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专题五立体几何问题中的巧妙解法专题五立体几何问题中的巧妙解法立体几何是高中数学的主要知识板块之一立体几何是高中数学的主要知识板块之一,在高考中占有重要位置在高考中占有重要位置.解解立体几何试题的基本能力是空间想象能力、推理论证能力和运算求解立体几何试题的基本能力是空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力能力,基本的解题方法是综合法的逻辑推理基本的解题方法是综合法的逻辑推理,在这个基本方法下在这个基本方法下,还有还有一些技巧性方法一些技巧性方法,下面做简单介绍下面做简单介绍.方法一方法一模型法模型法思路点拨思路点拨:根据三视图可以判断该空间几何体都是正方体一部分根据三视图可以判断该空间几何体都是正方体一部分,先画出正方体先画出正方体,再根据三视图确定空间几何体再根据三视图确定空间几何体.方法总结方法总结 空间几何体均可以看作一个更大范围的几何体的一个部分空间几何体均可以看作一个更大范围的几何体的一个部分,根据题目的实际情况根据题目的实际情况,判断其可能是哪个几何体的一个部分判断其可能是哪个几何体的一个部分,利用该几利用该几何体为模型何体为模型,可以较为方便地判断出三视图表达的空间几何体可以较为方便地判断出三视图表达的空间几何体.类型类型2.2.模型法判断空间位置关系模型法判断空间位置关系【例【例2 2】(2015(2015龙岩高三龙岩高三5 5月质检月质检)已知已知l,ml,m是两条不同的直线是两条不同的直线,是两是两个不同的平面个不同的平面,下列命题为真命题的序号是下列命题为真命题的序号是()若若l l,m,m,l,m,l,m,则则;若若l l,l,=m,l,=m,则则lm;lm;若若l,l,则则l;l;若若l,lm,l,lm,则则m.m.(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)思路点拨思路点拨:长方体中存在各种平行、垂直关系长方体中存在各种平行、垂直关系,构造长方体模型构造长方体模型,结合选项结合选项,考虑线面位置的各种可能作出判断考虑线面位置的各种可能作出判断.解析解析:构造长方体模型构造长方体模型.命题命题,如图如图(1),(1),显然不正确显然不正确,排除选项排除选项A,B,A,B,答案答案只能是选项只能是选项C,D,C,D,根据选项根据选项C,DC,D可知可知一定正确一定正确,只要判断只要判断是否正确即可是否正确即可作出结论作出结论,对于命题对于命题,如图如图(2),(2),有直线有直线l l在平面在平面内的可能内的可能,所以命题所以命题不正确不正确.综上可知正确选项为综上可知正确选项为C.C.故选故选C.C.方法总结方法总结 长方体、三棱锥等模型包含了空间线面位置关系的所有可长方体、三棱锥等模型包含了空间线面位置关系的所有可能能,在进行空间线面位置关系的分析判断时在进行空间线面位置关系的分析判断时,借助于几何模型能起到非借助于几何模型能起到非常直观的作用常直观的作用,提高解题的准确率提高解题的准确率.方法二方法二展开法展开法思路点拨思路点拨:展开侧面展开侧面,把折线长度之和的最小值转化为平面上两点间的距离把折线长度之和的最小值转化为平面上两点间的距离.方法总结方法总结 涉及空间几何体表面上折线、曲线长度之和的最值问题时涉及空间几何体表面上折线、曲线长度之和的最值问题时,把空间几何体的表面展开把空间几何体的表面展开,把折线、曲线转化为直线把折线、曲线转化为直线.方法三方法三割补法割补法思路点拨思路点拨:第第(1)(1)小题几何体是由圆柱截割得来小题几何体是由圆柱截割得来,把其补充为圆柱把其补充为圆柱,利用补充前后利用补充前后的体积关系得之的体积关系得之;思路点拨思路点拨:第第(2)(2)小题利用正方体模型得出空间几何体小题利用正方体模型得出空间几何体,利用分割方法求解利用分割方法求解.