高数1概念性质课件

无穷级数无穷级数0=0+0+0+=(1 1)+(1 1)+=1 1+1 1+=1+(1+1)+(1+1)+=1例例1例例2（芝诺悖论芝诺悖论）一个人和乌龟赛跑，乌龟在人前面一个人和乌龟赛跑，乌龟在人前面1000米开始，并规定人的速度是乌龟的米开始，并规定人的速度是乌龟的10倍。倍。人跑了人跑了1000米时，乌龟跑了米时，乌龟跑了100米；人再跑米；人再跑100米时，米时，乌龟跑了乌龟跑了10米米;以此类推以此类推.结论是：人永远追不上乌龟结论是：人永远追不上乌龟.0=0+0+0+=(11)+(11)+“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭”，解 设龟速V0，则人速10V0，人跑1000米用时100/V0，这时龟走了100米，人跑100米用时10/V0，这时龟走了10米，这10米人又用时10/V0，。总之，人追上龟用时：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，解 设龟速V0，则级数级数 数列极限的另一种表现形式；数列极限的另一种表现形式；是表示函数，研究函数的性质以及进行数值是表示函数，研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具；计算的一种工具；傅氏级数是通信科学中重要工具。傅氏级数是通信科学中重要工具。内容内容 数项级数，函数项级数，将函数展开成幂级数项级数，函数项级数，将函数展开成幂级数与三角级数的问题。数与三角级数的问题。级数一、问题的提出一、问题的提出1.1.计算圆的面积计算圆的面积正六边形的面积正六边形的面积正十二边形面积正十二边形面积正正 形的面积形的面积一、问题的提出1.计算圆的面积正六边形的面积正十二边形面积二、级数的概念二、级数的概念1.1.级数的定义级数的定义:(常数项常数项)无穷级数无穷级数一般项一般项部分和数列部分和数列 s1 ,s2 ,sn ,级数的级数的部分和部分和问题：这样的无穷和是如何相加的？结果又怎样？项项二、级数的概念1.级数的定义:(常数项)无穷级数一般项部分2.2.级数的收敛与发散级数的收敛与发散:2.级数的收敛与发散:余项余项级数收敛级数收敛的 N 定义：余项级数收敛的 N 定义：例例 写出下列级数写出下列级数的通项，并以的通项，并以 的形式表示。的形式表示。解解 将上述级数写成更有规律的形式将上述级数写成更有规律的形式故原级数可写成故原级数可写成一般项为一般项为例 写出下列级数解 将上述级数写成更有规律的形式故解解解级数级数收敛收敛级数级数发散发散级数级数发散发散级数级数发散发散 综上综上级数收敛级数发散级数发散级数发散 综上解解解技巧技巧:利用“拆项相消拆项相消”求和技巧:利用“拆项相消”求和(2).(2).判别下列级数的敛散性:解解:所以级数发散;技巧技巧:利用“拆项相消拆项相消”求和(2).判别下列级数的敛散性:解:所以级数发散;技巧:利高数1概念性质课件三、基本性质三、基本性质注意注意：作为一种新的运算，级数是一个极限过程，所以应与有作为一种新的运算，级数是一个极限过程，所以应与有限和的运算性质有所区别限和的运算性质有所区别三、基本性质注意：作为一种新的运算，级数是一个极限过程结论结论:一般的，一般的，级数的每一项同乘一个不为零级数的每一项同乘一个不为零的常数的常数,敛散性不变敛散性不变.三、基本性质三、基本性质证证:令则这说明收敛,其和为 kS.结论:一般的，级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变结论结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减.证证:令则这说明级数也收敛,其和为结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.证:令则这说明级注释注释1 1 两个发散级数逐项逐项相加所得的新级数并不一 定发散,例如,与都发散,但是收敛的.2 然而一个收敛级数与一个发散级数逐项和所得的级数必是发散的 注释1 两个发散级数逐项相加所得的新级数并不一与都发散,但只证：只证：去掉级数的有限项不影响级数的敛散性去掉级数的有限项不影响级数的敛散性.即，去掉、增加或者改变前有限项所得级数与原级数有相同的敛散性(当然,在收敛时,其和数一般是不同的.)只证：去掉级数的有限项不影响级数的敛散性.即，去掉、增加或者证证:将级数的前 k 项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为极限状况相同,故新旧两级所得新级数只证：只证：去掉级数的有限项不影响级数的敛散性去掉级数的有限项不影响级数的敛散性.证:将级数的前 k 项去掉,的部分和为数敛散性相同.当证明证明即：收敛的级数在求和过程中满足结合律 设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列 为原级数部分和序列 的一个子序列,因此必有例如证明即：收敛的级数在求和过程中满足结合律 设收敛级数若按某一收敛级数去括号后敛散性不确定收敛级数去括号后敛散性不确定例如例如常用此方法判断级数发散性常用此方法判断级数发散性收敛，但原级数收敛，但原级数发散又如发散又如收敛，原级数收敛，原级数收敛收敛即：收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛即：收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但如果去括弧后所成的级数收敛，则原级数但如果去括弧后所成的级数收敛，则原级数（含有括号）收敛。（含有括号）收敛。性质性质4的另的另一种说法。一种说法。收敛级数去括号后敛散性不确定常用此方法判断级数发散性收敛0=0+0+0+=(1 1)+(1 1)+=1 1+1 1+=1+(1+1)+(1+1)+=1有限和的运算律不一定适用于无穷和。有限和的运算律不一定适用于无穷和。0=0+0+0+有限和的运算律不一定适用于无穷和。高数1概念性质课件四、收敛的必要条件证明证明级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:可见:若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0,则级数必发散则级数必发散.四、收敛的必要条件证明级数收敛的必要条件:可见:若级数的注意注意1.1.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零,则级数发散则级数发散;常用来判别级数常用来判别级数发散。发散。发散发散2.2.必要条件不充分必要条件不充分.注意1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;发散2.必假设调和级数收敛于S,则但矛盾!所以假设不真.假设调和级数收敛于S,则但矛盾!所以假设不真.高数1概念性质课件高数1概念性质课件五、小结常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念基本审敛法基本审敛法五、小结常数项级数的基本概念基本审敛法无穷级数收敛性举例：无穷级数收敛性举例：KochKoch雪花雪花.做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的称的产生边长为原边长的1/31/3的小正三角形如此的小正三角形如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形了面积有限而周长无限的图形“Koch“Koch雪花雪花”无穷级数收敛性举例：Koch雪花.做法：先给定一个正三角形，观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：依次类推依次类推播放播放观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推播放观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：依次类推依次类推观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推依次类推依次类推依次类推依次类推依次类推依次类推依次类推依次类推依次类推依次类推依次类推依次类推周长为周长为面积为面积为第第 次分叉：次分叉：周长为面积为第 次分叉：于是有于是有结论：雪花的周长是无界的，而面积有界结论：雪花的周长是无界的，而面积有界雪花的面积存在极限（收敛）雪花的面积存在极限（收敛）于是有结论：雪花的周长是无界的，而面积有界雪花的面积存在极