平面任意力系资料课件

第三章第三章平平 面面 任任 意意 力力 系系 作用线位于同一平面内而任意分布的作用线位于同一平面内而任意分布的 一群力构成的一群力构成的 力系称力系称为为 平面任意力系平面任意力系.平面任意力系是工程上最常见的一种力系平面任意力系是工程上最常见的一种力系,很多工程实际问题都很多工程实际问题都可以简化成平面任意力系来处理可以简化成平面任意力系来处理.3 1 平面任意力系向作用面内一点简化平面任意力系向作用面内一点简化 1.力的平移定理力的平移定理:作用在刚体上的某点作用在刚体上的某点A 的力的力F 可以平行移动到刚体内任意一点可以平行移动到刚体内任意一点B,但必须同但必须同时附加一力偶时附加一力偶,这个附加力偶的这个附加力偶的 力偶矩等于原来的力力偶矩等于原来的力F对新作用点对新作用点B 的矩的矩.注意注意:上述力的平移目的是上述力的平移目的是,平移前后对刚体的作用等效平移前后对刚体的作用等效我们还可以这样叙述力的平移定理我们还可以这样叙述力的平移定理:作用在刚体上某点作用在刚体上某点A 的力的力F,可以等效于作用在可以等效于作用在B 点的同样大小和方向的力点的同样大小和方向的力F 以及一力偶以及一力偶,此力偶的力偶矩等于作用在此力偶的力偶矩等于作用在A 点的力对点的力对B 点的矩点的矩.简言之简言之,在刚体上力的平行移动在刚体上力的平行移动 中中 力力 力力+力偶力偶 下面通过静力学公理和力偶的定义用图示法来证明下面通过静力学公理和力偶的定义用图示法来证明:ABABMABd加任意一加任意一对平衡力对平衡力力偶的定义力偶的定义减任意一减任意一对平衡力对平衡力力偶的性质力偶的性质由上可知由上可知,力的平移定理的逆定理也成立的力的平移定理的逆定理也成立的.ABdABABABABd2.平面任意力系向作用面内一点简化平面任意力系向作用面内一点简化 主矢和主矩主矢和主矩主矢主矢:力系所有各力的矢量和力系所有各力的矢量和.记为记为主矩主矩:力系所有各力对某点力系所有各力对某点O 力矩的力矩的 矢量和矢量和.记为记为OOO诸力向诸力向O点平移点平移两个简单力系两个简单力系 的合成的合成平面任意力系向作用面内的任意一点平面任意力系向作用面内的任意一点O 简化可得一力和一力偶简化可得一力和一力偶.这一力等于这一力等于原力系的主矢原力系的主矢,这一力偶的力偶矩等于原力系对这一力偶的力偶矩等于原力系对O 点的主矩点的主矩.OOxy 为为 与与 x 轴所夹锐角轴所夹锐角.平面任意力系向任意一点平面任意力系向任意一点 O 简化简化,可得一力和一力偶可得一力和一力偶,这个力的大小和方向等于这个力的大小和方向等于原力系的主矢原力系的主矢,(即力系各力的矢量和即力系各力的矢量和)作用线过简化中心作用线过简化中心 O.这个力偶的力偶矩等这个力偶的力偶矩等于原力系对于原力系对 O 点的主矩点的主矩(即力系各力对即力系各力对 O 点的力矩的代数和点的力矩的代数和).鉴于书上对力系简化理论的叙述方式鉴于书上对力系简化理论的叙述方式,为消除某些模糊概念为消除某些模糊概念,有必要对有必要对和和含意的二重性予以说明含意的二重性予以说明.就一次具体的向就一次具体的向 O 点简化的结果而言点简化的结果而言:是过是过 O 点的力点的力.是向是向 O 点点简化而得到的附加力偶简化而得到的附加力偶.就力系向任意就力系向任意 一一 点点O 简化结果的度量而言简化结果的度量而言:代表力系的主矢代表力系的主矢.代表力系对任意一点代表力系对任意一点 O 的主矩的主矩.例一例一.某平面任意力系如图示分布某平面任意力系如图示分布.