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第第6 6节离散型随机变量的分布列节离散型随机变量的分布列及均值与方差及均值与方差 编写意图编写意图 离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型,以解答以解答题为主题为主,也有选择题、填空题也有选择题、填空题,属中档题属中档题,常与排列、组合、概率等知常与排列、组合、概率等知识综合命题识综合命题.本节围绕高考命题的规律进行设点选题本节围绕高考命题的规律进行设点选题,重点突出随机重点突出随机变量的含义、分布列的性质变量的含义、分布列的性质,会确定随机变量取各个值的概率会确定随机变量取各个值的概率,列出列出分布列分布列,难点突破利用分布列求随机变量的期望与方差、方程思想、难点突破利用分布列求随机变量的期望与方差、方程思想、转化与化归思想及分类讨论思想的应用转化与化归思想及分类讨论思想的应用,规范答题栏目突破了离散型规范答题栏目突破了离散型随机变量的均值与方差的实际应用随机变量的均值与方差的实际应用,凸显了思维的规范性凸显了思维的规范性.课时训练课时训练以考查基础知识和基本方法为主以考查基础知识和基本方法为主,精挑细选精挑细选,立题新颖立题新颖,题题都有可能题题都有可能会是高考命题的生长点会是高考命题的生长点.考点突破考点突破思想方法思想方法夯基固本夯基固本夯基固本夯基固本 抓主干抓主干 固双基固双基知识梳理知识梳理1.1.离散型随机变量离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随着试验结果变化而变化的变量称为 ,常用字母常用字母X,Y,X,Y,表示表示.所有取值可以一一列出的随机变量所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量称为离散型随机变量.2.2.离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列(1)(1)定义定义一般地一般地,若离散型随机若离散型随机变量量X X可能取的不同可能取的不同值为x x1 1,x,x2 2,x,xi i,x,xn n,X,X取每取每一个一个值x xi i(i=1,2,n)(i=1,2,n)的概率的概率为P(X=xP(X=xi i)=p)=pi i,则表表X X x x1 1x x2 2 x xi i x xn nP P p p1 1p p2 2 p pi i p pn n随机变量随机变量称为离散型随机变量称为离散型随机变量X X的概率分布列的概率分布列,简称为简称为X X的分布列的分布列,有时为有时为了简单起见了简单起见,也用等式也用等式P(X=xP(X=xi i)=p)=pi i,i=1,2,n,i=1,2,n表示表示X X的分布列的分布列.数学期望数学期望 平均水平平均水平 平均偏离程度平均偏离程度 aE(X)aE(X)a a2 2D(X)D(X)质疑探究质疑探究:随机变量的均值、方差与样本的均值、方差的关系随机变量的均值、方差与样本的均值、方差的关系是怎样的是怎样的?(提示提示:随机变量的均值、方差是一个常数随机变量的均值、方差是一个常数,样本的均值、方差样本的均值、方差是一个随机变量是一个随机变量,随着试验次数的增加或样本容量的增加随着试验次数的增加或样本容量的增加,样本样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差的均值、方差趋于随机变量的均值与方差)基础自测基础自测C C A A A A 考点突破考点突破 剖典例剖典例 找规律找规律考点一考点一离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列反思归纳反思归纳 求解离散型随机变量求解离散型随机变量X X的分布列的步骤的分布列的步骤(1)(1)理解理解X X的意义的意义,写出写出X X可能取的全部值可能取的全部值;(2);(2)求求X X取每个值的概率取每个值的概率;(3);(3)写出写出X X的分布列的分布列.提醒提醒:求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率的概率,在求解时在求解时,要注意应用计数原理、古典概型等知识要注意应用计数原理、古典概型等知识.考点二考点二期望与方差的计算期望与方差的计算反思归纳反思归纳 求离散型随机变量求离散型随机变量的均值与方差的方法的均值与方差的方法(1)(1)理解理解的意义的意义,写出写出可能取的全部值可能取的全部值;(2)(2)求求取每个值的概率取每个值的概率;(3)(3)写出写出的分布列的分布列;(4)(4)由均值的定义求由均值的定义求E();E();(5)(5)由方差的定义求由方差的定义求D().D().离散型随机变量的期望与方差的应用离散型随机变量的期望与方差的应用考点三考点三反思归纳反思归纳 求解离散型随机变量的分布列求解离散型随机变量的分布列,首先要根据实际情况确首先要根据实际情况确定离散型随机变量的取值定离散型随机变量的取值,然后利用排列、组合与概率知识求出每然后利用排列、组合与概率知识求出每个变量取值所对应事件的概率个变量取值所对应事件的概率,最后以表格的形式给出最后以表格的形式给出.【即时训练】【即时训练】(2014(2014温州市调研温州市调研)从装有大小相同的从装有大小相同的2 2个红球和个红球和6 6个个白球的袋子中白球的袋子中,每摸出每摸出2 2个球为一次试验个球为一次试验,直到摸出的球中有红球直到摸出的球中有红球(不不放回放回),),则试验结束则试验结束.