方法总结方法总结 割补的目的是实现由难到易的转化割补的目的是实现由难到易的转化,是化归转化思想在空是化归转化思想在空间几何体体积问题中的体现间几何体体积问题中的体现.思路点拨思路点拨:根据几何体的形状补形根据几何体的形状补形,使之补形后的几何体与已知几何体具有相同的使之补形后的几何体与已知几何体具有相同的外接球外接球.思路点拨思路点拨:根据几何体的形状补形根据几何体的形状补形,使之补形后的几何体与已知几何体具有相同的使之补形后的几何体与已知几何体具有相同的外接球外接球.方法总结方法总结 当多面体是长方体的一个部分时当多面体是长方体的一个部分时,其外接球与长方体的外其外接球与长方体的外接球必然存在联系接球必然存在联系(如具有相同的外接球如具有相同的外接球),),补形的目的就是找到这种补形的目的就是找到这种联系联系.补形法是求解球与多面体构成的组合体的方法之一补形法是求解球与多面体构成的组合体的方法之一.方法四方法四平行线法平行线法思路点拨思路点拨:在一条直线上找点在一条直线上找点,使得过该点的一条直线与另一条直线平行使得过该点的一条直线与另一条直线平行.方法总结方法总结 两异面直线所成角的最基本求法是根据定义两异面直线所成角的最基本求法是根据定义,把其化为两把其化为两相交直线所成的角相交直线所成的角,平行线法是实现上述转化的基本方法平行线法是实现上述转化的基本方法.思路点拨思路点拨:找平行线找平行线,得出线面平行的条件得出线面平行的条件.证明证明:法一法一取取OBOB中点中点E,E,连接连接ME,NE,ME,NE,如图如图(1),(1),因为因为MEAB,ABCD,MEAB,ABCD,所以所以MECD,MECD,又因为又因为NEOC,NEOC,所以平面所以平面MNEMNE平面平面OCD,OCD,所以所以MNMN平面平面OCD.OCD.方法总结方法总结 线面平行是平行关系的重点线面平行是平行关系的重点,但线线平行是解决平行关系但线线平行是解决平行关系的必经之路的必经之路,无论是线面平行、面面平行都离不开线线平行无论是线面平行、面面平行都离不开线线平行,平行线法平行线法是证明空间平行关系的基本方法是证明空间平行关系的基本方法.方法五方法五线面垂直法线面垂直法【例【例8 8】若四面体的两组对棱互相垂直若四面体的两组对棱互相垂直,则另一组对棱也互相垂直则另一组对棱也互相垂直.思路点拨思路点拨:把线线垂直化为线面垂直把线线垂直化为线面垂直,再通过线面垂直得出线线垂直再通过线面垂直得出线线垂直.解解:已知已知:四面体四面体ABCD,ABCD,BCDA.ABCD,ABCD,BCDA.求证求证:ACBD.:ACBD.方法总结方法总结 在垂直关系的证明中在垂直关系的证明中,线面垂直可以是最终目标线面垂直可以是最终目标,但大多数但大多数情况下线面垂直是证明的一个过程情况下线面垂直是证明的一个过程(即使在最终目标是线面垂直时也即使在最终目标是线面垂直时也有这种可能有这种可能),),通过证明线面垂直得线线垂直、面面垂直通过证明线面垂直得线线垂直、面面垂直,再通过得出再通过得出的垂直关系的垂直关系,得出线面垂直得出线面垂直,进一步得出其它的垂直关系进一步得出其它的垂直关系.在垂直关系在垂直关系的证明中线面垂直是核心的证明中线面垂直是核心,把线面垂直当作一种证明方法就是基于这把线面垂直当作一种证明方法就是基于这种情况种情况.思路点拨思路点拨:根据线面角的定义根据线面角的定义,利用线面垂直的方法找出所求的线面角利用线面垂直的方法找出所求的线面角.方法总结方法总结 直线与平面所成的角是平面的斜线与其在该平面内射影所直线与平面所成的角是平面的斜线与其在该平面内射影所成的角成的角,作线面角时离不开线面垂直作线面角时离不开线面垂直.