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第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题【知识梳理】【知识梳理】1.1.二元一次不等式二元一次不等式(组组)表示的平面区域表示的平面区域不等式不等式表示区域表示区域Ax+By+C0Ax+By+C0直线直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0某一侧某一侧的所有点组成的平面区的所有点组成的平面区域域不包括边界直线不包括边界直线Ax+By+C0Ax+By+C0_不等式组不等式组各个不等式所表示平面区域的各个不等式所表示平面区域的_包括边界直线包括边界直线公共部分公共部分2.2.二元一次不等式二元一次不等式(组组)的解集的解集满足二元一次不等式满足二元一次不等式(组组)的的x x和和y y的取值构成的的取值构成的_,_,叫做二元一次不等式叫做二元一次不等式(组组)的解的解,所有这样的所有这样的_构构成的集合称为二元一次不等式成的集合称为二元一次不等式(组组)的解集的解集.有序数对有序数对(x,y)(x,y)有序数对有序数对(x,y)(x,y)3.3.线性规划的有关概念线性规划的有关概念名称名称意义意义约束条件约束条件由变量由变量x,yx,y组成的组成的_线性约束条件线性约束条件由由x,yx,y的一次不等式的一次不等式(或方程或方程)组成的组成的_目标函数目标函数关于关于x,yx,y的函数的函数_,_,如如z=x+2yz=x+2y线性目标函数线性目标函数关于关于x,yx,y的的_解析式解析式不等式不等式(组组)不等式不等式(组组)解析式解析式一次一次名称名称意义意义可行解可行解满足线性约束条件的解满足线性约束条件的解(x,y)(x,y)可行域可行域所有可行解组成的集合所有可行解组成的集合最优解最优解使目标函数取得使目标函数取得_的的可行解可行解线性规划问题线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的在线性约束条件下求线性目标函数的_或或_问题问题最大值或最小值最大值或最小值最大值最大值最小值最小值【考点自测】【考点自测】1.(1.(思考思考)给出下列命题给出下列命题:不等式不等式Ax+By+C0Ax+By+C0表示的平面区域一定在直线表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0的上的上方方;任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域;线性目标函数的最优解可能是不唯一的线性目标函数的最优解可能是不唯一的;线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上;目标函数目标函数z=ax+by(b0)z=ax+by(b0)中中,z,z的几何意义是直线的几何意义是直线ax+by-z=0ax+by-z=0在在y y轴上的截距轴上的截距.其中正确的是其中正确的是()A.B.A.B.C.D.C.D.【解析】【解析】选选C.C.错误错误.不等式不等式Ax+By+C0Ax+By+C0表示的平面区域也可能表示的平面区域也可能在直线在直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0的下方的下方,这要取决于这要取决于A A与与B B的符号的符号;错误错误.不一定不一定,如果二元一次不等式组的解集为空集如果二元一次不等式组的解集为空集,它就不它就不表示任何区域表示任何区域;正确正确.当目标函数对应的直线与可行域的某一条边界直线平当目标函数对应的直线与可行域的某一条边界直线平行时行时,最优解可能有无数多个最优解可能有无数多个;正确正确.线性目标函数都是通过平移直线线性目标函数都是通过平移直线,在与可行域有公共点在与可行域有公共点的情况下的情况下,分析其在分析其在y y轴上的截距的取值范围轴上的截距的取值范围,因此其取得最值因此其取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上的点一定在可行域的顶点或边界上;错误错误.