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112四、小结一、微分、积分方程的Laplace变换解法三、线性系统的传递函数二、偏微分方程的Laplace变换解法第第3页页一、微分、积分方程的Laplace变换解法象原函数(微分方程的解)象函数的代数方程微分方程象函数取Laplace逆变换取Laplace变换解代数方程 首先取Laplace变换将微分方程化为象函数的代数方程,解代数方程求出象函数,再取Laplace逆变换得最后的解.第第4页页求方程 满足初始条件的解.设方程的解且设对方程的两边取Laplace变换,得第第5页页整理得变形得取逆变换得第第6页页求方程 满足初始条件的解，其中 为已知常数.设方程的解且设对方程的两边取Laplace变换,得第第7页页整理得取逆变换得下面确定令得得故得第第8页页求方程 满足初始条件的解.对方程的两边取设Laplace变换,得第第9页页整理得即变形得(分离变量法)第第10页页得下面确定令得积分得取逆变换得得第第11页页求积分方程的解.其中 为定义在 的已知函数.设对方程的两边取Laplace变换,得第第12页页整理得如果令由反演积分公式第第13页页 质量为m的物体挂在弹性系数为k的弹簧一端,作用在物体上的外力为 .若物体从静止平衡位置 处开始运动,求该物体的运动规律 .（Newton定律）物体运动的微分方程为：且第第14页页设得记则第第15页页得第第16页页 如图所示的 串联电路,若外加电动势为正弦交流电压 ,求开关闭合后,回路中电流 及电容器两端电压 .根据irchhoff定律，有其中第第17页页得对方程的两边取Laplace变换,得设且第第18页页得的一阶极点即第第19页页.,.得化简得第第20页页,第第21页页.,令则第第22页页因为过渡电流，所以第第23页页 在 电路中串接直流电源 ,求开关闭合后,回路中电流 .请同学们仿例6解答!第第24页页求方程组的解.满足初始条件设得第第25页页化简得第第26页页解得由得有两个二级极点：由第第27页页因此第第28页页故第第29页页小结：用Laplace变换求线性微分、积分方程及其方 程组的解时，有如下的优点：）在求解的过程中，初始条件能同时用上，求出的结果就是需要的特解，这样就避免了微分方程的复杂运算.）零初始条件在工程技术中是十分常见的，由上一个优点可知，用Laplace变换求解就显得更加简单，而在微分方程的一般解法中不会因此而有任何变化.第第30页页小结：3）对于一个非齐次的线性微分方程来说，当齐次项不是连续函数，而是包含 函数或有第一类间断点的函数时，用Laplace变换求解没有任何困难，而用微分方程的一般解法就会困难得多.4）用Laplace变换求解线性微分、积分方程组，比微分方程组的一般解法要简便得多，而且可以单独求出某一个未知函数，而不需要知道其余的未知函数，这在微分方程组的一般解法中通常是不可能的.第第31页页利用Laplace变换求解定解问题:二、偏微分的Laplace变换解法第第32页页对方程的两边关于t取Laplace变换,设得第第33页页问题转化为求解常微分方程的边值问题:第第34页页得方程的通解为:代入边界条件得得第第35页页对上式取Laplace逆变换,得第第36页页利用Laplace变换求解定解问题:其中 均为常数.第第37页页对方程的两边关于t取Laplace变换,得第第38页页问题转化为求解常微分方程的边值问题:得方程的通解为:第第39页页由边界条件得得对上式取Laplace逆变换,得余误差函数第第40页页利用Laplace变换求解定解问题:第第41页页取Laplace变换,设二元函数由微分性质得对定解问题关于x第第42页页问题转化为求解常微分方程的初值问题:第第43页页得方程满足初始条件的解为:得定解问题的解为:第第44页页利用Laplace变换求解定解问题:第第45页页对定解问题关于t取Laplace变换,记第第46页页定解问题转化为含参数的二阶常系数线性微分方程的边值问题:第第47页页得通解为:代入边界条件得得第第48页页对上式取Laplace逆变换,得第第49页页利用Laplace变换求解定解问题:课堂练习:请同学们仿例12解答!第第50页页三、线性系统的传递函数1.线性系统的激励和响应这是一个一阶常系数线性微分方程.一个线性系统可以用一个常系数线性微分方程来描述.