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第 二 节 同角三角函数的基本关系及诱导公式【知识梳理】【知识梳理】1.1.同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系(1)(1)平方关系平方关系:_.:_.(2)(2)商数关系商数关系:_.:_.sinsin2 2+cos+cos2 2=1=12.2.三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式组数数一一二二三三四四五五六六角角2k+2k+(kZ)(kZ)+-正弦正弦sinsin_ _余弦余弦coscos_正切正切tantan_ _口口诀函数名不函数名不变符号看象限符号看象限函数名改函数名改变符号看象限符号看象限-sin-sin-sin-sinsinsincoscoscoscos-cos-coscoscos-cos-cossinsin-sin-sintantan-tan-tan-tan-tan3.3.特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值角角00 3030 4545 6060 9090 120120 150150 180180角角的的弧度数弧度数0 0sinsin_1 1_0 0coscos_0 0_-1-1tantan_1 1_0 00 01 10 0【考点自测】【考点自测】1.(1.(思考思考)给出下列命出下列命题:sinsin2 2+cos+cos2 2=1;=1;同角三角函数的基本关系式中角同角三角函数的基本关系式中角可以是任意角可以是任意角;六六组诱导公式中的角公式中的角可以是任意角可以是任意角;诱导公式的口公式的口诀“奇奇变偶不偶不变,符号看象限符号看象限”中的中的“符号符号”与与的大小无关的大小无关;若若sin(k-)=(kZ),sin(k-)=(kZ),则sin=.sin=.其中正确的是其中正确的是()A.A.B.B.C.C.D.D.【解析】【解析】选选B.B.错误错误.sin.sin2 2+cos+cos2 2=1=1中的角不是同角中的角不是同角.错误错误.在在tan=tan=中中 +k,kZ.+k,kZ.错误错误.对于正、余弦的诱导公式角对于正、余弦的诱导公式角可以为任意角可以为任意角,而对于而对于正切的诱导公式正切的诱导公式 +k,kZ.+k,kZ.正确正确.诱导公式的符号看象限中的符号是把任意角诱导公式的符号看象限中的符号是把任意角都看成都看成锐角时原函数值的符号锐角时原函数值的符号,因而与因而与的大小无关的大小无关.错误错误.当当k=2n(nZ)k=2n(nZ)时时,sin(k-)=sin(2n-)=,sin(k-)=sin(2n-)=sin(-)=-sin=,sin(-)=-sin=,则则sin=-;sin=-;当当k=2n+1(nZ)k=2n+1(nZ)时时,sin(k-)=sin(2n+1)-=sin(2n+-)=sin(k-)=sin(2n+1)-=sin(2n+-)=sin(-)=sin=.sin(-)=sin=.2.cos 3002.cos 300()()【解析】【解析】选选C.cos 300C.cos 300cos(360cos(36060)60)cos 60cos 603.3.若若tan tan 2 2，则，则 的值为的值为()()A.0 B.A.0 B.C.1 D.C.1 D.【解析】【解析】选选B.B.4.4.已知已知cos(-)=cos(-)=，且，且是第四象限角，则是第四象限角，则sin(-2sin(-2+)=()+)=()【解析】【解析】选选A.A.由由cos(-)=cos(-)=得，得，cos=cos=，而，而为第为第四象限角，所以四象限角，所以sin(-2+)=sin=sin(-2+)=sin=5.(20145.(2014台州模拟台州模拟)化简化简 =_.=_.【解析】【解析】答案：答案：1 16.6.已知已知cos(+)=-cos(+)=-，则，则sin(-)=_.sin(-)=_.【解析】【解析】sin(-)=cos -(-)=cos(+)=-.sin(-)=cos -(-)=cos(+)=-.答案答案:-考点考点1 1 利用诱导公式求值利用诱导公式求值【典例【典例1 1】(1)(2014(1)(2014济宁模拟济宁模拟)sin()+cos )sin()+cos tan -cos()+sin =_.tan -cos()+sin =_.(2)(2)已知已知cos(-)=cos(-)=，则，则sin(-)=_.sin(-)=_.【解题视点】【解题视点】(1)(1)利用诱导公式化为锐角的三角函数值求解利用诱导公式化为锐角的三角函数值求解.(2)(2)寻求寻求(-)(-)与与(-)(-)的联系，再利用诱导公式求解的联系，再利用诱导公式求解.