由由ax+by-z=0ax+by-z=0可得可得 所以所以 才是该直线在才是该直线在y y轴上的截距轴上的截距.2.2.若点若点(m,1)(m,1)在不等式在不等式2x+3y-502x+3y-50所表示的平面区域内所表示的平面区域内,则则m m的取的取值范围是值范围是()A.m1A.m1 B.m1 B.m1C.m1C.m1 D.m1【解析】【解析】选选D.D.依题意有依题意有2m+3-50,2m+3-50,解得解得m1.m1.3.3.不等式组不等式组 所表示的平面区域的面积为所表示的平面区域的面积为()A.1A.1B.B.C.C.D.2D.2【解析】【解析】选选B.B.不等式组表示的区域如图所示不等式组表示的区域如图所示.所以面积所以面积S=11=.S=11=.4.(20134.(2013天津高考天津高考)设变量设变量x,yx,y满足约束条件满足约束条件则目标函数则目标函数z=y-2xz=y-2x的最小值为的最小值为()A.-7 B.-4 A.-7 B.-4 C.1 D.2 C.1 D.2【解析】【解析】选选A.A.由由z=y-2x,z=y-2x,得得y=2x+z.y=2x+z.作出不等式组对应的平面区作出不等式组对应的平面区域域ABC(ABC(如图如图).).作直线作直线y=2x,y=2x,平移直线平移直线y=2x+z,y=2x+z,由图象知当直线经由图象知当直线经过点过点B B时时,y=2x+z,y=2x+z的截距最小的截距最小,此时此时z z最小最小.由由 得得 代入代入z=y-2xz=y-2x得得z=3-25=-7.z=3-25=-7.所以最小值为所以最小值为-7.-7.5.(20145.(2014杭州模拟杭州模拟)华源装饰公司要为客户做华源装饰公司要为客户做4 4个文字版面个文字版面,3,3个绘画版面个绘画版面.现有两种规格原料现有两种规格原料,甲种规格每张甲种规格每张3m3m2 2,可做文字版可做文字版面面2 2个个,绘画版面绘画版面2 2个个;乙种规格每张乙种规格每张2m2m2 2,可做文字版面可做文字版面2 2个个,绘画绘画版面版面1 1个个.为了节约费用为了节约费用,使总用料面积最小使总用料面积最小,则需要买甲、乙两则需要买甲、乙两种规格的原料的张数分别为种规格的原料的张数分别为.【解析】【解析】设买甲种规格原料设买甲种规格原料x x张张,乙种规格原料乙种规格原料y y张张.由题意得由题意得 所用原料总面积的目标函数所用原料总面积的目标函数S=3x+2y,S=3x+2y,作作出可行域出可行域,当直线当直线S=3x+2yS=3x+2y过过2x+2y=42x+2y=4与与2x+y=32x+y=3的交点的交点M(1,1)M(1,1)时时,S S最小最小,故甲、乙规格原料各故甲、乙规格原料各1 1张张.答案答案:1,11,16.6.若实数若实数x,yx,y满足不等式组满足不等式组 且且x+yx+y的最大值为的最大值为9,9,则实数则实数m=m=.【解析】【解析】如图作出可行域如图作出可行域.由由 得得平移直线平移直线y=-x,y=-x,当其经过点当其经过点A A时时,x+y,x+y取得最大值取得最大值,即即解得解得m=1.m=1.答案答案:1 1考点考点1 1 平面区域的相关问题平面区域的相关问题【典例【典例1 1】(1)(2014(1)(2014衢州模拟衢州模拟)如果不等式组如果不等式组 表表示的平面区域是一个直角三角形且示的平面区域是一个直角三角形且y=2xy=2x与与kx-y+1=0kx-y+1=0垂直垂直,则该则该三角形的面积为三角形的面积为()A.A.B.B.C.C.D.D.(2)(2013(2)(2013山东高考山东高考)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，中，M M为不等式组为不等式组 所表示的区域上一动点，则所表示的区域上一动点，则|OM|OM|的最小值为的最小值为_._.【解题视点】【解题视点】(1)(1)根据构成的平面区域为直角三角形来求解根据构成的平面区域为直角三角形来求解.(2)(2)作出不等式组表示的平面区域作出不等式组表示的平面区域,利用区域内的点与原点的距利用区域内的点与原点的距离及数形结合可求离及数形结合可求|OM|OM|的最小值的最小值.【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选C.C.