惯性矩的步骤计算图形对形心轴的惯性矩计算图形对形心轴的惯性矩 Iy ,Iz 和惯性积和惯性积 Iyz 3 确定主惯性轴的位置确定主惯性轴的位置0 0+Mechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质4 计算形心主惯性矩计算形心主惯性矩5 方位与方位与形心主惯性矩的对应关系形心主惯性矩的对应关系如果如果 0 0+中，绝对值较小者对应惯性矩的最大值中，绝对值较小者对应惯性矩的最大值Mechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质确定图形的形心主轴位置，并计算形心主惯性矩确定图形的形心主轴位置，并计算形心主惯性矩7070160111111Mechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质（1）首先确定图形的形心。）首先确定图形的形心。(2)利用平行移轴公式分别求出各矩利用平行移轴公式分别求出各矩形对形对y轴和轴和z轴的惯性矩和惯性积轴的惯性矩和惯性积 矩形矩形I7070160111111yzMechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质矩形矩形：矩形矩形：7070160111111yzMechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质整个图形对轴和轴的惯性矩和惯性积为整个图形对轴和轴的惯性矩和惯性积为（3）形心主轴方位）形心主轴方位逆时针旋转7070160111111yzy1z1Mechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质（4）0 0+90的两个值分别确定了的两个值分别确定了形心主轴位置形心主轴位置7070160111111yzy1z1Mechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质 20 c10101207080例例 计算所示图形的形心主惯性矩。计算所示图形的形心主惯性矩。yzMechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质 20 c10101207080yzMechanics of Materials平面图形的几何性质平面图形的几何性质形心主惯形矩为形心主惯形矩为形心主轴的位置形心主轴的位置逆时针转逆时针转 113.80对应主惯性矩的最大值对应主惯性矩的最大值