已知已知P1=450kN,P2=200kN,F1=300kN,F2=70kN.求合力的大小和方向求合力的大小和方向,以及合力作用线方程以及合力作用线方程.(参见书上例参见书上例3 1 P45)xyAOBC3m3m9m5.7m3.9m1.5m 解解:先将力系向先将力系向O 点简化点简化xyCABO 合力的作用线方程合力的作用线方程:原力系对原力系对O 点的主矩表达式为点的主矩表达式为xyO由力的平移定理的逆定理由力的平移定理的逆定理,可将图示的力和力偶可将图示的力和力偶进一步简化为一个力进一步简化为一个力.力力为原力系的合力为原力系的合力上式也自然得出上式也自然得出 合力矩定理合力矩定理设合力的作用线过设合力的作用线过A 点点,则上式在图示坐则上式在图示坐标系下的解析表达式为标系下的解析表达式为:dA所以所以,合力作用线方程为合力作用线方程为.注意注意:上式中每一个量都是代数量上式中每一个量都是代数量,本身含正副号本身含正副号.将前面的简化结果带入上式将前面的简化结果带入上式:xyBOAC3m 3.514m 固定端约束及其约束反力固定端约束及其约束反力:ABABABABAB3 2 平面任意力系简化结果的理论分析平面任意力系简化结果的理论分析任何平面力系都有两个基本的特征量任何平面力系都有两个基本的特征量,这就是力系的主矢量和力系对某一点这就是力系的主矢量和力系对某一点O 的主矩的主矩 ,这两个特征量可完整地描述此力系对刚体的作用这两个特征量可完整地描述此力系对刚体的作用.原力系是一力偶系原力系是一力偶系,可简化为一力偶可简化为一力偶原力系可简化为原力系可简化为O 点的合力点的合力.原力系最终可简化为过某原力系最终可简化为过某O 点的合力点的合力.OOOO原力系为平衡力系原力系为平衡力系.由上面的分析由上面的分析,我们可得到如下的结论我们可得到如下的结论:平面任意力系如果不平衡平面任意力系如果不平衡,则最终的简化结果或是一个力则最终的简化结果或是一个力,或是一个力偶或是一个力偶.这种结果说明原力系的主矢和对任意一点的主矩至少有一个不为零这种结果说明原力系的主矢和对任意一点的主矩至少有一个不为零.由此由此,便得到平面任意力系平衡的充分和必要条件便得到平面任意力系平衡的充分和必要条件.平面任意力系平衡的充分和必要条件是平面任意力系平衡的充分和必要条件是:力系的主矢和对任力系的主矢和对任 意一点的主矩都等于零意一点的主矩都等于零.在直角坐标系下在直角坐标系下,有有:3 3 平面任意力系平衡方程式的应用平面任意力系平衡方程式的应用.例一例一.(书上书上p23 例例2 1)图示由两杆组成的三角架图示由两杆组成的三角架 受力如图示受力如图示.已知已知C 为为AB杆的杆的 中点中点,力力P=10kN,杆重不计杆重不计.求求A 端的支反力和端的支反力和DC杆所受到的力杆所受到的力.ABCACBD45例一例一.(书上书上p23 例例2 1)图示由两杆组成的三角架图示由两杆组成的三角架 受力如图示受力如图示.已知已知C 为为AB杆的杆的 中点中点,力力P=10kN,杆重不计杆重不计.求求A 端的支反力和端的支反力和DC杆所受到的力杆所受到的力.解解:取取AB 杆为研究对象杆为研究对象.(画受力图画受力图)45l l xyA 端受水平力为端受水平力为20 kN,铅垂力为铅垂力为10kN.方向方向均与图示相反均与图示相反.DC 杆为二力杆杆为二力杆,受压力受压力,大大小为小为28.28 kN.qABM4a2a例二例二:(书上书上 p47 例例 3 3)已知简支梁均质已知简支梁均质,自重为自重为P.