例如例6中的RC串联电路,电容器两端的电压u C(t)所满足的关系式为第第51页页2.激励和响应的概念三、线性系统的传递函数 在上述一阶常系数线性微分方程中,通常将外加电动势e(t)看成是这个系统的随时间t变化的输入函数,称为激励,而把电容两端的电压u C(t)看成是这个系统的随时间t变化的输出函数,称为响应.第第52页页三、线性系统的传递函数 这样的 RC 串联的闭合回路就可以看成是一个有输入端和输出端的线性系统,如下图所示.而虚线框中的电路结构决定于系统内的元件参量和连接方式.这样一个线性系统,在电路理论中又称为线性网络(简称网络).一个系统的响应是由激励函数与系统本身的特性所决定.第第53页页三、线性系统的传递函数第第54页页3.传递函数的概念的引入三、线性系统的传递函数 对于不同的线性系统,即使在同一激励下,其响应也是不同的.在分析线性系统时,我们并不关心系统内部的各种不同的结构情况,而是要研究激励和响应同系统本身特性之间的联系,可绘出如下图所示的情况表明它们之间的联系,为了描述这种联系需要引进传递函数的概念.第第55页页三、线性系统的传递函数第第56页页4.传递函数的概念其中 均为常数,m,n为正整数,n m.假设有一个线性系统,在一般情况下,它的激励x(t)与响应y(t)可用下列微分方程表示:三、线性系统的传递函数第第57页页L a k y(k)=akskY(s)-aksk-1y(0)+.+y(k-1)(0)设L y(t)=Y(s),L x(t)=X(s),则三、线性系统的传递函数L b k x(k)=bkskX(s)-bksk-1x(0)+.+x(k-1)(0)(k=0,1,.,n)(k=0,1,.,m)第第58页页两边取Laplace变换并通过整理,可得D(s)Y(s)Mh y(s)=M(s)X(s)M h x(s)三、线性系统的传递函数其中 D(s)=ansn+an-1sn-1+.+a1s+a0M(s)=bmsm+bm-1sm-1+.+b1s+b0第第59页页三、线性系统的传递函数M h y(s)=any(0)sn-1+any(0)+an-1y(0)sn-2+.+any(n-1)(0)+.+a2y(0)+a1y(0)M h x(s)=bmx(0)sm-1+bmx(0)+bm-1x(0)sm-2+.+bmx(m-1)(0)+.+b2x(0)+b1x(0).则第第60页页三、线性系统的传递函数称G(s)为系统的传递函数.如Gh(s)=0,则其中第第61页页 在零初始条件下,系统的传递函数等于其响应的Laplace变换与其激励的Laplace变换之比.当我们知道了系统的传递函数以后,就可以由系统的激励求出其响应的Laplace变换,再求逆变换可得其响应y(t).三、线性系统的传递函数第第62页页 传递函数不表明系统的物理性质,许多性质不同的物理系统,可以有相同的传递函数.三、线性系统的传递函数第第63页页假设某个线性系统的传递函数为或Y(s)=G(s)X(s)5.脉冲响应函数设g(t)=L-1G(s)，则由卷积定理可得三、线性系统的传递函数第第64页页 即系统的响应等于其激励与 的卷积.一个线性系统除用传递函数来表征外,也可以用传递函数的逆变换 来表征.称 为系统的脉冲响应函数.即三、线性系统的传递函数 时,则在零初始条件下,有 所以 即第第65页页在系统的传递函数中,令,则得6.频率响应三、线性系统的传递函数称它为系统的频率特性函数,简称频率响应,可以证明,当激励是角频率为w的虚指数函数x(t)=ejw t时,系统的稳态响应是y(t)=G(j w)e j w t.因此频率响应在工程技术中又称为正弦传递函数.第第66页页如图所示 电路,当把电源电势e(t)看成激励,则响应uC(t)与e(t)满足的微分方程为第第67页页两边取Laplace变换,并设L uC(t)=UC(s),L e(t)=E(s),有RCsUC(s)-uc(0)+UC(s)=E(s)电路的传递函数为:第第68页页而电路的脉冲响应函数为令得频率响应为第第69页页四、小结总结Laplace变换解数理方程的优缺点总结Laplace变换求解定解问题时,定解条件取变换的原则是什么深入阅读:数学物理方程与特殊函数(第三版)，东南大学，高等教育出版社
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