考研数学-1习题课课件

（一）函数的定义（一）函数的定义（二）极限的概念（二）极限的概念（三）连续的概念（三）连续的概念一、主要内容一、主要内容（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念一、主要内容1函函 数数的定义的定义反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数函函 数数的性质的性质单值与多值单值与多值奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性双曲函数与双曲函数与反双曲函数反双曲函数函 数反函数隐函数反函数与直接基本初等函数复合函数初等函21.1.函数概念函数概念因变量因变量自变量自变量定义定义 设数集设数集 ，则称映射，则称映射 为定义为定义D上的函数，上的函数，通常简记为通常简记为 D称为定义域称为定义域,记作记作 ,即即 .对每个对每个 ,按对应法则按对应法则 f ,总有唯一确定的值总有唯一确定的值y与之对与之对应应,这个值称为函数这个值称为函数f 在在x处的函数值处的函数值,记作记作f(x),即即y=f(x).函数值函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数的全体所构成的集合称为函数f 的值域的值域,记作记作或或 f(D),即即1.函数概念因变量自变量定义 设数集 ，则称映射 3函数是从实数集到实数集的映射函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在其值域总在R内内.函数的函数的两要素两要素:定义域定义域 与对应法则与对应法则f.如果两个函数的定义域相同如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同对应法则也相同,那么这那么这两个函数就是相同的两个函数就是相同的,否则就是不同的否则就是不同的.约定约定:定义域是自变量所能取的使算式有定义域是自变量所能取的使算式有(实际实际)意义意义的一切实数值的一切实数值.如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数单值函数，否则，否则叫做叫做多值函数多值函数例如例如:函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R内.函数的两要素:4函数的分类函数的分类函数函数初等函数初等函数非初等函数非初等函数(分段函数分段函数,有无穷多项等函数有无穷多项等函数)代数函数代数函数超越函数超越函数有理函数有理函数无理函数无理函数有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分函数有理分函数(分式函数分式函数)函数的分类函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数5(1)函数的单调性函数的单调性:设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D，区间，区间I D，如果对于区间，如果对于区间I上上任意两点任意两点 x1及及 x 2 ，当，当 x1 x 2 时，恒有：时，恒有：2 2、函数的性质、函数的性质单调增加和单调减少的函数统称为单调增加和单调减少的函数统称为单调函数单调函数.(1)函数的单调性:设函数f(x)的定义域为D，6(2)函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数奇函数奇函数yxo(2)函数的奇偶性:偶函数奇函数yxo7(3)函数的有界性函数的有界性:(3)函数的有界性:8(4)函数的函数的周期性周期性:函数函数sinx,cosx的周期是的周期是函数函数tanx的周期是的周期是（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.f(x)为周期函数为周期函数,l 称为称为f(x)的周期的周期.设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D,如果存在一个正数如果存在一个正数l,使得对使得对(4)函数的周期性:函数sinx,cosx的周期是函数t9周期函数的运算性质周期函数的运算性质周期函数的运算性质103.3.反函数反函数(1)(1)反函数的概念反函数的概念若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为 f 的反函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 其反函数(减)1)yf(x)单调递增且也单调递增(减).（2 2）性质）性质:3.反函数(1)反函数的概念若函数为单射,则存在逆映射习112)2)函数函数与其反函数与其反函数的图形关于直线的图形关于直线对称对称.例如例如 ,对数函数对数函数互为反函数互为反函数,它们都单调递增它们都单调递增,其图形关于直线其图形关于直线对称对称.机动 目录 上页 下页 返回 结束 指数函数指数函数2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互12例例1 求求的反函数及其定义域的反函数及其定义域.解解:当当时,则则当当时时,则则当当时时,则则反函数反函数定义域为定义域为例1 求的反函数及其定义域.