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热点专题突破系列(一)函数的综合应用考点考点1 1 函数及其表示函数及其表示【典例【典例1 1】(1)(2014(1)(2014温州模温州模拟)函数函数y=y=的定的定义域域为.(2)(2014(2)(2014宁波模宁波模拟)已知函数已知函数f(x)=f(x)=则f(9)+f(9)+f(0)=f(0)=.【解题视点】【解题视点】(1)(1)根据解析式根据解析式,构建使解析式有意义的不等式构建使解析式有意义的不等式组求解组求解.(2)(2)根据根据0,90,9所在的区间代入求值所在的区间代入求值.【规范解答】【规范解答】(1)(1)根据已知得根据已知得解得解得,-1x1,-1x0a0时时,f(a)=log,f(a)=log3 3a=,a=,得得a=a=当当a0a0时时,f(a)=2,f(a)=2a a=2=2-2-2,得得a=-2,a=-2,综上可知综上可知a=-2a=-2或或 .【规律方法】【规律方法】1.1.根据函数解析式求定义域的关键根据函数解析式求定义域的关键根据解析式构建使每个式子都有意义的不等式根据解析式构建使每个式子都有意义的不等式(组组).).2.2.求函数值域的常用方法求函数值域的常用方法(1)(1)图象法图象法.(2).(2)单调性法单调性法.(3).(3)基本不等式法基本不等式法.3.3.确定函数值的方法确定函数值的方法根据所给对应关系根据所给对应关系,代入求值代入求值.4.4.应用函数值求参数的值或取值范围的方法应用函数值求参数的值或取值范围的方法根据所给函数及性质构建待求参数的方程根据所给函数及性质构建待求参数的方程(组组)或不等式或不等式(组组)求求解解.【变式式训练】(2014(2014嘉嘉兴模模拟)函数函数f(x)f(x)的定的定义域域为D,D,若若对任任意意x x1 1,x,x2 2D,D,当当x x1 1xx2 2时都有都有f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2),),则称函数称函数f(x)f(x)在在D D上上为非减函数非减函数,设函数函数f(x)f(x)在在0,10,1上上为非减函数非减函数,且且满足以下三足以下三个条件个条件:f(0)=0;:f(0)=0;f(1-x)=1-f(x).f(1-x)=1-f(x).则 等于等于()【解析】【解析】选选A.A.因为因为f(0)=0,f(1-x)=1-f(x),f(0)=0,f(1-x)=1-f(x),所以所以f(1)=1.f(1)=1.又所以又所以又又f(1-x)=1-f(x),f(1-x)=1-f(x),所以所以因为因为所以所以而而所以即所以即所以所以【加固【加固训练】(2014(2014济南模南模拟)已知函数已知函数f(x)f(x)是定是定义在在R R上的偶上的偶函数函数,且且x0 x0时,f(x)=,f(x)=,函数函数f(x)f(x)的的值域域为集合集合A.A.(1)(1)求求f(-1)f(-1)的的值.(2)(2)设函数函数g(x)=g(x)=的定的定义域域为集合集合B,B,若若A AB,B,求求实数数a a的取的取值范范围.【解析】【解析】(1)(1)因为函数因为函数f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的偶函数上的偶函数,所以所以f(-1)=f(1)=f(-1)=f(1)=(2)(2)因为函数因为函数f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的偶函数上的偶函数,所以函数所以函数f(x)f(x)的值域的值域A A即为即为x0 x0时时,f(x),f(x)的取值范围的取值范围.当当x0 x0时时,0 1,0 1,故函数故函数f(x)f(x)的值域的值域A=(0,1.A=(0,1.因为因为g(x)=g(x)=所以定义域所以定义域B=x|-xB=x|-x2 2+(a-1)x+a0,+(a-1)x+a0,由由-x-x2 2+(a-1)x+a0+(a-1)x+a0得得x x2 2-(a-1)x-a0,-(a-1)x-a0,即即(x-a)(x+1)0,(x-a)(x+1)0,因为因为A A B,B,所以所以B=-1,a,B=-1,a,且且a1,a1,所以实数所以实数a a的取值范围是的取值范围是a|a1.a|a1.