梁的梁的AC 段承受均布载荷段承受均布载荷 为为 q,力偶力偶M=P a,梁长为梁长为4a.求求A,B 处的约束反力处的约束反力.xy解解:取整体分析取整体分析例三例三.(书上书上 p48 例例3 4 自重为自重为P=100kN 的的T 字形刚架字形刚架 ABD,置于铅垂面内置于铅垂面内,载荷如图示载荷如图示.其中其中M=20kN.m,F=400kN,q=20kN/m,l=1m.试求固定端试求固定端A 的约束反力的约束反力.解解:为便于计算为便于计算,先将线性分布载荷等效先将线性分布载荷等效简化为一合力简化为一合力.合力的大小就是载荷面积合力的大小就是载荷面积合力的作用点可由合力矩定理求得合力的作用点可由合力矩定理求得.l l 3l 30ABDq C于是于是,T 形刚架的受力情况如后面之图所示形刚架的受力情况如后面之图所示.dl l 3l 30ABD2l Cl l 3l 30ABD2l Cxy平面上平面上,对同一个平衡的研究对象对同一个平衡的研究对象,运用的运用的平衡方程的个数不能超过平衡方程的个数不能超过3 个个,但是方程的但是方程的形式可以有一些变化形式可以有一些变化.解法解法2:l l 3l 30ABD2l C解法解法3 从上一例我们可知从上一例我们可知,平面任意力系的平衡方程组可以有若干种形式平面任意力系的平衡方程组可以有若干种形式.实际上实际上,就就 是我们上面用的三种形式是我们上面用的三种形式.解法解法1 用的是平衡方程的基本形式用的是平衡方程的基本形式,是由平衡的充要条件直接得到的是由平衡的充要条件直接得到的,称为称为 两投两投影一矩式影一矩式.解法解法2 用的是两矩一投影式用的是两矩一投影式.解法解法3 用的是三矩式方程用的是三矩式方程.两投影一矩式两投影一矩式两矩一投影式两矩一投影式三矩式方程三矩式方程限制条件限制条件:AB 连线不能与连线不能与x轴轴垂直垂直.限制条件限制条件:A,B,C 三点不能共三点不能共线线.从前面平面任意力系的简化理论我们已经知道从前面平面任意力系的简化理论我们已经知道,平面力系最终的简化结果只有平面力系最终的简化结果只有三种情况三种情况:一个力一个力,或一个力偶或一个力偶,或平衡或平衡.对于两投影一矩式对于两投影一矩式原力系不可能简化为一力原力系不可能简化为一力.原力系不可能简化为一力偶原力系不可能简化为一力偶.所以所以,原力原力系是平衡系是平衡力系力系.对于两矩一投影式对于两矩一投影式原力系不可能简化为一力偶原力系不可能简化为一力偶.只能平衡只能平衡,或为过或为过AB 连线的力连线的力当当x 轴不与轴不与AB 连线垂直连线垂直,表明过表明过AB连线的力不存在连线的力不存在.所以所以,当当x 轴不与轴不与AB 连线垂直连线垂直,原力系是原力系是平衡力系平衡力系.对于三矩式方程对于三矩式方程原力系不可能简化为一力偶原力系不可能简化为一力偶.只能平衡只能平衡,或为过或为过AB 连线的力连线的力当当C 点不过点不过AB连线连线,表明表明过过AB 连线的力不存在连线的力不存在.所以所以,当当A,B,C 三点三点不共线不共线,原原力系是平衡力系是平衡力系力系.平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程:xyO自然满足自然满足(不平不平衡也成立衡也成立)还有两矩式方程还有两矩式方程A,B 连线不连线不与力的方向与力的方向平行平行.ABCaaa60例四例四.边长为边长为 a 的均质等边三角形平板的均质等边三角形平板ABC 在铅垂面内用三根无重连杆铰接在铅垂面内用三根无重连杆铰接,如图所示如图所示.BC 边水平边水平,三角形板自重为三角形板自重为P,一力偶其矩为一力偶其矩为 M 作用在三角板上作用在三角板上.