解:当时,则当时,则当时,则反134、隐函数、隐函数4、隐函数145 5、基本初等函数、基本初等函数1）幂函数幂函数2）指数函数）指数函数3）对数函数）对数函数4）三角函数）三角函数5）反三角函数）反三角函数5、基本初等函数1）幂函数2）指数函数3）对数函数4）三角函156 6、复合函数、复合函数7 7、初等函数、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.6、复合函数7、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运16左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件判定极限判定极限存在的准则存在的准则无穷小的比较无穷小的比较极限的性质极限的性质数列极限数列极限函函 数数 极极 限限等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性无穷小无穷小两者的两者的关系关系无穷大无穷大左右极限两个重要求极限的常用方法无穷小极限存在的判定极限无穷171 1、极限的定义、极限的定义1、极限的定义18考研数学-1习题课课件19左极限左极限右极限右极限极限存在的充要条件：极限存在的充要条件：左极限右极限极限存在的充要条件：20无穷小无穷小:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.无穷大无穷大:在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为恒不为零的无穷小的倒数为无穷大零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系2 2、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大无穷小:极限为零的变量称为无穷小.绝对值无限增大的变量称为无21无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:无穷小的运算性质无穷小的运算性质定理定理1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.定理定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小乘积是无穷小.无穷小与函数极限的关系:无穷小的运算性质定理1 在同一过程22推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.3 3、极限的运算法则、极限的运算法则定理定理推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小23推论推论1 1推论推论2 2推论1推论2244 4、判定极限存在的准则、判定极限存在的准则(夹逼准则夹逼准则)4、判定极限存在的准则(夹逼准则)25(1)(2)5 5、两个重要极限、两个重要极限(1)(2)5、两个重要极限26定义定义:6 6、无穷小的比较、无穷小的比较定义:6、无穷小的比较27定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理)7、等价无穷小的性质、等价无穷小的性质8、极限的唯一性、极限的唯一性的的定理(等价无穷小替换定理)7、等价无穷小的性质8、极限的唯一289、常用的等价无穷小、常用的等价无穷小:9、常用的等价无穷小:2910、几个常用极限与几个极限不存在的例子、几个常用极限与几个极限不存在的例子10、几个常用极限与几个极限不存在的例子301111、求极限的常用方法、求极限的常用方法(1)多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;(2)消去零因子法求极限消去零因子法求极限;(3)无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;(5)利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;11、求极限的常用方法(1)多项式与分式函数代入法求极限;31 (7)有理化法有理化法（8）利用重要极限；）利用重要极限；（9）通分法（）通分法（）;(10)利用等价无穷小代换法；利用等价无穷小代换法；（11）利用变量代换法；）利用变量代换法；(12)利用极限存在的准则；利用极限存在的准则；（13）利用连续性求极限）利用连续性求极限 (14)利用罗比达法则求极限利用罗比达法则求极限.(6)利用左右极限求分段函数极限；利用左右极限求分段函数极限；(7)有理化法（32左右连续左右连续在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数连续函数的的 性性 质质初等函数初等函数的连续性的连续性间断点定义间断点定义连连 续续 定定 义义连续的连续的充要条件充要条件连续函数的连续函数的运算性质运算性质非初等函数非初等函数的连续性的连续性 振荡间断点振荡间断点 无穷间断点无穷间断点 跳跃间断点跳跃间断点 可去间断点可去间断点第一类第一类 第二类第二类左右连续在区间a,b连续函数初等函数间断点定义连 续 331 1、连续的定义、连续的定义1、连续的定义34定理定理3 3、连续的充要条件、连续的充要条件2 2、单侧连续、单侧连续定理3、连续的充要条件2、单侧连续354 4、间断点的定义、间断点的定义4、间断点的定义36(1)跳跃间断点跳跃间断点(2)可去间断点可去间断点5 5、间断点的分类、间断点的分类(1)跳跃间断点(2)可去间断点5、间断点的分类37跳跃间断点与可去间断点统称为跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点第一类间断点.