考点考点2 2函数的函数的图象与性象与性质【典例【典例2 2】(1)(2014(1)(2014天津模天津模拟)函数函数y=y=,x(-,0),x(-,0)(0,)(0,)的的图象可能是下列象可能是下列图象中的象中的()(2)(2014(2)(2014绍兴模模拟)已知定已知定义域域为R R的函数的函数f(x)=a+f(x)=a+是奇函数是奇函数.求求a a的的值;判断判断f(x)f(x)的的单调性并性并证明明;若若对任意的任意的tR,tR,不等式不等式f(tf(t2 2-2t)+f(2t-2t)+f(2t2 2-k)0-k)f(b)f(a)f(b)的形式的形式,再利用单调性再利用单调性转化为转化为a a与与b b的大小关系进而求解的大小关系进而求解.【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选C.y=C.y=是偶函数是偶函数,故排除故排除A,A,又又x(0,)x(0,)时时,xsinx,xsinx,即即 1,1,排除排除B,D,B,D,故选故选C.C.(2)(2)方法一方法一:函数函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为R,R,因为因为f(x)f(x)是奇函数是奇函数,所以所以f(x)+f(-x)=0,f(x)+f(-x)=0,方法二方法二:由由f(x)f(x)是是R R上的奇函数上的奇函数,所以所以f(0)=0,f(0)=0,故故a=a=再由再由f(x)=f(x)=通过验证通过验证f(x)+f(-x)=0f(x)+f(-x)=0来确定来确定a=a=的合理性的合理性.由由知知f(x)=f(x)=易知易知f(x)f(x)在在R R上为减函数上为减函数.证明证明:由由知知f(x)=f(x)=设设x x1 1xf(x)f(x2 2),),所以所以f(x)f(x)在在R R上为减函数上为减函数.因为因为f(x)f(x)是奇函数是奇函数,不等式不等式f(tf(t2 2-2t)+f(2t-2t)+f(2t2 2-k)0-k)0等价于等价于f(tf(t2 2-2t)-f(2t-2t)-2t-2t-2t2 2+k,+k,即对一切即对一切tRtR有有3t3t2 2-2t-k0,-2t-k0,从而从而=4+12k0,=4+12k0,解得解得k k-1),(x-1),当当x=ax=a时，时，f(x)f(x)取得最小值，则在直角坐标系中，函数取得最小值，则在直角坐标系中，函数g(x)=g(x)=的大致图象为的大致图象为()()【解析】【解析】选选B.y=x-4+=x+1+-5,B.y=x-4+=x+1+-5,因为因为x x-1,-1,所以所以x+10,0,x+10,0,所以由基本不等式得所以由基本不等式得y=x+1+-5y=x+1+-5当且仅当当且仅当x+1=,x+1=,即即(x+1)(x+1)2 2=9,=9,即即x+1=3,x=2x+1=3,x=2时取等号时取等号,所以所以a=2a=2，所以，所以g(x)=g(x)=又又 所以选所以选B.B.【加固【加固训练】(2014(2014苏州模州模拟)设函数函数f(x)f(x)是定是定义在在R R上以上以3 3为周期的奇函数周期的奇函数,若若f(1)1,f(2)=,f(1)1,f(2)=,则a a的取的取值范范围是是.【解析】【解析】因为因为f(x+3)=f(x),f(-x)=-f(x),f(x+3)=f(x),f(-x)=-f(x),所以所以 =f(2)=f(-1)=-f(1)-1,=f(2)=f(-1)=-f(1)-1,即即 +10,0,+10,0,解得解得-1a .-1a .答案答案:考点考点3 3 函数与方程及其函数与方程及其实际应用用【典例【典例3 3】(1)(2014(1)(2014湖州模湖州模拟)已知函数已知函数f(x)=-sinx,f(x)=-sinx,则f(x)f(x)在在0,20,2上的零点个数上的零点个数为()A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4(2)(2014(2)(2014宁波模宁波模拟)我国加入我国加入WTOWTO时,根据达成的根据达成的协议,若干年若干年内某内某产品市品市场供供应量量p p与关税的关系近似与关税的关系近似满足足p(x)=p(x)=(其中其中t t为关税的税率关税的税率,且且tt,x,x为市市场价格价格,b,k,b,k为正常数正常数),),当当t=t=时的市的市场供供应量曲量曲线如如图所示所示.根据根据图象象,求求b,kb,k的的值;记市市场需求量需求量为a,a,它近似它近似满足足a(x)=,a(x)=,当当p=ap=a时的市的市场价价格称格称为市市场平衡价格平衡价格,当市当市场平衡价格控制在不低于平衡价格控制在不低于9 9元元时,求求关税税率的最小关税税率的最小值.