由由y=2xy=2x与与kx-y+1=0kx-y+1=0垂直垂直,则则k=-,k=-,三角三角形的三个顶点为形的三个顶点为(0,0),(0,1),(0,0),(0,1),面积为面积为(2)(2)作出可行域如图作出可行域如图易知过原点作直线易知过原点作直线x+yx+y2=02=0的垂线，的垂线，即为即为|OM|OM|的最小值的最小值,|OM|OM|minmin=答案：答案：【规律方法】【规律方法】平面区域问题的解题思路平面区域问题的解题思路(1)(1)求平面区域的面积求平面区域的面积:首先画出不等式组表示的平面区域首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出若不能直接画出,应利用应利用题目的已知条件转化为不等式组问题题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域从而再作出平面区域;对平面区域进行分析对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高若为三角形应确定底与高,若为规则的若为规则的四边形四边形(如平行四边形或梯形如平行四边形或梯形),),可利用面积公式直接求解可利用面积公式直接求解.若为若为不规则四边形不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即可可分割成几个三角形分别求解再求和即可.(2)(2)利用几何意义求解的平面区域问题利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形也应作出平面图形,利利用数形结合的方法去求解用数形结合的方法去求解.【变式训练】【变式训练】(2014(2014温州模拟温州模拟)已知不等式组已知不等式组 表示的平面区域的面积是表示的平面区域的面积是 ,则则a a等于等于()A.A.B.3B.3C.C.D.2D.2【解析】【解析】选选A.A.画出平面区域画出平面区域,可知该区域是一个三角形可知该区域是一个三角形,其面积其面积等于等于 所以所以 解方程组解方程组 得得所以所以 解得解得a=,a=,选选A.A.【加固训练】【加固训练】1.1.若若M M为不等式组为不等式组 表示的平面区域表示的平面区域,则当则当a a从从-2-2连续连续变化到变化到1 1时时,动直线动直线x+y=ax+y=a扫过扫过M M中的那部分区域的面积为中的那部分区域的面积为()A.A.B.1B.1C.C.D.2D.2【解析】【解析】选选C.C.根据题意作图如图所示根据题意作图如图所示.图中阴影部分为所求的区域图中阴影部分为所求的区域,设其面积为设其面积为S,S=SS,S=SAODAOD-S-SABCABC=22-=22-1 =.1 =.2.(20122.(2012福建高考福建高考)若直线若直线y=2xy=2x上存在点上存在点(x,y)(x,y)满足约束条件满足约束条件 则实数则实数m m的最大值为的最大值为()A.-1 B.1 A.-1 B.1 C.D.2 C.D.2【解析】【解析】选选B.B.如图如图,当当y=2xy=2x经过且只经过经过且只经过x+y-3=0 x+y-3=0和和x=mx=m的交点时的交点时,m,m取到最大值取到最大值,此此时点时点(m,2m)(m,2m)在直线在直线x+y-3=0 x+y-3=0上上,则则m=1.m=1.3.3.若不等式组若不等式组 表示的平面区域为表示的平面区域为M,M,当抛物线当抛物线y y2 2=2px(p0)2px(p0)与平面区域与平面区域M M有公共点时有公共点时,实数实数p p的取值范围是的取值范围是()A.(0,2 B.A.(0,2 B.C.D.C.D.【解析】【解析】选选D.D.作出平面区域作出平面区域(如图如图),),可以求得可以求得A(1,2),B(2,1),A(1,2),B(2,1),代入抛物线方程可得代入抛物线方程可得p=2,p=,p=2,p=,所以所以考点考点2 2 线性性规划的相关划的相关问题【考情】【考情】线性规划问题以其独特的表达形式成为不等式部分的线性规划问题以其独特的表达形式成为不等式部分的重要内容重要内容,线性规划中线性规划中,通过最优解求参数的值或范围问题是高通过最优解求参数的值或范围问题是高考命题的亮点与热点考命题的亮点与热点,作为不等式的重要组成部分作为不等式的重要组成部分,高考中常以高考中常以选择题、填空题的形式出现选择题、填空题的形式出现,解答题偶尔也会考查解答题偶尔也会考查.