特点特点:可去型可去型第一类间断点第一类间断点跳跃型跳跃型0yx0yx跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点:可去型第一类380yx无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点0yx第二类间断点第二类间断点0yx无穷型振荡型第二类间断点0yx第二类间断点396 6、闭区间的连续性、闭区间的连续性7 7、连续性的运算性质、连续性的运算性质定理定理6、闭区间的连续性7、连续性的运算性质定理40定理定理1 1 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数.定理定理2 28 8、初等函数的连续性、初等函数的连续性定理定理3 3定理1 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.定理241定理定理4 4 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.定理定理5 5 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.9 9、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值.定理4 基本初等函数在定义域内是连续的.定理5 一切初等42定定理理2(2(有有界界性性定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定在该区间上有界在该区间上有界.定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界43推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值与最小值m之间的任何值之间的任何值.推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间44二、典型例题二、典型例题例例1 1解解题型题型1求函数的定义域、求函数的表达式求函数的定义域、求函数的表达式二、典型例题例1解题型1求函数的定义域、求函数的表达式45例例2 2解解利用函数表示法的无关特性利用函数表示法的无关特性代入原方程得代入原方程得代入上式得代入上式得例2解利用函数表示法的无关特性代入原方程得代入上式得46解联立方程组解联立方程组解联立方程组47例例3 设函数设函数求求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 题型题型2 求复合函数求复合函数 例3 设函数求解:机动 目录 上页 下页 48例例4 4题型题型3 求数列的极求数列的极 限限例4题型3 求数列的极 限49例例5 5解解先变形再求极限先变形再求极限.例5解先变形再求极限.50题型题型4 求初等函数的极限求初等函数的极限题型4 求初等函数的极限51例例7 7题型题型5 利用第二个重要极限（扩充的公式）利用第二个重要极限（扩充的公式）例7题型5 利用第二个重要极限（扩充的公式）52例例8 8解解题型题型6 求分段函数的极限求分段函数的极限 例8解题型6 求分段函数的极限 53例例9 9 求求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 题型题型7 利用等价无穷小代换求极限利用等价无穷小代换求极限例9 求解:机动 目录 上页 下页 返回 54例例1010解解由夹逼定理得由夹逼定理得题型题型8 利用极限存在准则求极限利用极限存在准则求极限 例10解由夹逼定理得题型8 利用极限存在准则求极限 55例例1111证证(舍去舍去)例11证(舍去)56例例1212解解由定义由定义2知知题型题型9 讨论函数的连续性讨论函数的连续性例12解由定义2知题型9 讨论函数的连续性57例例1313解解例13解58考研数学-1习题课课件59考研数学-1习题课课件60题型题型10 求极限式或函数式中的参数求极限式或函数式中的参数利用无穷小量求参数利用无穷小量求参数题型10 求极限式或函数式中的参数利用无穷小量求参数61例例16 16 设函数设函数在在 x=0 连续连续,则则 a=,b=.提示提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例16 设函数在 x=0 连续,则 a=62练习练习练习63题型题型11 求函数的间断点并判断其类型求函数的间断点并判断其类型题型11 求函数的间断点并判断其类型64题型题型12 关于无穷小的比较关于无穷小的比较非零因子要及时分离出来非零因子要及时分离出来题型12 关于无穷小的比较非零因子要及时分离出来65例例1919证明证明讨论讨论:题型题型13 零点定理的应用零点定理的应用例19证明讨论:题型13 零点定理的应用66由零点定理知由零点定理知,综上综上,由零点定理知,综上,67练习练习 练习 68测测 验验 题题测 验 题69考研数学-1习题课课件70考研数学-1习题课课件71考研数学-1习题课课件72考研数学-1习题课课件73考研数学-1习题课课件74考研数学-1习题课课件75测验题答案测验题答案测验题答案76考研数学-1习题课课件77例例1.设 f(x)定义在区间上,若 f(x)在连续,提示提示:阅读与练习阅读与练习且对任意实数证明 f(x)对一切 x 都连续.P64 题2(2),4;P73 题5机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1.设 f(x)定义在区间上,若 f(x)78例例2 2解解例2解79