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第六章不等式第一节不等关系与不等式【知识梳理】【知识梳理】1.1.两个实数比较大小的法则两个实数比较大小的法则设设a,bR,a,bR,则则abab_,a=b_,a=b_,ab_,a0a-b0a-b=0a-b=0a-b0a-bbab_传递性传递性ab,bcab,bc_可加性可加性abab_可乘性可乘性 _注意注意c c的符号的符号 _babcaca+cb+ca+cb+cacbcacbcacbcacb0ab0_(nN,n1)(nN,n1)a,ba,b同同为正数为正数可开方性可开方性ab0ab0_(n(nN,nN,n2)2)a+cb+da+cb+dacbdacbd3.3.不等式的一些常用性质不等式的一些常用性质(1)(1)倒数性质倒数性质:ab,ab0ab,ab0 _ _ ;a0ba0b _ ._ .b0,m0,ab0,m0,则则真分数的性质真分数的性质:假分数的性质假分数的性质:【考点自测】【考点自测】1.(1.(思考思考)给出下列命题给出下列命题:一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不不等号方向不变变;一个非零实数越大一个非零实数越大,则其倒数就越小则其倒数就越小;同向不等式具有可加和可乘性同向不等式具有可加和可乘性;两个数的比值大于两个数的比值大于1,1,则分子不一定大于分母则分子不一定大于分母.其中错误的是其中错误的是()A.B.A.B.C.D.C.D.【解析】【解析】选选C.C.错错,同乘以一个负数或同乘以一个负数或0 0时不等号改变时不等号改变;错错,如如-22,-22,而而 错错,同向不等式具有可加性同向不等式具有可加性,但不一定具有可乘性但不一定具有可乘性,如如12,-312,-3-2,-4;-3-4;对对.当这个比值中的分母小于零时当这个比值中的分母小于零时,分子小于分母分子小于分母,当这个比当这个比值中的分母大于零时值中的分母大于零时,分子大于分母分子大于分母.2.2.设设ba,dc,ba,dc,则下列不等式中一定成立的是则下列不等式中一定成立的是()A.a-cb-dA.a-cb-d B.acbd B.acb+dC.a+cb+d D.a+db+c D.a+db+c【解析】【解析】选选C.C.由同向不等式具有可加性可知由同向不等式具有可加性可知C C正确正确.3.3.若若a1b,a1b,下列不等式中不一定成立的是下列不等式中不一定成立的是()A.a-b1-bA.a-b1-b B.a-1b-1 B.a-1b-1C.a-11-bC.a-11-b D.1-ab-a D.1-ab-a【解析】【解析】选选C.C.由由a1a1知知a-b1-b,a-b1-b,故故A A正确正确;由由abab知知a-1b-1,a-1b-1,故故B B正确正确;由由1b1b知知1-ab-a,1-ab-a,故故D D正确正确,C,C项错误项错误,如当如当a=3,b=-3a=3,b=-3时时,不不成立成立.4.4.已知已知a,ba,b是实数是实数,则则“a0“a0且且b0”b0”是是“a+b0“a+b0且且ab0”ab0”的的()A.A.充分而不必要条件充分而不必要条件B.B.必要而不充分条件必要而不充分条件C.C.充分必要条件充分必要条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析】【解析】选选C.C.由由a0a0且且b0b0可知可知a+b0,ab0,a+b0,ab0,反之反之,由由ab0,ab0,则则a,ba,b同号同号,又又a+b0a+b0知知a0,b0,a0,b0,故为充分必要条件故为充分必要条件.5.(20145.(2014杭州模拟杭州模拟)设设a0a0且且a1,P=loga1,P=loga a(a(a3 3-1),Q=log-1),Q=loga a(a(a2 2-1),-1),则则P P与与Q Q的大小关系为的大小关系为.【解析】【解析】由由a a3 3-10,a-10,a2 2-10-10且且a0a0可知可知a1,a1,又又(a(a3 3-1)-(a-1)-(a2 2-1)=-1)=a a2 2(a-1)0,(a-1)0,故故a a3 3-1a-1a2 2-1,-1,所以所以logloga a(a(a3 3-1)log-1)loga a(a(a2 2-1),-1),即即PQ.PQ.答案答案:PQPQ6.6.已知已知-2a-1,-3b-2,-2a-1,-3b-2,则则a-ba-b的取值范围是的取值范围是,a,a2 2+b+b2 2的取的取值范围是值范围是.【解析解析】因为因为-2a-1,-3b-2,-2a-1,-3b-2,所以所以2-b3,2-b3,于是于是0a-b2.0a-b2.又因为又因为1a1a2 24,4b4,4b2 29,9,所以所以5a5a2 2+b+b2 213.0.5-x0.