高频考点高频考点通关通关【典例【典例2 2】(1)(2013(1)(2013新课标全国卷新课标全国卷)设设x,yx,y满足约束条件满足约束条件 则则z=2x-3yz=2x-3y的最小值是的最小值是()()A.-7 B.-6 C.-5 D.-3A.-7 B.-6 C.-5 D.-3(2)(2013(2)(2013大纲版全国卷大纲版全国卷)记不等式组记不等式组 所表示的所表示的平面区域为平面区域为D.D.若直线若直线y=a(x+1)y=a(x+1)与与D D有公共点，则有公共点，则a a的取值范围是的取值范围是_._.【解题视点】【解题视点】(1)(1)作出可行域找到取最优解的点作出可行域找到取最优解的点,联立方程得交联立方程得交点代入可求点代入可求.(2)(2)先确定可行域先确定可行域,再根据该直线过定点再根据该直线过定点(-1,0),(-1,0),然后把该直线然后把该直线绕绕(-1,0)(-1,0)旋转旋转,根据倾斜角和斜率的关系求解根据倾斜角和斜率的关系求解.【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选B.B.由由z=2x-3yz=2x-3y得得3y=2x-z3y=2x-z，即即作出可行域如图作出可行域如图,平移直线平移直线 由图象可知当直由图象可知当直线线 经过点经过点B B时，直线时，直线 的截距最大，此时的截距最大，此时z z取得最小取得最小值，由值，由即即B(3B(3，4),4),代入直线代入直线z=2x-3y,z=2x-3y,得得z=23-34=-6z=23-34=-6，选，选B.B.(2)(2)画出可行域如图所示，画出可行域如图所示，当直线当直线y=a(x+1)y=a(x+1)过点过点A(0,4)A(0,4)时，时，a a取得取得最大值为最大值为4 4，当直线，当直线y=a(x+1)y=a(x+1)过点过点B(1,1)B(1,1)时，时，a a取得最小值为取得最小值为 所以所以a a的的取值范围为取值范围为答案答案:【通关【通关锦囊】囊】重点题型重点题型破解策略破解策略利用可行域求最值利用可行域求最值首先利用约束条件作出可行域首先利用约束条件作出可行域,根据目根据目标函数找到取最优解时的点标函数找到取最优解时的点,解得点的解得点的坐标代入目标函数求解即可坐标代入目标函数求解即可利用可行域及最优利用可行域及最优解求参数的值或范解求参数的值或范围围先利用约束条件作出可行域先利用约束条件作出可行域,通过分析通过分析可行域及目标函数确定取最优解的点可行域及目标函数确定取最优解的点,再利用已知可解参数的值或范围再利用已知可解参数的值或范围利用可行域求与几利用可行域求与几何意义有关的题目何意义有关的题目画出可行域画出可行域,分析所求问题的几何意义分析所求问题的几何意义是斜率问题还是距离问题是斜率问题还是距离问题,依据几何意依据几何意义可解义可解【特别提醒】【特别提醒】对求线性规划中含有参数的问题对求线性规划中含有参数的问题,有时需要对参有时需要对参数进行分类讨论解决数进行分类讨论解决.【关注题型】【关注题型】与其他知识与其他知识交汇考查问题交汇考查问题搞清是与向量、解析几何、三角或函数等搞清是与向量、解析几何、三角或函数等哪类知识问题相结合哪类知识问题相结合,从而利用相关知识从而利用相关知识转化求解转化求解 【通关【通关题组】1.(20131.(2013福建高考福建高考)若变量若变量x,yx,y满足约束条件满足约束条件 则则z=2x+yz=2x+y的最大值和最小值分别为的最大值和最小值分别为()A.4A.4和和3 3B.4B.4和和2 2C.3C.3和和2 2D.2D.2和和0 0【解析】【解析】选选B.B.可行域如图所示可行域如图所示,可行域的三个端点为可行域的三个端点为(1,0),(1,0),(2,0),(1,1),(2,0),(1,1),当直线当直线z=2x+yz=2x+y分别过点分别过点(1,0),(2,0)(1,0),(2,0)时时,z,z取得最小取得最小值与最大值值与最大值,分别代入可得分别代入可得z zminmin=21+0=2,z=21+0=2,zmaxmax=22+0=4.=22+0=4.2.(20132.