结构力学教程课件

本本 章章 内内 容容21.1 力矩分配法的基本概念力矩分配法的基本概念21.2 用力矩分配法计算连续梁用力矩分配法计算连续梁和结点无侧移刚架和结点无侧移刚架本 章 内 容21.1 力矩分配法的基本概念21.1 力矩分配法的基本概念力矩分配法的基本概念设有如图21.1(a)所示刚架，其上各杆件均为等截面直杆。由图可知，它只有一个刚结点，在一般忽略杆件轴向变形的情形下，该结点不发生线位移而只能有角位移。我们称它为力矩分配法的一个计算单元。设在该单元的结点1作用一集中力偶M(结点外力偶以顺时针转向为正)，现要求出汇交于结点1之各杆的杆端弯矩值。对此我们称之为力矩分配法的基本运算。21.1.1 力矩分配法的基本运算力矩分配法的基本运算21.1 力矩分配法的基本概念设有如图21.1(a)所示在M作用下，结点1产生转角位移1。利用位移法转角位移方程，可以写出各杆端弯矩(1尚为未知)：M12=3i121M13=4i131M14=i141M21=0M31=2i131M41=-i141(a)(b)在M作用下，结点1产生转角位移1。利用位移法转角位移方取结点1为隔离体如图21.1(b)所示。由平衡条件M1=0得M12+M13+M14=M将式(a)代入式(c)，解得1=M/（3i12+4i13+i14）将1代回式(a)和式(b)，即可求出各杆的杆端弯矩值如下：M12=3i12M/(3i12+4i13+i14)M13=4i13M/(3i12+4i13+i14)M14=i14M/(3i12+4i13+i14)(e)(d)(c)取结点1为隔离体如图21.1(b)所示。由平衡条件M1M21=0M31=1/24i13M/(3i12+4i13+i14）M41=-i14M/(3i12+4i13+i14)由此可绘出结构的弯矩图M如图21.1(c)所示。（1）转动刚度S式(a)中列出的各杆杆端弯矩式可统一写成M1k=S1k1式中：S1k称为1k杆1端的转动刚度。M21=0（2）分配系数式(e)中的各杆端弯矩可统一写成（2）分配系数（3）传递系数C式(f)中的各杆端弯矩可统一写成Mk1=C1kM1k式中：C1k称为1k杆1端的传递系数。传递系数即表示当杆件近端发生转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值。（3）传递系数C图21.1 图21.1 掌握了上述基本运算，再利用叠加原理，即可用力矩分配法计算荷载作用下具有一个结点转角的结构。其计算步骤为(1)先在本来能发生转角位移的刚结点i处假想加入附加刚臂，使其不能转动。由表19.2算出汇交于i结点各杆端的固端弯矩后，利用该结点的力矩平衡条件求出附加刚臂给予结点的约束力矩，它等于汇交于该结点各杆的固端弯矩之和，并以MFi表示。约束力矩规定以顺时针转向为正。21.1.2 具有一个结点转角结构的计算具有一个结点转角结构的计算掌握了上述基本运算，再利用叠加原理，即可用力矩分配法计算(2)结点i处并没有附加刚臂，也不存在约束力矩，为了能恢复到实际状态，抵消掉约束力矩MFi的作用，我们在结点i处施加一个与它反向的外力偶Mi=-MFi。结构在Mi作用下的各杆端弯矩，应用一次基本运算即可求出。(3)结构的实际受力状态，为以上两种情况的叠加。将第1步中各杆端的固端弯矩分别和第2步中各杆端的分配弯矩或传递弯矩叠加，即得汇交于i结点之各杆的近端或远端的最后弯矩。(2)结点i处并没有附加刚臂，也不存在约束力矩，为了能【例21.1】试作图21.2(a)所示连续梁的弯矩图。【解】(1)先在结点B加一附加刚臂(图21.2(b)使结点B不能转动，此步骤常称为“固定结点”。此时各杆端产生的固端弯矩由表19.2求得：MFBA=ql2/8=180kNmMFCB=-100kNmMFCB=100kNm由结点B的平衡条件MB=0求得约束力矩：MFB=MFBA+MFBC=(180-100)kNm=80kNm【例21.1】试作图21.2(a)所示连续梁的弯矩图。