【规范解答】【规范解答】(1)(1)原式原式=-sin()+cos()tan 4-=-sin()+cos()tan 4-cos +sin =-sin(4+)+cos tan 4-cos +sin =-sin(4+)+cos tan 4-cos(6+)+sin(6+)=-sin +cos tan 0-cos(6+)+sin(6+)=-sin +cos tan 0-cos +sin =-sin(-)+0-cos(+)+sincos +sin =-sin(-)+0-cos(+)+sin=-sin +cos -1=-sin +cos -1=答案：答案：-1-1(2)(2)因为因为(-)+(-)=(-)+(-)=所以所以sin(-)=sin-(-)sin(-)=sin-(-)=-sin +(-)=-cos(-)=-sin +(-)=-cos(-)=答案：答案：【互动探究】【互动探究】在本例在本例(2)(2)的条件下，求的条件下，求【解析】【解析】【规律方法】【规律方法】1.1.给角求值的原则和步骤给角求值的原则和步骤(1)(1)原则原则:负化正、大化小、化到锐角为终了负化正、大化小、化到锐角为终了.(2)(2)步骤步骤:利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为0 0 之间角的三角函数步骤之间角的三角函数步骤,如下图如下图:2.2.给值求值的原则给值求值的原则寻求所求角与已知角之间的联系寻求所求角与已知角之间的联系,通过相加或相减建立联系通过相加或相减建立联系,若出现若出现 的倍数的倍数,则通过诱导公式建立两者之间的联系则通过诱导公式建立两者之间的联系,然后然后求解求解.常见的互余与互补关系常见的互余与互补关系(1)(1)常见的互余关系有：常见的互余关系有：与与 与与 与与 -等等.(2)(2)常见的互补关系有：常见的互补关系有：与与 ;+;+与与 -等等.遇到此遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换的思想方类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换的思想方法解决问题法解决问题.【变式训练】【变式训练】sin(-1 200)cos 1 290+cos(-1 020)sin(-1 200)cos 1 290+cos(-1 020)sin(-1 050)+tan 945=_.sin(-1 050)+tan 945=_.【解析】【解析】原式原式=-sin 1 200cos 1 290+cos 1 020=-sin 1 200cos 1 290+cos 1 020(-sin 1 050)+tan 945(-sin 1 050)+tan 945=-sin 120cos 210+cos 300(-sin 330)+tan 225=-sin 120cos 210+cos 300(-sin 330)+tan 225=(-sin 60)(-cos 30)+cos 60sin 30+tan 45=(-sin 60)(-cos 30)+cos 60sin 30+tan 45答案：答案：2 2【加固训练加固训练】1.1.等于等于()()A.1 B.C.0 D.-1A.1 B.C.0 D.-1【解析】【解析】选选C.C.原式原式2.2.已知已知则则 等于等于()()【解析】【解析】选选D.D.考点考点2 2 利用诱导公式化简、证明利用诱导公式化简、证明【典例典例2 2】(1)(1)已知已知A A (kZ)(kZ)，则，则A A的值的值构成的集合是构成的集合是()()A.1A.1，1,21,2，2 B.2 B.1,11,1C.2C.2，2 D.12 D.1，1,0,21,0,2，22(2)(2014(2)(2014绍兴模拟绍兴模拟)【解题视点】【解题视点】(1)(1)根据根据k k的奇偶性分类讨论求解的奇偶性分类讨论求解.(2)(2)利用诱导公式化简约分利用诱导公式化简约分.【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选C.C.当当k k为偶数时，为偶数时，k k为奇数时，为奇数时，(2)(2)原式原式=答案：答案：tan tan【规律方法】【规律方法】1.1.利用诱导公式化简三角函数的原则和要求利用诱导公式化简三角函数的原则和要求(1)(1)原则原则:遵循诱导公式先行的原则遵循诱导公式先行的原则,即先用诱导公式化简变形即先用诱导公式化简变形,达到角的统一达到角的统一,再进行三角函数名称转化再进行三角函数名称转化,以保证三角函数名称以保证三角函数名称最少最少.(2)(2)要求要求:化简过程是恒等变形化简过程是恒等变形;结果要求项数尽可能少结果要求项数尽可能少,次次数尽可能低数尽可能低,结构尽可能简单结构尽可能简单,能求值的要求出值能求值的要求出值.2.2.