(2013四川高考四川高考)若变量若变量x,yx,y满足约束条件满足约束条件且且z=5yz=5yx x的最大值为的最大值为a a，最小值为，最小值为b b，则，则a ab b的值是的值是()()A.48 B.30 C.24 D.16A.48 B.30 C.24 D.16【解析】【解析】选选C.C.作出可行域如图，结合作出可行域如图，结合图形可知，当图形可知，当 经过点经过点A(4,4)A(4,4)时，时，z z取最大值取最大值1616，当，当 经过经过点点B(8,0)B(8,0)时，时，z z取最小值为取最小值为-8-8，所以，所以a ab=24b=24，故选，故选C.C.3.(20133.(2013北京高考北京高考)设设D D为不等式组为不等式组 表示的平面区表示的平面区域域,区域区域D D上的点与点上的点与点(1,0)(1,0)之间的距离的最小值为之间的距离的最小值为.【解析】【解析】不等式组表示的平面区域如图所示不等式组表示的平面区域如图所示,可得点可得点(1,0)(1,0)到区到区域域D D上点的最小距离即是点上点的最小距离即是点(1,0)(1,0)到直线到直线2x-y=02x-y=0的距离的距离,答案答案:4.(20144.(2014绍兴模拟绍兴模拟)设设x,yx,y满足约束条件满足约束条件 若目标若目标函数函数z=abx+y(a0,b0)z=abx+y(a0,b0)的最大值为的最大值为8,8,则则a+ba+b的最小值为的最小值为 .【解析】【解析】如图所示如图所示,线性约束条件表示的区域为图中的阴影部线性约束条件表示的区域为图中的阴影部分分,A(0,2),C(1,4),A(0,2),C(1,4),当直线当直线l:y=-abx+z:y=-abx+z过点过点C C时时,z,z取最取最大值大值8,8,即即8=ab+4,8=ab+4,所以所以ab=4.ab=4.又因为又因为a0,b0,a0,b0,所以所以a+b =4.a+b =4.答案答案:4 4【加固训练】【加固训练】1.(20131.(2013安徽高考安徽高考)在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,O,O是坐标原点是坐标原点,两定两定点点A,BA,B满足满足 则点集则点集 所表示的区域的面积是所表示的区域的面积是()【解析】【解析】选选D.D.因为因为所以所以又又|+|1|+|1，故故|1-|1|1-|1-11,-11,同理可推得同理可推得-11,-11,满足满足 的点所在的区域如图所示的点所在的区域如图所示,其中其中AOBAOB是正三角形是正三角形,其面积为其面积为S S1 1=故所求区域的面积为故所求区域的面积为S=4SS=4S1 1=4 .=4 .2.(20132.(2013江苏高考江苏高考)抛物线抛物线y=xy=x2 2在在x=1x=1处的切线与两坐标轴围成处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为的三角形区域为D(D(包含三角形内部和边界包含三角形内部和边界).).若点若点P(x,y)P(x,y)是区域是区域D D内的任意一点内的任意一点,则则x+2yx+2y的取值范围是的取值范围是.【解析】【解析】由由y=2xy=2x得抛物线得抛物线y=xy=x2 2在在x=1x=1处的切线方程为处的切线方程为y-1=2(x-y-1=2(x-1)1)即即y=2x-1,y=2x-1,即得可行域如图中阴影即得可行域如图中阴影.目标函数目标函数z=x+2yz=x+2y平移目标函数平移目标函数,经过点经过点A A时时x+2yx+2y最小最小,经过点经过点B B时时x+2yx+2y最大最大,故故x+2yx+2y的取值范围是的取值范围是答案答案:考点考点3 3 线性规划的实际应用线性规划的实际应用【典例【典例3 3】(1)(2013(1)(2013湖北高考湖北高考)某旅行社租用某旅行社租用A,BA,B两种型号的两种型号的客客车安排安排900900名客人旅行名客人旅行,A,B,A,B两种两种车辆的的载客量分客量分别为3636人和人和6060人人,租金分租金分别为16001600元元/辆和和24002400元元/辆,旅行社要求租旅行社要求租车总数数不超不超过2121辆,且且B B型型车不多于不多于A A型型车7 7辆.