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习题课 求积分的基本方法求积分的基本方法机动 目录 上页 下页 返回 结束 积分的计算方法 第四四章 求积分的基本方法求积分的基本方法1.直接积分法直接积分法通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法.2.换元积分法换元积分法 第一类换元法第一类换元法 第二类换元法(注意常见的换元积分类型)(代换:)机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的换元法定积分的换元法 定理定理1.设函数单值函数满足:1)2)在则上说明说明:1)当 ,即区间换为定理 1 仍成立.2)必需注意换元必换限换元必换限,原函数中的变量不必代回.3)换元公式也可反过来使用,即或配元配元不换限3.分部积分法分部积分法使用原则:1)由易求出 v;2)比好求.一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,排前者取为 u,排后者取为计算格式:列表计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的分部积分法定积分的分部积分法 定理定理2.则 基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限例例1.求解解:原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求解解:原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析分析:例例3.求解解:原式分部积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.设解解:令求积分即而机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求解解:取机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:此法特别适用于如下类型的积分:例例7.设证证:证明递推公式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8.求解解:设则因连续,得记作得利用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9.设 解解:为的原函数,且求由题设则故即,因此故又机动 目录 上页 下页 返回 结束 需要注意的问题需要注意的问题(1)一般方法不一定是最简便的方法,(2)初等函数的原函数不一定是初等函数,要注意综合使用各种基本积分法,简便计算.因此不一定都能积出.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,例例10.求解解:令则原式原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例11.求解解:令比较同类项系数,故 原式说明说明:此技巧适用于形为的积分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例12.解解：因为及机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13.求不定积分解解:原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例14.机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:I=例例15.求解解:(n 为自然数)令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求解解:令则原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.选择一个常数 c,使解解:令则因为被积函数为奇函数,故选择 c 使即可使原式为 0.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.设解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.若解解:令试证:则机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为对右端第二个积分令综上所述机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.证明恒等式证证:令则因此又故所证等式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.试证使分析分析:要证即故作辅助函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 至少存在一点证明证明:令在上连续,在至少使即因在上连续且不为0,从而不变号,因此故所证等式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 故由罗尔定理知,存在一点与定积分概念有关的问题的解法与定积分概念有关的问题的解法1.用定积分概念与性质求极限2.用定积分性质估值3.与变限积分有关的问题机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求解解:因为时,所以利用夹逼准则得例例.估计下列积分值解解:因为即机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例.证明证证:令则令得故机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例.解：解：且由方程确定 y 是 x 的函数,求方程两端对 x 求导,得令 x=1,得再对 y 求导,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 故例例.求可微函数 f(x)使满足解解:等式两边对 x 求导,得不妨设 f(x)0,则机动 目录 上页 下页 返回 结束
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