证明三角恒等式的主要思路证明三角恒等式的主要思路(1)(1)由繁到简法由繁到简法:由较繁的一边向简单一边化简由较繁的一边向简单一边化简.(2)(2)左右归一法左右归一法:使两端化异为同使两端化异为同,把左右式都化为第三个式子把左右式都化为第三个式子.(3)(3)转化化归法转化化归法:先将要证明的结论恒等变形先将要证明的结论恒等变形,再证明再证明.提醒提醒:由终边相同的角的关系可知由终边相同的角的关系可知,在计算含有在计算含有22的整数倍的的整数倍的三角函数式中可直接将三角函数式中可直接将22的整数倍去掉后再进行运算的整数倍去掉后再进行运算,如如cos(5-)=cos(-)=-cos.cos(5-)=cos(-)=-cos.【变式训练】【变式训练】证明：证明：【证明】【证明】左边左边=-tan=-tan=右边，所以原式成立右边，所以原式成立.【加固训练】【加固训练】1.=_.1.=_.【解析】【解析】原式原式答案：答案：1 12._.2._.【解析】【解析】原式原式=-sin+sin=0.=-sin+sin=0.答案：答案：0 0考点考点3 3 同角三角函数关系式的应用同角三角函数关系式的应用 【考情】【考情】同角三角函数的基本关系式的同角三角函数的基本关系式的应用很广泛用很广泛,也比也比较灵灵活活.在高考中以在高考中以选择题、填空、填空题的形式出的形式出现,考考查求求值、化、化简、1 1的代的代换等等问题.高频考点高频考点通关通关【典例【典例3 3】(1)(2014(1)(2014宁波模拟宁波模拟)记记cos(-80)=kcos(-80)=k，那么，那么tan 100tan 100等于等于()()(2)(2014(2)(2014银川模拟银川模拟)若若tan=tan=则则 =_ =_，sinsin2 2+2sin cos=_.+2sin cos=_.【解题视点】【解题视点】(1)(1)注意注意8080角与角与100100角互补，再利用同角关系角互补，再利用同角关系求解求解.(2)(2)将所求表达式看成关于将所求表达式看成关于sin sin 与与cos cos 的齐次分式，利用的齐次分式，利用商数关系转化成关于商数关系转化成关于tan tan 的表达式求解的表达式求解.【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选B.B.因为因为cos(-80)=cos 80=kcos(-80)=cos 80=k，所以所以sin 80=sin 80=所以所以tan 100=tan 100=(2)(2)答案：答案：【通关【通关锦囊】囊】重点重点题型型破解策略破解策略在在sin,cossin,cos与与tantan三者中知一求三者中知一求二二利用平方关系和商数关系构造方程利用平方关系和商数关系构造方程组求求解解知知tantan的的值求关于求关于sinsin与与coscos的的齐n n次分式的次分式的值分子分母同除以分子分母同除以coscosn n,转化成关于化成关于tantan的式子求解的式子求解1 1的代的代换问题含有含有sinsin2 2,cos,cos2 2及及sincossincos的式的式子求子求值问题,可将所求式子的分母看作可将所求式子的分母看作“1”,“1”,利用利用“sin“sin2 2+cos+cos2 2=1”=1”代代换后后转化化为“切切”后求解后求解【关注【关注题型】型】利用同角关系化利用同角关系化简对于既有切又有弦的于既有切又有弦的问题,可利用商数可利用商数关系弦切互化关系弦切互化统一函数后求解一函数后求解利用同角关系消元利用同角关系消元利用利用“sin“sin2 2+cos+cos2 2=1”=1”可起到消元降可起到消元降幂的作用的作用证明三角恒等式明三角恒等式仔仔细观察左右两察左右两边的角、函数名及有关的角、函数名及有关运算之运算之间的差异及的差异及联系系,从复从复杂一一边进行行变形向另一形向另一边转化化 【通关【通关题组】1.(20131.(2013大纲版全国卷大纲版全国卷)已知已知是第二象限角，是第二象限角，则则cos=()cos=()【解析】【解析】选选A.A.因为因为sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1，所以所以coscos2 2=1=1sinsin2 2=则则cos cos 又又是第二象限角，是第二象限角，所以所以cos=cos=2.(20142.(2014安庆模拟安庆模拟)已知已知sin(3-)=-2sin(+)sin(3-)=-2sin(+)，则，则sin cos sin cos 等于等于()()【解析】【解析】选选A.A.因为因为sin(3-)=sin(-)=-2sin(+)sin(3-)=sin(-)=-2sin(+)，所以所以sin=-2cos sin=-2cos，所以，所以tan=-2tan=-2，所以所以sin cos=sin cos=3.