则租金最少租金最少为()A.31200A.31200元元B.36000B.36000元元C.36800C.36800元元D.38400D.38400元元(2)(2)某加工厂用某原料由甲车间加工出某加工厂用某原料由甲车间加工出A A产品产品,由乙车间加工出由乙车间加工出B B产品产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时甲车间加工一箱原料需耗费工时1010小时可加工出小时可加工出7 7千克千克A A产品产品,每千克每千克A A产品获利产品获利4040元元.乙车间加工一箱原料需耗费工时乙车间加工一箱原料需耗费工时6 6小时可加工出小时可加工出4 4千克千克B B产品产品,每千克每千克B B产品获利产品获利5050元元.甲、乙两车甲、乙两车间每天共能完成至多间每天共能完成至多7070箱原料的加工箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过工时总和不得超过480480小时小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为产计划为()A.A.甲车间加工原料甲车间加工原料1010箱箱,乙车间加工原料乙车间加工原料6060箱箱B.B.甲车间加工原料甲车间加工原料1515箱箱,乙车间加工原料乙车间加工原料5555箱箱C.C.甲车间加工原料甲车间加工原料1818箱箱,乙车间加工原料乙车间加工原料5050箱箱D.D.甲车间加工原料甲车间加工原料4040箱箱,乙车间加工原料乙车间加工原料3030箱箱【解题视点】【解题视点】(1)(1)利用题意设出利用题意设出A,BA,B两种型号的车辆数量两种型号的车辆数量,列出列出不等式组及目标函数不等式组及目标函数,利用线性规划求解利用线性规划求解.(2)(2)设出两车间加工原料数量及总利润设出两车间加工原料数量及总利润,列出不等式组及目标函列出不等式组及目标函数数,利用线性规划求解利用线性规划求解.【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选C.C.设设A A型、型、B B型车辆的数量分别为型车辆的数量分别为x x，y y辆，辆，则相应的租金为则相应的租金为1 600 x+2 400y1 600 x+2 400y，依题意，依题意，x x，y y还需满足：还需满足：x+y21x+y21，yx+7yx+7，36x+60y90036x+60y900，于是问题等价于求满足约，于是问题等价于求满足约束条件束条件且使目标函数且使目标函数z=1 600 x+2 400yz=1 600 x+2 400y达到最小的达到最小的x x，y,y,作可行域如图所示的阴影部分中的整点作可行域如图所示的阴影部分中的整点,可行域的三个顶点坐可行域的三个顶点坐标分别为标分别为P(5P(5，12)12)，Q(7Q(7，14)14)，R(15R(15，6)6)，由图可知，当直线由图可知，当直线z=1 600 x+2 400yz=1 600 x+2 400y经过可行域的点经过可行域的点P P时，直线时，直线z=1 600 x+z=1 600 x+2 400y2 400y在在y y轴上的截距轴上的截距 最小，最小，即即z z取得最小值取得最小值.故应配备故应配备A A型车型车5 5辆，辆，B B型车型车1212辆辆.z zminmin=1 600 x+2 400y=1 6005+2 40012=36 800(=1 600 x+2 400y=1 6005+2 40012=36 800(元元).).(2)(2)选选B.B.设甲车间加工设甲车间加工x x箱原料箱原料,乙车间加工乙车间加工y y箱原料箱原料,总获利为总获利为z,z,则则目标函数目标函数z=280 x+200y,z=280 x+200y,画出可行域如图所示画出可行域如图所示(阴影部分整数点阴影部分整数点),),联立联立平移平移7x+5y=0,7x+5y=0,知知z z在点在点A(15,55)A(15,55)时取最大值时取最大值.【易错警示】【易错警示】关注实际问题的特殊性关注实际问题的特殊性本例本例(1),(1),约束条件要全面约束条件要全面,不能漏掉某些条件不能漏掉某些条件,本例本例(2)(2)中是最中是最优整数解优整数解,解题时忽略这一点解题时忽略这一点,易造成误解易造成误解.