而要构成三角形而要构成三角形,还要满足还要满足(5-x)+(12-x)13-(5-x)+(12-x)13-x.x.当三角形是钝角三角形时当三角形是钝角三角形时,应使最大角是钝角应使最大角是钝角,此时只需最长此时只需最长边对的角是钝角即可边对的角是钝角即可,因此因此(5-x)(5-x)2 2+(12-x)+(12-x)2 2(13-x)(13-x)2 2,故故x x应满足应满足的不等关系如下的不等关系如下:2.2.某化工厂制定明年某产品的生产计划某化工厂制定明年某产品的生产计划,受下面条件的制约受下面条件的制约:生生产此产品的工人不超过产此产品的工人不超过200200人人,每个工人的年工作时间约为每个工人的年工作时间约为2100h,2100h,预计此产品明年的销售量至少为预计此产品明年的销售量至少为8000080000袋袋,生产每袋产品生产每袋产品需用需用4h,4h,生产每袋产品需用原料生产每袋产品需用原料20kg,20kg,年底库存原料年底库存原料600t,600t,明年明年可补充可补充1200t.1200t.试根据这些数据预测明年的产量试根据这些数据预测明年的产量.【解析】【解析】设明年的产量为设明年的产量为x x袋袋,则则解得解得80000 x90000.80000 x90000.预计明年的产量在预计明年的产量在8000080000袋到袋到9000090000袋之间袋之间.考点考点2 2 比较大小比较大小【典例【典例2 2】(1)(1)已知已知a a1 1,a,a2 2(0,1),(0,1),记记M=aM=a1 1a a2 2,N=a,N=a1 1+a+a2 2-1,-1,则则M M与与N N的的大小关系是大小关系是()A.MNA.MN B.MNC.M=NC.M=N D.D.不确定不确定(2)(2014(2)(2014郑州模拟郑州模拟)已知已知0a1,x=log0ayzA.xyz B.zyx B.zyxC.zxyC.zxy D.yxzD.yxz【解题视点】【解题视点】(1)(1)将将M,NM,N作差、变形、因式分解可解作差、变形、因式分解可解.(2)(2)利用对数运算法则整理利用对数运算法则整理,再利用对数函数的单调性可解再利用对数函数的单调性可解.【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选B.B.因为因为M-N=aM-N=a1 1a a2 2-a-a1 1-a-a2 2+1+1=a=a1 1(a(a2 2-1)-(a-1)-(a2 2-1)-1)=(a=(a1 1-1)(a-1)(a2 2-1),-1),因为因为a a1 1,a,a2 2(0,1),(0,1),故故a a1 1-10,a-10,a2 2-10,-10,-1)0,所以所以MN.MN.(2)(2)选选D.D.因为因为 又又0a1,0axz.yxz.【互动探究】【互动探究】若将本例若将本例(1)(1)中中,a,a1 1,a,a2 2(0,1)(0,1)这个条件去掉这个条件去掉,又将又将如何判断如何判断M,NM,N的关系的关系?【解析】【解析】作差作差,即即M-N=(aM-N=(a1 1-1)(a-1)(a2 2-1).-1).当当a a1 1,a,a2 2(-,1)(-,1)时时,(a(a1 1-1)(a-1)(a2 2-1)0,-1)0,即即MN;MN;当当a a1 1,a,a2 2(1,+)(1,+)时时,(a(a1 1-1)(a-1)(a2 2-1)0,-1)0,即即MN;MN;当当a a1 1,a,a2 2中一个小于或等于中一个小于或等于1,1,另一个大于或等于另一个大于或等于1 1时时,(a,(a1 1-1)(a1)(a2 2-1)0,-1)0,即即MN.MN.综上综上,当当a a1 1,a,a2 2(-,1)(-,1)或或a a1 1,a,a2 2(1,+)(1,+)时时,MN,MN,当当a a1 1,a,a2 2中一中一个小于或等于个小于或等于1,1,另一个大于或等于另一个大于或等于1 1时时,MN.,MN.【规律方法】【规律方法】比较两个数大小的常用方法比较两个数大小的常用方法(1)(1)作差法作差法:其基本步骤为其基本步骤为:作差、变形、判断符号、得出结论作差、变形、判断符号、得出结论,用作差法比较大小的关键是判断差的正负用作差法比较大小的关键是判断差的正负,常采用配方、因式常采用配方、因式分解、分子分解、分子(分母分母)有理化等变形方法有理化等变形方法.(2)(2)作商法作商法:即判断商与即判断商与1 1的关系的关系,得出结论得出结论,要特别注意当商与要特别注意当商与1 1的大小确定后必须对商式分子分母的正负做出判断的大小确定后必须对商式分子分母的正负做出判断,这是用作这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤.(3)(3)单调性法单调性法:利用有关函数的单调性比较大小利用有关函数的单调性比较大小.