类型类型3.3.线面垂直法求二面角线面垂直法求二面角【例【例1010】已知点已知点E,FE,F分别在正方体分别在正方体ABCDAABCDA1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱的棱BBBB1 1,CC,CC1 1上上,且且B B1 1E=2EB,E=2EB,CF=2FCCF=2FC1 1,则平面则平面AEFAEF与平面与平面ABCABC所成的二面角的正切值等于所成的二面角的正切值等于.思路点拨思路点拨:两个平面角两个平面角AEFAEF与与ABCABC有一个公共点有一个公共点A,A,只要再找到这两个平面的另只要再找到这两个平面的另一个公共点即可作出两个平面的交线一个公共点即可作出两个平面的交线,然后根据正方体中的垂直关系不难作然后根据正方体中的垂直关系不难作出二面角的平面角出二面角的平面角,具体计算即可具体计算即可.方法总结方法总结 二面角是高考中的一个考查重点二面角是高考中的一个考查重点,一般偏重使用空间向量一般偏重使用空间向量的方法求解的方法求解,实际上综合几何法求二面角更为简洁明了实际上综合几何法求二面角更为简洁明了,其关键是作出其关键是作出二面角的平面角二面角的平面角,基本方法基本方法(也是应用最广泛的方法也是应用最广泛的方法)是在二面角的一是在二面角的一个半平面内找一点个半平面内找一点A A作另一个半平面的垂线作另一个半平面的垂线AB,BAB,B为垂足为垂足,再过垂足再过垂足B B作作二面角棱的垂线二面角棱的垂线BC,BC,垂足为垂足为C,C,则可得二面角的棱垂直平面则可得二面角的棱垂直平面ABC,ABC,从而从而ACAC垂直于二面角的棱垂直于二面角的棱,即即ACBACB即为二面角的平面角即为二面角的平面角.这种方法作出的二这种方法作出的二面角的平面角在一个直角三角形中面角的平面角在一个直角三角形中,角的求解非常简单角的求解非常简单.思路点拨思路点拨:找出或作出点找出或作出点D D到平面到平面ABCABC的距离的距离DE,DE,根据面面垂直的性质不难根据面面垂直的性质不难证明证明ACAC平面平面,进而平面进而平面平面平面ABC,ABC,所以过所以过D D作作DEBCDEBC于于E,E,则则DEDE就是就是要求的距离要求的距离.方法六方法六球心位置分析法球心位置分析法(解球的问题解球的问题)思路点拨思路点拨:(1)(1)该四面体的外接球的球心该四面体的外接球的球心O O必在过必在过ABCABC外接圆的圆心外接圆的圆心OO且且垂直于平面垂直于平面ABCABC的直线上的直线上,且球心到四面体各顶点的距离相等且球心到四面体各顶点的距离相等,据此得出球据此得出球的半径满足的关系式的半径满足的关系式;答案答案:(1)D(1)D思路点拨思路点拨:(2)(2)大小球的球心以及小球与大球的切点必共线大小球的球心以及小球与大球的切点必共线,大球的半径等大球的半径等于大球的球心与小球的球心的距离加上小球的半径于大球的球心与小球的球心的距离加上小球的半径;(3)(3)棱长为棱长为a a的正四面体的外接球和内切球的半径分别是的正四面体的外接球和内切球的半径分别是、.思路点拨思路点拨:(3)(3)根据对称性根据对称性,正四面体的外接球和内切球的球心必定相同正四面体的外接球和内切球的球心必定相同,且一定为正四面体且一定为正四面体四条高的交点四条高的交点,球心到一个顶点的距离为其外接球的半径、球心到一个面的中心的距离为内球心到一个顶点的距离为其外接球的半径、球心到一个面的中心的距离为内切球的半径切球的半径,两球的半径之和等于正四面体的高两球的半径之和等于正四面体的高.
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