(2)为了消除约束力矩MFB，应在结点B处加入一个与它大小相等方向相反的力矩MB=-MFB(图21.2(c)，在约束力矩被消除的过程中，结点B即逐渐转动到无附加约束时的自然位置，故此步骤常简称为“放松结点”。将图21.2(b)和图21.2(c)相叠加就得到图21.2(a)中的结果。对于图21.2(c)，我们可用上述力矩分配法的基本运算求出各杆端弯矩。为此，先按式(21.2)算出各杆端分配系数：SBA=3iBA=32EI/12=1/2EISBC=4iBC=4EI/8=1/2EI(2)为了消除约束力矩MFB，应在结点B处加入一个与它则BA=SBA/(SBA+SBC)=0.5BC=BBC/(SBA+SBC)=0.5利用公式1k=1进行校核：Bk=BA+BC=0.5+0.5=1所以分配系数计算正确。根据公式(21.1)计算各杆近端的分配弯矩：MBA=BAMB=0.5(-80)kNm=-40kNmMBC=BCMB=0.5(-80)kNm=-40kNm 则然后计算各杆远端的传递弯矩：MCAB=CBAMBA=0MCCB=CBCMBC=1/2(-40)kNm=-20kNm(3)最后将各杆端的固端弯矩(图21.2(b)与分配弯矩、传递弯矩(图21.2(c)相加，即得各杆端的最后弯矩值：MAB=MFAB+MCAB=0MBA=MFBA+MBA=(180-40)kNm=140kNmMBC=MFBC+MBC=(-100-40)kNm=-140kNmMCB=MFCB+MCCB=(100-20)kNm=80kNm然后计算各杆远端的传递弯矩：【例21.2】用力矩分配法作图21.3(a)所示封闭框架的弯矩图。已知各杆EI等于常数。【解】因该封闭框架的结构和荷载均有x、y两个对称轴，可以只取四分之一结构计算如图21.3(b)所示。作出该部分弯矩图后，其余部分根据对称结构承受对称荷载作用弯矩图亦应是对称的关系便可作出。(1)计算固端弯矩由表19.2查得各杆的固端弯矩为MF1A=-ql2/3=-7.5kNmMFA1=-ql2/6=-3.75kNm写入图21.3(c)各相应杆端处。【例21.2】用力矩分配法作图21.3(a)所示封闭框架的弯(2)计算分配系数转动刚度：S1A=i1A=EI/1.5S1C=i1C=EI/1=EI分配系数：1A=S1A/(S1A+S1C)=0.41C=S1C/(S1A+S1C)=0.6将分配系数写入图21.3(c)结点1处。(2)计算分配系数(3)进行力矩的分配和传递，求最后杆端弯矩。结点力的约束力矩MF1=MF1A+MF1C=-7.5kNm，将其反号并乘以分配系数，便得到各杆近端的分配弯矩。将各杆分配弯矩乘以传递系数便得到远端的传递弯矩(C1A=C1C=-1)。最后将各杆端的固端弯矩和分配弯矩(或传递弯矩)相叠加即可得到各杆端的最后杆端弯矩。在最后弯矩下画双横线。以上工作均在图21.3(c)所示图上进行。(4)作弯矩图根据对称关系作出弯矩图如图21.3(d)所示。(3)进行力矩的分配和传递，求最后杆端弯矩。图21.2 图21.2 图21.3 图21.3 21.2 用力矩分配法计算连续梁和结点用力矩分配法计算连续梁和结点无侧移刚架无侧移刚架对于具有多个刚结点的连续梁和无侧移的刚架，只要逐次对每一个结点应用上一节的基本运算，就可求出各杆端弯矩。21.2 用力矩分配法计算连续梁和结点无侧移刚架对于具有【例21.3】试用力矩分配法作图21.4(a)所示连续梁的弯矩图。【解】（1）计算分配系数结点B：SBA=3iBA=34EI/2=6EISBC=4iBC=49EI/3=12EIBA=SBA/(SBA+SBC)=1/3BC=SBC/(SBA+SBC)=2/3校核：1/3+2/3=1【例21.3】试用力矩分配法作图21.4(a)所示连续梁的弯结点C：SCB=SBC=12EISCD=4iCD=44EI/2=8EICB=SCB/(SCB+SCD)=3/5CD=SCD/(SCB+SCD)=2/5校核：3/5+2/5=1将分配系数填入图21.4(b)的相应位置。