【规律方法】【规律方法】解线性规划应用题的步骤解线性规划应用题的步骤(1)(1)转化转化:设元设元,写出约束条件和目标函数写出约束条件和目标函数,从而将实际问题转化从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题为数学上的线性规划问题.(2)(2)求解求解:解这个纯数学的线性规划问题解这个纯数学的线性规划问题.求解过程求解过程:作图作图:画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线平面直线系中的任意一条直线l.平移平移:将将l平行移动平行移动,以确定最优解所对应的点的位置以确定最优解所对应的点的位置.求值求值:解有关方程组求出最优解的坐标解有关方程组求出最优解的坐标,再代入目标函数再代入目标函数,求求出目标函数的最值出目标函数的最值.(3)(3)作答作答:就应用题提出的问题作出回答就应用题提出的问题作出回答.提醒提醒:线性规划的实际应用问题线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意需要通过审题理解题意,找出找出各量之间的关系各量之间的关系,最好是列成表格最好是列成表格,找出线性约束条件找出线性约束条件,写出所写出所研究的目标函数研究的目标函数,转化为简单的线性规划问题转化为简单的线性规划问题.利用线性规划解实际问题的一般思路利用线性规划解实际问题的一般思路(1)(1)认真分析并掌握实际问题的背景认真分析并掌握实际问题的背景,收集有关数据收集有关数据.(2)(2)将影响问题的各项主要因素作为决策量将影响问题的各项主要因素作为决策量,设为未知数设为未知数.(3)(3)根据问题特点根据问题特点,写出约束条件写出约束条件.(4)(4)根据问题特点根据问题特点,写出目标函数写出目标函数,并求出最优解或其他要求的并求出最优解或其他要求的解解.【变式训练】【变式训练】某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一已知一个单位的午餐含个单位的午餐含1212个单位的碳水化合物个单位的碳水化合物,6,6个单位的蛋白质和个单位的蛋白质和6 6个单位的维生素个单位的维生素C;C;一个单位的晚餐含一个单位的晚餐含8 8个单位的碳水化合物个单位的碳水化合物,6,6个单位的蛋白质和个单位的蛋白质和1010个单位的维生素个单位的维生素C.C.另外另外,该儿童这两餐需该儿童这两餐需要的营养中至少含要的营养中至少含6464个单位的碳水化合物个单位的碳水化合物,42,42个单位的蛋白质个单位的蛋白质和和5454个单位的维生素个单位的维生素C.C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是是2.52.5元和元和4 4元元,那么要满足上述的营养要求那么要满足上述的营养要求,并且花费最少并且花费最少,应应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?(?()A.4,4 B.4,3 A.4,4 B.4,3 C.3,4 D.3,3 C.3,4 D.3,3【解析】【解析】选选B.B.设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x x个单个单位和位和y y个单位个单位,所花的费用为所花的费用为z z元元,则依题意得则依题意得z=2.5x+4y,z=2.5x+4y,且且x,yx,y满足满足作出线性约束条件所表示的可行域作出线性约束条件所表示的可行域,如图中阴影部分的整数点如图中阴影部分的整数点,让目标函数表示的直线让目标函数表示的直线2.5x+4y=z2.5x+4y=z在可行域上平移在可行域上平移,由此可知由此可知z=2.5x+4yz=2.5x+4y在在B(4,3)B(4,3)处取得最小值处取得最小值.因此因此,应当为该儿童预订应当为该儿童预订4 4个单位的午餐和个单位的午餐和3 3个单位的晚餐个单位的晚餐,就可就可满足要求满足要求.【加固训练】【加固训练】1.1.某企业生产甲、乙两种产品某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用已知生产每吨甲产品要用A A原料原料3 3吨吨,B,B原料原料2 2吨吨;生产每吨乙产品要用生产每吨乙产品要用A A原料原料1 1吨吨,B,B原料原料3 3吨吨.