(20143.(2014温州模拟温州模拟)已知已知sin-cos=,sin-cos=,则则sinsin3 3-cos-cos3 3=_.=_.【解析】【解析】由由sin-cos=sin-cos=得得1-2sin cos=1-2sin cos=，sin cos=,sin cos=,又又sinsin3 3-cos-cos3 3=(sin-cos)(sin=(sin-cos)(sin2 2+sin cos+sin cos+cos+cos2 2)=答案：答案：【加固训练】【加固训练】1.(20141.(2014长沙模拟长沙模拟)=()=()【解析】【解析】选选D.D.2.2.求证：求证：【证明】【证明】右边右边=左边，左边，所以原等式成立所以原等式成立.3.3.是否存在是否存在(-(-，)，(0(0，)，使等式，使等式sin(3-)sin(3-)=cos(-)=cos(-)，cos(-)=-cos(+)cos(-)=-cos(+)同时成立？同时成立？若存在，求出若存在，求出，的值，若不存在，请说明理由的值，若不存在，请说明理由【解析】【解析】假设存在假设存在,使得等式成立，即有使得等式成立，即有由诱导公式可得由诱导公式可得2 2+2 2得得sinsin2 2+3cos+3cos2 2=2=2，解得，解得coscos2 2=又因为又因为(-,)(-,)，所以，所以=或或=-.=-.将将=代入代入得得cos=cos=又又(0(0，)，所以，所以=，代入，代入可知符合可知符合.将将=-=-代入代入得得cos=cos=又又(0(0，),),所以所以=，代入，代入可知不符合可知不符合.综上可知，存在综上可知，存在=，=满足条件满足条件.【巧思妙解【巧思妙解3 3】巧用平方关系求值巧用平方关系求值【典例】【典例】(2014(2014汉中模拟汉中模拟)已知已知是三角形的内角，且是三角形的内角，且sin+cos=sin+cos=，则，则tan=_.tan=_.【解析】【解析】常规解法：常规解法：由由消去消去cos cos 整理得，整理得，25sin25sin2 2-5sin-12=0.-5sin-12=0.解得解得sin=sin=或或sin=sin=因为因为是三角形的内角，是三角形的内角，所以所以sin=sin=又由又由sin+cos=sin+cos=得，得，cos=cos=所以所以tan=tan=答案：答案：巧妙解法：因为巧妙解法：因为sin+cos=sin+cos=所以所以(sin+cos)(sin+cos)2 2=1+2sin cos=1+2sin cos=即即2sin cos=2sin cos=所以所以(sin-cos)(sin-cos)2 2=1-2sin cos=1-2sin cos=又又2sin cos=2sin cos=0 0，0 0，所以所以sin sin 0 0，cos cos 0 0，即，即sin-cos sin-cos 0 0，故故sin-cos=sin-cos=由由 得得 所以所以tan=tan=答案：答案：【解法分析】【解法分析】常规常规解法解法1.1.直接利用平方关系直接利用平方关系,构造方程组求出构造方程组求出sin,sin,然后再然后再求求cos,cos,是三角运算问题的常规思路是三角运算问题的常规思路.2.2.解法体现了方程思想解法体现了方程思想,但计算量大但计算量大,运算过程极易运算过程极易出错出错巧妙巧妙解法解法1.1.处由平方关系得到处由平方关系得到sin+cossin+cos与与sincossincos的的关系关系,为下一步应用求为下一步应用求sin-cossin-cos做好铺垫做好铺垫.2.2.处再次利用了平方关系处再次利用了平方关系:sin:sin2 2+cos+cos2 2=1,=1,得到得到了了sin-cossin-cos与与sincossincos的关系的关系,突出了整体思突出了整体思想想,减少了运算量减少了运算量【小试牛刀】【小试牛刀】已知已知sin-cos (0,),sin-cos (0,),则则sin 2=()sin 2=()【解析】【解析】常规解法：选常规解法：选A.A.由由消去消去cos cos 整理得整理得2sin2sin2 2 sin+1 sin+10 0，解得解得sin sin 又由又由sin-cos=sin-cos=得，得，cos cos 故故sin 2sin 22sin cos 2sin cos 1.1.巧妙解法：选巧妙解法：选A.A.将等式将等式sin-cos=sin-cos=两边平方，整理得两边平方，整理得sinsin2 2+cos+cos2 2-2sin cos=2-2sin cos=22sin cos=-12sin cos=-1sin 2=-1.sin 2=-1.
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