(2)计算固端弯矩固定刚结点B和C，则连续梁变成三根单跨超静定梁，因此可由表19.2求得各杆的固端弯矩：结点C：MFBA=3/16Pl18.75kNmMFBC=-ql2/12=-15kNmMFCB=ql2/12=15kNm其余各固端弯矩均为零。将各固端弯矩填入图21.4(b)所示相应位置。结点B和结点C的约束力矩分别为MFB=MFBA+MFBC=(18.75-15)kNm=3.75kNmMFC=MFCB+MFCD=15kNm由图21.4(b)中可以很清楚看出各结点的约束力矩。MFBA=3/16Pl18.75kNm(3)放松结点C(结点B仍固定)：对于具有多个刚结点的结构，可按任意选定的次序轮流放松结点，但为了使计算收敛得快些，通常先放松约束力矩较大的结点。在结点C进行力矩分配(即将MFC反号乘以分配系数)，求得各相应杆端的分配弯矩为MCB=3/5(-15)kNm=-9kNmMCD=2/5(-15)kNm=-6kNm同时可求得各杆远端的传递弯矩(即将分配弯矩乘上相应的传递系数)为MCBC=CCBMCB=1/2(-9)kNm=-4.5kNmMCDC=CCDMCD=1/2(-6)kNm=-3kNm(3)放松结点C(结点B仍固定)：(4)重新固定结点C，并放松结点B：在结点B进行力矩分配，注意此时结点B的约束力矩为MFB+MCBC=(3.75-4.5)kNm=-0.75kNm然后将其反号乘以分配系数，即得相应的分配弯矩为MBA=1/30.75kNm=0.25kNmMBC=2/30.75kNm=0.5kNm传递弯矩为MCAB=0MCCB=CBCMBC=1/20.5kNm=0.25kNm将计算结果填入图21.4(b)相应位置。(4)重新固定结点C，并放松结点B：在结点B进行力矩分(5)进行第二轮计算按照上述步骤，在结点C和B轮流进行第二次力矩分配与传递，计算结果填入图21.4(b)相应位置。这样轮流放松、固定各结点，进行力矩分配与传递。由于分配系数和传递系数均小于1，所以收敛是很快的。由上看出，经过两轮计算后，结点的约束力矩已经很小，附加刚臂的作用基本解除，结构已接近于实际的平衡状态，若认为已经满足计算精度要求时，计算工作便可以停止。(5)进行第二轮计算(6)最后将各杆端的固端弯矩和每次的分配弯矩、传递弯矩相加，即得最后的杆端弯矩。见图21.4(b)，最后杆端弯矩下画双横线。(7)已知杆端弯矩后，应用拟简支梁区段叠加法可画出弯矩图M如图21.4(c)所示。(6)最后将各杆端的固端弯矩和每次的分配弯矩、传递弯矩现将用力矩分配法计算一般连续梁和无结点侧移刚架的步骤归纳如下：计算汇交于各结点的各杆端的分配系数ik，并确定传递系数C1k。根据荷载计算各杆端的固端弯矩MFik及各结点的约束力矩MFi。逐次循环放松各结点，并对每个结点按分配系数将约束力矩反号分配给汇交于该结点的各杆，然后将各杆端的分配弯矩乘以传递系数传递至另一端。按此步骤循环计算直至各结点上的传递弯矩小到可以略去时为止。现将用力矩分配法计算一般连续梁和无结点侧移刚架的步骤归纳 将各杆端的固端弯矩与历次的分配弯矩和传递弯矩相加，即得各杆端的最后弯矩。绘弯矩图，进而可作剪力图和轴力图。将各杆端的固端弯矩与历次的分配弯矩和传递弯矩相加，即【例21.4】试用力矩分配法作图21.5(a)所示连续梁的弯矩图。【解】(1)计算分配系数结点B：SBA=4iBA=46=24SBC=4iBC=44=16BA=SBA/(SBA+SBC)=24/(24+16)=0.6BC=SBC/(SBA+SBC)=16/(24+16)=0.4校核：0.6+0.4=1【例21.4】试用力矩分配法作图21.5(a)所示连续梁的弯结点C：SCB=4iCB=44=16SCD=4iCD=44=16CB=SCB/(SCB+SCD)=0.5CD=SCD/(SCB+SCD)=0.5校核：0.5+0.5=1结点D：SDC=4iDC=44=16SDE=4iDE=46=24结点C：DC=SDC/(SDC+SDE)=16/(16+24)=0.4DE=SDE/(SDC+SDE)=0.6校核：0.4+0.6=1结点E：SED=4iED=46=24SEF=0ED=SED/(SED+SEF)=1EF=SEF/(SED+SEF)=0校核：1+0=1将分配系数填入图21.5(b)的相应位置。