甲产甲产品每吨利润为品每吨利润为5 5万元万元,乙产品每吨利润为乙产品每吨利润为3 3万元万元,该企业在一个生该企业在一个生产周期内消耗产周期内消耗A A原料不超过原料不超过1313吨吨,B,B原料不超过原料不超过1818吨吨,那么该企业那么该企业的最大利润为的最大利润为.【解析】【解析】设生产甲产品设生产甲产品x x吨吨,乙产品乙产品y y吨吨,利润为利润为z z万元万元,由题意可由题意可得得 目标函数为目标函数为z=5x+3y,z=5x+3y,作出如图所示的可行域作出如图所示的可行域(阴影部分阴影部分).).当直线当直线5x+3y=z5x+3y=z经过经过A(3,4)A(3,4)时时,z,z取得最大值取得最大值,所以所以z zmaxmax=53+34=27(=53+34=27(万元万元).).答案答案:2727万元万元2.(20142.(2014徐州模拟徐州模拟)某工厂生产甲、乙两种产品某工厂生产甲、乙两种产品,其产量分别其产量分别为为4545个与个与5555个个,所用原料为所用原料为A,BA,B两种规格金属板两种规格金属板,每张面积分别每张面积分别为为2m2m2 2与与3m3m2 2.用用A A种规格金属板可造甲种产品种规格金属板可造甲种产品3 3个个,乙种产品乙种产品5 5个个;用用B B种规格金属板可造甲、乙两种产品各种规格金属板可造甲、乙两种产品各6 6个个.问问A,BA,B两种规格金两种规格金属板各取多少张才能完成计划属板各取多少张才能完成计划,并使总的用料面积最省并使总的用料面积最省?【解析】【解析】设设A,BA,B两种金属板各取两种金属板各取x x张张,y,y张张,用料面积为用料面积为z,z,则约束条件为则约束条件为 目标函数目标函数z=2x+3y.z=2x+3y.作出不等式组所表示的平面区域作出不等式组所表示的平面区域,即可行域即可行域,如图所示如图所示.z=2x+3yz=2x+3y变成变成 得斜率为得斜率为-,-,在在y y轴上截距为轴上截距为 ,且且随随z z变化的一族平行直线变化的一族平行直线.当直线当直线z=2x+3yz=2x+3y过可行域上点过可行域上点M M时时,截距最小截距最小,z,z最小最小,解方程组解方程组 得得M M点的坐标为点的坐标为(5,5).(5,5).此时此时z zminmin=25+35=25(m=25+35=25(m2 2).).答答:两种金属板各取两种金属板各取5 5张时张时,用料面积最省用料面积最省.【易错误区【易错误区1414】含参数的线性规划问题的易错点含参数的线性规划问题的易错点 【典例】【典例】(2013(2013浙江高考浙江高考)设设z=kx+yz=kx+y，其中实数，其中实数x,yx,y满足满足 若若z z的最大值为的最大值为1212，则实数，则实数k=_.k=_.【解析】【解析】画出可行域如图所示画出可行域如图所示.其中其中A(2A(2，3)3)，B(2B(2，0)0)，C(4C(4，4).4).当当k=0k=0时，显然不成立；时，显然不成立；当当k0k0时时,最大值在最大值在C C处取得，此时处取得，此时12=4k+412=4k+4，得，得k=2k=2；当当k0k m 时，由图形可知，目标函数在点时，由图形可知，目标函数在点A(2,0)A(2,0)处取得最小处取得最小值，因此值，因此-2=0-2m-2=0-2m，解得，解得m=1.m=1.(2)(2)当当0m 0m 时，由图形可知，目标函数在点时，由图形可知，目标函数在点D(0,-1)D(0,-1)取得最取得最小值，因此小值，因此-2=-1-m0,m-2=-1-m0,m无解无解.(3)(3)当当m-m-时，由图形可知，目标函数在点时，由图形可知，目标函数在点C(-2,0)C(-2,0)处取得最处取得最小值，因此小值，因此-2=0+2m-2=0+2m，解得，解得m=-1.m=-1.(4)(4)当当-m0-m0时，由图形可知，目标函数在点时，由图形可知，目标函数在点D(0,-1)D(0,-1)取得取得最小值，因此最小值，因此-2=-1-m0-2=-1-m0，m m无解无解.综上，实数综上，实数m m的值等于的值等于1 1或或-1.-1.答案答案:1 1或或-1-1
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