(1)(1)求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率;(2)(2)记试验次数为记试验次数为X,X,求求X X的分布列及数学期望的分布列及数学期望E(X).E(X).反思归纳反思归纳 (1)(1)超几何分布的两个特点超几何分布的两个特点超几何分布是不放回抽样问题超几何分布是不放回抽样问题.随机变量为抽到的某类个体的个数随机变量为抽到的某类个体的个数.(2)(2)超几何分布的应用超几何分布的应用超几何分布是一个重要分布超几何分布是一个重要分布,其理论基础是古典概型其理论基础是古典概型,主要应用主要应用于抽查产品于抽查产品,摸不同类别的小球等概率模型摸不同类别的小球等概率模型.【例例4 4】某校高一年级共有学生某校高一年级共有学生320320人人.为调查高一年级学生每天晚自习为调查高一年级学生每天晚自习自主支配学习时间自主支配学习时间(指除了完成老师布置的作业外学生根据自己的需要进指除了完成老师布置的作业外学生根据自己的需要进行学习的时间行学习的时间)情况情况,学校采用随机抽样的方法从高一学生中抽取了学校采用随机抽样的方法从高一学生中抽取了n n名学名学生进行问卷调查生进行问卷调查.根据问卷得到了这根据问卷得到了这n n名学生每天晚自习自主支配学习时间的数据名学生每天晚自习自主支配学习时间的数据(单位单位:分分钟钟),),按照以下区间分为按照以下区间分为7 7组组:0,10),10,20),20,30),30,40),40,50),50,60),:0,10),10,20),20,30),30,40),40,50),50,60),60,70,60,70,得到频率分布直方图如图得到频率分布直方图如图.已知抽取的学生中每天晚自习自主支已知抽取的学生中每天晚自习自主支配学习时间低于配学习时间低于2020分钟的有分钟的有4 4人人.(1)(1)求求n n的值的值;(2)(2)若高一全体学生平均每天晚自习自主支配学习时间少于若高一全体学生平均每天晚自习自主支配学习时间少于4545分钟分钟,则则学校需要减少作业量学校需要减少作业量.根据以上抽样调查数据根据以上抽样调查数据,学校是否需要减少作业学校是否需要减少作业量量?(?(注注:统计方法中统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表同一组数据常用该组区间的中点值作为代表)(3)(3)问卷调查完成后问卷调查完成后,学校从第学校从第3 3组和第组和第4 4组学生中利用分层抽样的方法组学生中利用分层抽样的方法抽取抽取7 7名学生进行座谈名学生进行座谈,了解各学科的作业布置情况了解各学科的作业布置情况,并从这并从这7 7人中随机人中随机抽取两名学生聘为学情调查联系人抽取两名学生聘为学情调查联系人.设第设第3 3组中学生被聘的人数是组中学生被聘的人数是X,X,求求X X的分布列和数学期望的分布列和数学期望.解解:(1)(1)由题图知第由题图知第1 1组和第组和第2 2组的频率分别是组的频率分别是0.020.02和和0.06,0.06,则则n(0.02+0.06)=4,n(0.02+0.06)=4,解得解得n=50.n=50.助学微博助学微博1.1.求离散型随机变量的分布列求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定首先要根据具体情况确定的取值情况的取值情况,然后利用排列、组合与概率知识求出然后利用排列、组合与概率知识求出取各个值的概率取各个值的概率.2.2.已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差,可直接按定义可直接按定义(公式公式)求解求解.3.3.掌握下列有关均值与方差的常用性质掌握下列有关均值与方差的常用性质,会给解题带来方便会给解题带来方便:E(a+b)=aE()+b;E(+)=E()+E();D(a+b)E(a+b)=aE()+b;E(+)=E()+E();D(a+b)=a2D().=a2D().规范答题规范答题 得高分得高分 有依据有依据 离散型随机变量的分布列、期望与方差离散型随机变量的分布列、期望与方差【典例典例】(12(12分分)(2013(2013高考湖南卷高考湖南卷)某人在如图所示的直角边长为某人在如图所示的直角边长为4 4米的三角形地块的每个格点米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点点)处都种了一株相同品种的作物处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验根据历年的种植经验,一株该种作一株该种作物的年收获量物的年收获量Y(Y(单位单位:kg):kg)与它的与它的“相近相近”作物株作物株数数X X之间的关系如下表所示之间的关系如下表所示:X X1 12 23 34 4Y Y5151484845454242这里这里,两株作物两株作物“相近相近”是指它们之间的直线距离不超过是指它们之间的直线距离不超过1 1米米.(1)(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们求它们恰好恰好“相近相近”的概率的概率;(2)(2)从所种作物中随机选取一株从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学求它的年收获量的分布列与数学期望期望.
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