【解题视点】【解题视点】(1)(1)转化为函数转化为函数h(x)=h(x)=与与g(x)=sinxg(x)=sinx在在0,20,2上的交点个数求解上的交点个数求解.(2)(2)由已知构建由已知构建b,kb,k的方程组求解的方程组求解.将将p(x)p(x)表示为表示为x x的函数的函数,再求其最值再求其最值.【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选B.B.由由 -sinx=0 -sinx=0 =sinx,=sinx,在同一坐标在同一坐标系中作出系中作出h(x)=,g(x)=sinxh(x)=,g(x)=sinx在在0,20,2上的图象上的图象,可以看出可以看出交点个数为交点个数为2.2.(2)(2)由题图知，由题图知，t=t=时，时，有有 解得解得当当p=ap=a时，得时，得解得解得t=t=令令m=m=因为因为x9,x9,所以所以mm所以所以t=(17mt=(17m2 2-m-2),-m-2),所以对称轴为所以对称轴为 且开口向下且开口向下,所以所以m=m=时，时，t t取得最小值取得最小值此时此时x=9,x=9,所以税率所以税率t t的最小值为的最小值为【规律方法】【规律方法】1.1.确定与应用函数零点个数的常用方法确定与应用函数零点个数的常用方法(1)(1)解方程法解方程法构建可解的方程求解构建可解的方程求解.(2)(2)数形结合法数形结合法转化为两个熟悉的函数图象的交点问题求转化为两个熟悉的函数图象的交点问题求解解.2.2.利用函数模型解决实际问题的两大类型及解法利用函数模型解决实际问题的两大类型及解法.(1)(1)利用所给函数模型解决实际问题利用所给函数模型解决实际问题,先由已知确定待定系数先由已知确定待定系数,再用此解决实际问题再用此解决实际问题.(2)(2)自建模型解决实际问题自建模型解决实际问题,根据已知条件根据已知条件,选择恰当的量为变选择恰当的量为变量量(注意限制其范围注意限制其范围),),并将相关量均用该变量表示并将相关量均用该变量表示,抓住题设中抓住题设中等量关系构建目标函数求解等量关系构建目标函数求解.【变式式训练】已知函数已知函数f(x)=f(x)=若关于若关于x x的方程的方程f(x)=kf(x)=k有两个不同的有两个不同的实根根,则实数数k k的取的取值范范围是是.【解析】【解析】方程方程f(x)=kf(x)=k有两个不同的实根有两个不同的实根,则则y=f(x)y=f(x)与与y=ky=k有两个有两个不同交点不同交点.作出作出y=f(x)y=f(x)的图象的图象,可知可知k(0,1).k(0,1).答案答案:(0,1)(0,1)【加固【加固训练】(2014(2014温州模温州模拟)从今年的中秋、国从今年的中秋、国庆假期开始假期开始实施免收小型客施免收小型客车高速通行高速通行费后后,10,10月月3 3日温州有一个群名日温州有一个群名为“天狼星天狼星”的自的自驾游游车队,组织车友前往重友前往重庆游玩游玩.该车队是由是由3131辆车身身长都都约为5m(5m(以以5m5m计算算)的同一的同一车型型组成的成的,行行驶中中经过一个一个长为2725m2725m的隧道的隧道(通通过该隧道的隧道的车速不能超速不能超过25m/s).25m/s).匀速通匀速通过该隧道隧道时,设车队的速度的速度为xm/s.xm/s.根据安全和根据安全和车流的需流的需要要,当当0 x120 x12时,相相邻两两车之之间保持保持20m20m的距离的距离;当当12x2512x25时,相相邻两两车之之间保持保持 的距离的距离.自第自第1 1辆车头进入隧道入隧道至第至第3131辆车尾离开隧道所用的尾离开隧道所用的时间为y(s).y(s).(1)(1)将将y y表示表示为x x的函数的函数.(2)(2)求求该车队通通过隧道隧道时间y y的最小的最小值及此及此时车队的速度的速度.【解析】【解析】(1)(1)当当0 x120 x12时，时，当当12x2512x25时，时，所以所以(2)(2)当当0 x120 x12时时,在在x=12m/sx=12m/s时时,y yminmin=290(s);=290(s);当当12x2512250,290250,所以当所以当x=24m/sx=24m/s时时,y,yminmin=250s,=250s,即该车队通过隧道时间即该车队通过隧道时间y y的最小值为的最小值为250s,250s,此时该车队的速度此时该车队的速度为为24m/s.24m/s.
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