求求:三杆对平板的约束力三杆对平板的约束力.解解:取三角板分析取三角板分析3 3 物体系统的平衡物体系统的平衡 静定和超静定问题静定和超静定问题 一个系统的平衡一个系统的平衡,是指系统内每一个物体都平衡是指系统内每一个物体都平衡.如果系统内有如果系统内有n 个物体个物体,对于平对于平面力系面力系,可至多有可至多有3 n 个独立的静力学平衡方程个独立的静力学平衡方程,如果系统内有特殊力系作用的物如果系统内有特殊力系作用的物体体,如二力构件如二力构件,力偶系作用的物体或汇交力系作用的物体等力偶系作用的物体或汇交力系作用的物体等,则独立的平衡方程则独立的平衡方程的个数便小于的个数便小于 3n.静定问题静定问题:如果如果 力学系统内未知量的个数等于或少于独立的平衡方程的个数力学系统内未知量的个数等于或少于独立的平衡方程的个数,这个力学这个力学系统是静定的系统是静定的.即即,可以用静力学的平衡方程可以用静力学的平衡方程 定下来定下来.超静定问题超静定问题(也称为静不定问题也称为静不定问题):如果如果 力学系统内未知量的个数多于独立的平衡方程的个数力学系统内未知量的个数多于独立的平衡方程的个数,这个力学系统是这个力学系统是超静定的超静定的.即即,用静力学的平衡方程用静力学的平衡方程 定不下来定不下来.需要通过寻找其他的补需要通过寻找其他的补充方程联合求解充方程联合求解.已已 知物块的重量知物块的重量,欲求连杆受力欲求连杆受力.问问:哪个为静定问题哪个为静定问题,哪个为超静定问题哪个为超静定问题?已知结构中载荷已知结构中载荷Q 为已知为已知,欲求各处约束反力欲求各处约束反力.问问:哪个为静定问题哪个为静定问题,哪个为超静定哪个为超静定 问题问题?ACBDABD例五例五.图示曲轴冲床系统简图图示曲轴冲床系统简图.由飞轮由飞轮O,连杆连杆AB 和冲头和冲头B 组成组成.OA=R,AB=l.不计摩擦和自重不计摩擦和自重.当当OA在水平位置时在水平位置时,系统处于平衡状态系统处于平衡状态.这时这时,测得冲头上的测得冲头上的 作用力为作用力为F.求求:(1)飞轮上力偶飞轮上力偶M 的大小的大小;(2)轴承轴承O 处的约束反力处的约束反力;(3)连杆连杆AB受的力受的力;(4)冲头对导轨的力冲头对导轨的力.BxyOABM 解解:此题是系统的力系平衡问题此题是系统的力系平衡问题.一个平衡任意力系的平衡一个平衡任意力系的平衡,一个二力平一个二力平衡衡,一个平衡汇交力系的平衡一个平衡汇交力系的平衡.共有共有6 个个独立的平衡方程独立的平衡方程.解解6 个未知数个未知数.首先首先,取冲头取冲头B 分析分析BxyOABM BAMOAxy再取飞轮为研究对象再取飞轮为研究对象由作用与反作用公理及二力平衡公理可知由作用与反作用公理及二力平衡公理可知轴承轴承O 处的约束反力与图示相反处的约束反力与图示相反,其余处的受力如图所示其余处的受力如图所示.例六例六.(书上书上 p53 例例 3 6)图示组合梁图示组合梁 不计自重不计自重,由由AC 与与BC 梁铰接而成梁铰接而成.已知已知 F=20 kN,均布载荷集度均布载荷集度 q=10 kN/m,M=20 kN.m,l=1m.试求试求 A,B 处的约束反力处的约束反力.ACBDl l l l 6030qM3060CBDq解解:取取BD 梁分析梁分析qMAC取取 AC 梁为研究对象梁为研究对象B 支座处的约束力如图示支座处的约束力如图示,A 处的竖直约束力与处的竖直约束力与图示相反图示相反,水平约束力和约束力偶如图示水平约束力和约束力偶如图示.3060CBDq例七例七.