DC=SDC/(SDC+SDE)=16/(16+2(2)计算固端弯矩将结点B、C、D、E固定，由表19.2求各杆的固端弯矩分别为MFBC=-Pab2/l2=-90242/62kNm=-80kNmMFCB=Pa2b/l2=40kNmMFCD=-ql2/12=-60kNmMFDC=ql2/12=60kNmMFDE=-Pl/8=-30kNmMFED=Pl/8=30kNmMFEF=-Pl=-202kNm=-40kNm(2)计算固端弯矩将各固端弯矩填入图21.5(b)所示相应位置。(3)按先B、D后C、E的顺序，依次在结点处进行力矩分配与传递，并求得各杆端的最后弯矩，如图21.5(b)所示。(4)作M图根据各杆端弯矩和荷载，用叠加法作弯矩图如图21.5(c)所示。将各固端弯矩填入图21.5(b)所示相应位置。【例21.5】试作图21.6(a)所示刚架的内力图。【解】(1)计算分配系数结点B：SBA=4iBA=4EI/8=0.5EISBC=4iBC=42EI/8=EIBA=SBA/(SBA+SBC)=0.333BC=SBC/(SBA+SBC)=0.667校核：0.333+0.667=1结点C：SCB=4iCB=EISCE=4iCE=42EI/8=EI【例21.5】试作图21.6(a)所示刚架的内力图。SCD=4iCD=4EI/8=0.5EICB=SCB/(SCB+SCD+SCE)=0.4CE=SCE/(SCB+SCD+SCE)=0.4CD=SCD/(SCB+SCD+SCE)=0.2校核：0.4+0.4+0.2=1将分配系数填入图21.6(b)的相应位置。(2)计算固端弯矩利用表19.2求得各杆的固端弯矩MFCE=-ql2/12=-53.3kNmMFEC=ql2/12=53.3kNmSCD=4iCD=4EI/8=0.5EI其余各固端弯矩均为零。将固端弯矩填入图21.6(b)所示的相应位置。(3)在结点C、B循环交替进行力矩分配与传递，并通过叠加求得各杆端最后弯矩，计算过程如图21.6(b)所示。(4)作M图根据杆端最后弯矩和荷载作弯矩图如图21.6(c)所示。(5)作Q图根据各杆的杆端弯矩及杆上的荷载，逐杆求出杆端剪力作剪力图。由图21.6(a)、(c)可见：AB、BC、CD各杆无荷载，其剪力均等于常数，且Q=-M杆端/l于是其余各固端弯矩均为零。将固端弯矩填入图21.6(b)所示QAB=QBA=0.7kNQBC=QCB=-2.8kNQCD=QDC=-2.2kN CE杆上作用有均布荷载，剪力图应是一斜直线。取CE杆为隔离体如图21.6(d)所示，由MC=0得QEC8+MEC-MCE+1/21082=0QEC=1/8(30.5-64.7-320)kN=-44.3kN由ME=0得QCE8+MEC-MCE-1/21082=0QCE=1/8(30.5+320-64.7)kN=35.7kN根据各杆端剪力，作剪力图如图21.6(e)所示。QAB=QBA=0.7kN(6)作轴力图利用结点力的平衡条件，由杆端剪力求出杆端轴力作轴力图。取结点B为隔离体如图21.6(f)所示。由X=0得 NBC=0.7kN(拉)由Y=0得 NBA=2.8kN(拉)取结点C为隔离体如图21.6(g)所示。由X=0得NCE+2.2-0.7=0,NCE=-1.5kN(压)由Y=0得NCD+2.8+35.7=0，NCD=-38.5kN(压)根据各杆端轴力作轴力图如图21.6(h)所示。(6)作轴力图利用结点力的平衡条件，由杆端剪力求出杆端图21.4 图21.4 图21.5 图21.5 图21.6 图21.6