(4)(4)特值验证法特值验证法:对于一些题目对于一些题目,有的给出取值范围有的给出取值范围,可采用特值可采用特值验证法比较大小验证法比较大小.【变式训练】【变式训练】已知已知 且且a=cos2,b=cos-sin,a=cos2,b=cos-sin,则则a a与与b b的大小关系为的大小关系为.【解析】【解析】由于由于 所以所以故故a=cos20,a=cos20,且且cossin,cossin,所以所以b0.b0.而而由于由于 所以所以故故即即 故必有故必有ab.ab.答案答案:abab【加固训练】【加固训练】1.1.若若 则则()A.abcA.abcB.cbaB.cbaC.cabC.cabD.bacD.baa;ba;所以所以ac,ac,即即cab.can B.mnC.mnC.mn D.mnD.m0,q0,0,q0,前前n n项和为项和为S Sn n,则则 与与 的的大小关系为大小关系为.【解析】【解析】当当q=1q=1时时,所以所以当当q0q0且且q1q1时时,所以所以综上可得综上可得答案答案:考点考点3 3 不等式性不等式性质及其及其应用用【考情】【考情】不等式的性质及其应用是高考命题的热点不等式的性质及其应用是高考命题的热点.不等式性不等式性质的应用是高考的常考点质的应用是高考的常考点,常通过不等式性质来比较大小常通过不等式性质来比较大小,有时有时也与函数结合综合考查充要条件等问题也与函数结合综合考查充要条件等问题,常以选择题、填空题常以选择题、填空题形式出现形式出现,题目难度不大题目难度不大.高频考点高频考点通关通关【典例【典例3 3】(1)(2013(1)(2013北京高考北京高考)设设a,b,cR,a,b,cR,且且ab,ab,则则()A.acbc B.A.acbc B.C.aC.a2 2bb2 2 D.a D.a3 3bb3 3(2)(2013(2)(2013天津高考天津高考)设设a,bR,a,bR,则则“(a-b)a“(a-b)a2 20”0”是是“ab”“ab”的的()A.A.充分而不必要条件充分而不必要条件 B.B.必要而不充分条件必要而不充分条件C.C.充要条件充要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解题视点】【解题视点】(1)(1)排除法排除法(利用特值利用特值)可解可解.(2)(2)利用两命题间关系可解利用两命题间关系可解.【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选D.AD.A选项选项,当当c0c0时时,acbc,ac0ba0b时时,显然显然B B不正确不正确;C;C选项选项,当当a=1,b=-2a=1,b=-2时时,a,a2 2bbab时时,有有a a3 3bb3 3,D,D是正确的是正确的.(2)(2)选选A.(a-b)aA.(a-b)a2 20,0,则必有则必有a-b0,a-b0,即即ab;ab;而而abab时时,不能推出不能推出(a-b)a(a-b)a2 20,0,如如a=0,b=1,a=0,b=1,所以所以“(a-b)a“(a-b)a2 20”0”是是“ab”“ab”的充的充分而不必要条件分而不必要条件.【通关【通关锦囊】囊】重点题型重点题型破解策略破解策略不等式是否成立的不等式是否成立的判断判断利用特值能判断则用特值利用特值能判断则用特值,否则利用否则利用性质求解性质求解充要条件的判断充要条件的判断利用两命题间关系利用两命题间关系,看看p p能否推出能否推出q,q,再再看看q q能否推出能否推出p,p,充分利用不等式性质充分利用不等式性质或特值求解或特值求解新定义创新题新定义创新题仔细读懂题意仔细读懂题意,利用特值或利用性质利用特值或利用性质转化可解转化可解【关注【关注题型】型】与函数、方程与函数、方程结合命题结合命题利用图象或方程的根的特点可求解利用图象或方程的根的特点可求解证明不等式证明不等式利用不等式性质利用不等式性质,采用比较法、综合法等采用比较法、综合法等方法证明方法证明求范围求范围建立待求范围的整体与已知范围的整体建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系的等量关系,利用不等式性质求解利用不等式性质求解【通关题组】【通关题组】1.(20131.(2013陕西高考西高考)设xx表示不大于表示不大于x x的最大整数的最大整数,则对任意任意实数数x,y,x,y,有有()A.-x=-x B.2x=2xA.-x=-x B.2x=2xC.x+yx+y D.x-yx-yC.x+yx+y D.x-yx-y【解析解析】选选D.D.对对A,A,设设x=-1.8,x=-1.8,则则-x=1,-x=2,-x=1,-x=2,所以所以A A选项错选项错.对对B,B,设设x=-1.4,2x=-2.8=-3,2x=-4,x=-1.4,2x=-2.8=-3,2x=-4,所以所以B B选项错选项错.