如图结构如图结构,水平杆上有铅垂力水平杆上有铅垂力P 的作用的作用.求证求证:不论不论 P 的位置如何的位置如何,AC 杆总是受大小等于杆总是受大小等于 P 的压力的压力.(书上书上 例例3 9 p56)ABDCPxabEABDPxaEbABbPx证明证明:整体分析整体分析取取AB 杆分析杆分析取取AB 杆杆,AD 杆的组合体分析杆的组合体分析AB 杆上杆上A 点的力与上面的点的力与上面的FA 等值反向等值反向,故受常压力为故受常压力为P.习题习题 3 19 构架由杆构架由杆AB,AC 和和DF 铰接而成铰接而成.在杆在杆DEF 上作用一力偶矩为上作用一力偶矩为M 的的 力偶力偶,不计个杆的自重不计个杆的自重.求铰链求铰链 A,D,和和 B 处所受的力处所受的力.ADBCEFaaaaM解解:先整体分析先整体分析,由力偶力系的平衡可知由力偶力系的平衡可知方向如图示方向如图示DMEF取取 DF 杆为研究对象杆为研究对象取取 ADB 杆为研究对象杆为研究对象DBA习题习题 3 23(p 68)图示结构中图示结构中,已知力已知力 F=40 kN.求铰链求铰链A,B,C 处的约束反力处的约束反力.2m2m2m2mABCDEF解解:取取AC 杆分析杆分析45ABCFED45 取取DF 杆分析杆分析由由(1),(2)式联立式联立再再 取取AC 杆分析杆分析AC 杆杆A处处受力与图受力与图示相反示相反.习题习题 3 29(p70)图示构架图示构架,由直杆由直杆BC,CD及直角弯杆及直角弯杆AB 组成组成,各杆自重不计各杆自重不计.载载 荷及尺寸如图荷及尺寸如图.销钉销钉B上作用一铅垂力上作用一铅垂力F.图中的图中的q,a,M 均为已知均为已知,M=qa.求求:固定端固定端A 的约束力及销钉的约束力及销钉B 对杆对杆BC,AB 的作用力的作用力.解解:取取DC杆为研究对象杆为研究对象DCq解解:取取BC杆杆(带带B铰链铰链)为研究对象为研究对象aa3aDABCqqMaBCMBCM取直角弯杆取直角弯杆AB 分析分析:qABMBC取取BC杆杆(不含不含B铰铰)分析分析:B弯杆弯杆AB上上B 点的力为销点的力为销钉钉B 对对AB 杆的力杆的力.BC 杆杆(不含不含B铰铰)上上B 点点的力为销钉的力为销钉B 对对BC 杆的杆的力力.方向均如图示方向均如图示.销钉销钉B 的受力情况如的受力情况如图示图示3 4 平面简单桁架的内力计算平面简单桁架的内力计算桁架桁架 是一种由杆件在两端互相连接而成的承载结构是一种由杆件在两端互相连接而成的承载结构,它在受力后几何形状不变它在受力后几何形状不变.工程上采用桁架的结构有很多工程上采用桁架的结构有很多,如如 高压输电线塔高压输电线塔,水利工程的闸门水利工程的闸门,塔式起重塔式起重机的塔身机的塔身,铁路桥梁的两侧结构等铁路桥梁的两侧结构等.桁架中的杆件与杆件的连接点桁架中的杆件与杆件的连接点,称为称为 节点节点.桁架的优点是桁架的优点是:内部的杆件主要承受拉力或压力内部的杆件主要承受拉力或压力,可以充分发挥材料的作用可以充分发挥材料的作用,节节 约材质约材质,减轻结构的重量减轻结构的重量.平面桁架内力计算的基本假定平面桁架内力计算的基本假定:(1)所有的杆件都是直杆所有的杆件都是直杆;(2)杆件的连接点都是光滑铰链杆件的连接点都是光滑铰链;(3)桁架所受的力都作用在节点上桁架所受的力都作用在节点上,而且在桁架的平面内而且在桁架的平面内;(4)各杆的重量一般略去不计各杆的重量一般略去不计,若计则平均分配在杆件两端的节点上若计则平均分配在杆件两端的节点上.所有杆件的轴线都在同一平面的桁架所有杆件的轴线都在同一平面的桁架,称为称为 平面桁架平面桁架简单的平面静定桁架简单的平面静定桁架:以一个铰接的三角形框架为基本结构以一个铰接的三角形框架为基本结构,每增加一个节点的同时增加两根每增加一个节点的同时增加两根杆件杆件.这样构成的桁架就是简单的平面静定桁架这样构成的桁架就是简单的平面静定桁架.设杆数为设杆数为m,节点数为节点数为n.简单平面桁架的杆数与节点数的简单平面桁架的杆数与节点数的关系为关系为:(m 3)=2(n 3)即是即是 m=2 n 3 平面静定桁架的内力计算平面静定桁架的内力计算:1.节点法节点法a.视具体情况求支反力视具体情况求支反力.b.依次取每一个节点分析和计算内力依次取每一个节点分析和计算内力.c.每个节点上的未知力一般不超过每个节点上的未知力一般不超过2个个.2.截面法截面法a.视具体情况求支反力视具体情况求支反力.b.将整体截开将整体截开,求被截杆内力求被截杆内力.c.一般截杆不超过三根一般截杆不超过三根.d.注意力的汇交点注意力的汇交点.例一例一.(书上例书上例3 10 p58)求求 简单平面桁架的各杆的内力简单平面桁架的各杆的内力.已知已知F =10kN.30302m2m12345ABCDF解解:整体分析整体分析,求支反力求支反力.依次依次取节点取节点 A,D,C 分析其受力分析其受力.30AFD60 60CA 点点:D点点:C点点:30302m2m12345ABCDF30AFD60 60C由上面的计算可以得出由上面的计算可以得出:1 号和号和4 号杆受压号杆受压,大小为大小为10 kN.2 号和号和5 号杆受拉号杆受拉,大小为大小为8.66 kN.3 号杆受拉号杆受拉,大小为大小为 10 kN.例二例二.(书上例书上例3 11 p58)图示平面桁架图示平面桁架,各杆的长度均为各杆的长度均为1m.外载荷如图示外载荷如图示.试求杆试求杆 1,2,3 的内力的内力.7kN10kN5kNABCDEFG123解解:整体分析整体分析,求支反力求支反力DAEC10kN7kN10kN5kNABCDEFG123mn以以m n 截面截断截面截断1,2,3 杆杆取左边的部分为研究对象取左边的部分为研究对象1 杆受压杆受压,2,3 杆受拉杆受拉.大小分别为大小分别为 8.73 kN,2.82 kN,12.32 kN.31245AB671098121311试判断试判断,图示的平面桁架中图示的平面桁架中 哪几根杆件所受的力为零哪几根杆件所受的力为零?即所谓的即所谓的 零杆零杆.平衡吗平衡吗?3 号杆是零杆号杆是零杆同理可知同理可知,11号杆是零杆号杆是零杆;进一步可知进一步可知,9 号杆也是零杆号杆也是零杆.习题习题 3 35 平面桁架的支座和载荷如图所示平面桁架的支座和载荷如图所示.ABC为等边三角形为等边三角形,E,F 为两腰为两腰 的中点的中点.AD=DB.求求:杆杆 CD 的内力的内力.解：整体分析解：整体分析 从从E 点的受力平衡可以判断点的受力平衡可以判断:DE 杆为零杆杆为零杆.取三角形取三角形DBF为研究对象为研究对象PABCDEF6060DBFP60a(设三角形的边长为设三角形的边长为a)DC 杆受压力杆受压力,大小为大小为习题习题 3 38 平面桁架的支座和载荷如图所示平面桁架的支座和载荷如图所示,求杆求杆 1,2 和和3 的内力的内力.ABCDEF123FCD1解解:取三角形取三角形CDF 为研究对象为研究对象取取CF 杆为研究对象杆为研究对象:CF答答:1 杆和杆和2 杆杆 皆受压力皆受压力,大小分别为大小分别为