对对C,C,设设x=y=1.8,x+y=3.6=3,x=y=1.8,x+y=3.6=3,x+y=2,x+y=2,所以所以C C选项错选项错.2.(20122.(2012四川高考四川高考)设a,ba,b为正正实数数,现有下列命有下列命题:若若a a2 2-b-b2 2=1,=1,则a-b1;a-b1;若若 =1,=1,则a-b1;a-b1;若若|=1,|=1,则|a-b|1;|a-b|1;若若|a|a3 3-b-b3 3|=1,|=1,则|a-b|1.|a-b|0,b0,a0,b0,又又a a2 2=b=b2 2+11,+11,所以所以a1,a1,所以所以 1,1,即即a-b1,a-bb,ab,因为因为a a3 3-b-b3 3=1,=1,又又(a-b)(a-b)3 3=a=a3 3-3a-3a2 2b+3abb+3ab2 2-b-b3 3=1+3ab(b-a)1,=1+3ab(b-a)1,故故a-b1,a-bb1,cb1,c0,给出下列三个出下列三个结论:a ac cblog(a-c)loga a(b-c).(b-c).则其中所有的正确其中所有的正确结论的序号是的序号是()A.A.B.B.C.C.D.D.【解析】【解析】选选D.D.因为因为ab1,ab1,所以所以 又又c0,c0,所以所以 故故正确正确,排除排除C.C.因为因为y=xy=xc c(c0)(cb1,ab1,所以所以a ac cbb1,-c0,ab1,-c0,所以所以a-cb-c1,a-cb-c1,所以所以loglogb b(a-c)log(a-c)loga a(a-c)log(a-c)loga a(b-c),(b-c),故故loglogb b(a-c)log(a-c)loga a(b-c),(b-c),故故对对.2.(20142.(2014台州模台州模拟)已知函数已知函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的的图象象经过点点(-1,3)(-1,3)和和(1,1)(1,1)两点两点,若若0c1,0c1,则a a的取的取值范范围是是()A.(1,3)A.(1,3)B.(1,2)B.(1,2)C.2,3)C.2,3)D.1,3D.1,3【解析】【解析】选选B.B.函数函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象经过点的图象经过点(-1,3)(-1,3)和和(1,1)(1,1)两点两点,则则可得可得c=2-a,c=2-a,因为因为0c1,0c1,所以所以02-a1,02-a1,所以所以1a2,1a2,所以实数所以实数a a的取值范围是的取值范围是1a2.1ab0,cd0,eb0,cd0,e0,求证求证:【证明】【证明】因为因为cd0,cd-d0,-c-d0,又又ab0,ab0,所以所以a-cb-d0,a-cb-d0,故故而而e0,e0;lna|a|+b0;lna2 2lnblnb2 2中中,正确正确的不等式是的不等式是()A.A.B.B.C.C.D.D.【解析】【解析】常规解法常规解法:选选C.C.由由 可知可知ba0.ba0.中中,a+b0,a+b0,所以所以 故有故有 故故正确正确,排除排除B,D;B,D;中中,因为因为ba0,baab,0ab,又因为又因为 所以所以 故故正确正确,排除排除A,A,选选C.C.巧妙解法巧妙解法:选选C.C.因为因为 故可取故可取a=-1,b=-2,a=-1,b=-2,显然显然 故故对对,排除排除B,D,B,D,对于对于中中,而而 故故 成立成立,排除排除A,A,选选C.C.【解法分析】【解法分析】常规解法常规解法1.1.此类题目通常是边选边排除此类题目通常是边选边排除.2.2.在选的过程中应用不等式性质变形判断是在选的过程中应用不等式性质变形判断是通法通法,但运算量大但运算量大,极易出错极易出错巧妙解法巧妙解法1.1.仍然采用边选边排除的思想仍然采用边选边排除的思想.2.2.在选与排除的过程中采用特值法验证在选与排除的过程中采用特值法验证,简简化了过程化了过程,提高了准确率提高了准确率【小试牛刀】【小试牛刀】若若ab0,ab0,则下列不等式中一定成立的是则下列不等式中一定成立的是()【解析】【解析】常规解法常规解法:选选A.A.对对B,B,故故B B不成立不成立.对对D,D,故故D D不成立不成立.另外另外,函数函数f(x)=x-f(x)=x-是是(0,+)(0,+)上的增函数上的增函数,但函数但函数g(x)=x+g(x)=x+在在(0,1(0,1上递减上递减,在在1,+)1,+)上递增上递增.所以所以,当当ab0ab0时时,f(a)f(b),f(a)f(b)必定成立必定成立.但但g(a)g(b)g(a)g(b)未必成立未必成立,这样这样,巧妙解法巧妙解法:选选A.A.取取a=2,b=1,a=2,b=1,排除排除B B和和D,D,取取a=2,b=,a=2,b=,排除排除C.C.
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