函数极值充分条件课件

数学分析数学分析数学分析11 1 拉格朗日定理和函数的单调性拉格朗日定理和函数的单调性2 2 柯西中值定理和不定积分柯西中值定理和不定积分3 3 泰勒公式泰勒公式4 4 函数的极值和最大函数的极值和最大(小小)值值5 5 函数的凸性和拐点函数的凸性和拐点6 6 函数图像的讨论函数图像的讨论1 拉格朗日定理和函数的单调性第六章 微分中值定理及其应2第六章第六章 微分中值定理微分中值定理及其应用及其应用4 4 函数的极值和最大函数的极值和最大(小小)值值第六章 微分中值定理及其应用4 函数的极值和最大(小)值3 教学内容教学内容：函数的极值与最值：函数的极值与最值 教学重点教学重点：函数极值与最值的确定：函数极值与最值的确定 教学难点教学难点：函数极值充分条件：函数极值充分条件 教学要求教学要求：掌握函数极值的第一、第二充分条：掌握函数极值的第一、第二充分条 件，学会求闭区间上连续函数的最件，学会求闭区间上连续函数的最 值的基本方法值的基本方法 4 4 函数的极值与最大函数的极值与最大(小小)值值 教学内容：函数的极值与最值 4 函44 函数的极值与最大函数的极值与最大(小小)值值二、最大值与最小值二、最大值与最小值 极大极大(小小)值是局部的最大值是局部的最大(小小)值值,它它一、极值判别一、极值判别们将逐一研究函数的这些几何特征们将逐一研究函数的这些几何特征.有着很明显的几何特征有着很明显的几何特征.在本节中在本节中,我我4 函数的极值与最大(小)值二、最大值与最小值 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而且也是函数性态的一个重要特征且也是函数性态的一个重要特征 函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而且返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页函数极值充分条件课件费马定理告诉我们费马定理告诉我们.可微函数的极值点一定是稳可微函数的极值点一定是稳一、极值判别一、极值判别我们在这里再次强调我们在这里再次强调:费马定理是在函数可微的费马定理是在函数可微的定是水平的定是水平的.定点定点.也就是说也就是说,在曲线上相应的点处的切线一在曲线上相应的点处的切线一条件，费马定理的结论条件，费马定理的结论 就无从说起就无从说起.条件下建立的条件下建立的.换句话说，若没有可微这个前提换句话说，若没有可微这个前提费马定理告诉我们.可微函数的极值点一定是稳一、极值判别我们在当然，费马定理的逆命题亦不真当然，费马定理的逆命题亦不真.例如对于任意例如对于任意于是得极值的必要条件：于是得极值的必要条件：极值点极值点.的可微函数导数为零也不一定取得极值的可微函数导数为零也不一定取得极值.如幂函数如幂函数y=x3，在，在 x=0 可微函数的极值点一定是导数为零可微函数的极值点一定是导数为零.下面给出极值的充分条件下面给出极值的充分条件.当然，费马定理的逆命题亦不真.例如对于任意于是得极值的必定理定理6.10 (极值的第一充分条件极值的第一充分条件)设函数设函数 f(x)在在定理6.10 (极值的第一充分条件)设函数 f(x)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 是极值点情形是极值点情形 不是极值点情形不是极值点情形定理定理 6.10 的几何说明的几何说明 是极值点情形 不是极返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 根据导函数的符号判别函数单调性的方法，根据导函数的符号判别函数单调性的方法，可可出出(i)的证明，的证明，(ii)的证明类似的证明类似.以知道定理的几何意义十分明显以知道定理的几何意义十分明显.在这里仅给在这里仅给证明证明 利用导函数符号得出函数的单调性方法利用导函数符号得出函数的单调性方法.根据导函数的符号判别函数单调性的方法，可出(i)的于是于是于是返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页确定函数确定函数 的定义域，求出导函数的定义域，求出导函数 ；找出函数找出函数 的所有驻点（由的所有驻点（由 ）以及所有以及所有 不存在的点；不存在的点；利用第一充分条件，检查上述的点两侧邻近利用第一充分条件，检查上述的点两侧邻近 的符号（列表完成）。的符号（列表完成）。第一充分条件求极值的步骤归纳如下：第一充分条件求极值的步骤归纳如下：确定函数 的定义域，求出导函数 定理定理 6.11 (极值的第二充分条件极值的第二充分条件)设设 f(x)在点在点 x0证证 同样我们仅证同样我们仅证(i).因为因为 定理 6.11 (极值的第二充分条件)设 f(x)在所以由保号性，所以由保号性，由极值判别的第一充分条件得知由极值判别的第一充分条件得知:x0 是极小值点是极小值点.所以由保号性，由极值判别的第一充分条件得知:x0 是极小值返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注：只有二阶导数存在且不为零的驻点才可以只有二阶导数存在且不为零的驻点才可以 用本定理判别法；用本定理判别法；使用本定理时，一般要求二阶导数的计算相对使用本定理时，一般要求二阶导数的计算相对 较为容易；较为容易；证明证明 要点要点注注 建议同学们与教材上的证明方法相比较建议同学们与教材上的证明方法相比较,这这里里的证明方法更简单且具有一般性的证明方法更简单且具有一般性.注：只有二阶导数存在且不为零的驻点才可以 用本定理判别法例例1解解 由由求得稳定点求得稳定点只能用第一充分条件进行判别。只能用第一充分条件进行判别。对于二阶导数对于二阶导数 不存在的点、不可导的点，不存在的点、不可导的点，例1解 由求得稳定点只能用第一充分条件进行判别。对于所以所以(参见右图参见右图)424所以(参见右图)424例例2解解稳定点为稳定点为 x=0，没有不可导点没有不可导点.例2解稳定点为 x=0，没有不可导点.为了更好地加以判别，我们列表如下：为了更好地加以判别，我们列表如下：不存在不存在增增增增减减为了更好地加以判别，我们列表如下：不存在增增减即即是极小值是极小值.不存在不存在增增减减极小值极小值增增即是极小值.不存在增减极小值增请同学们自行讨论请同学们自行讨论.-11-2-11(1)-1-11O1(2)即即请同学们自行讨论.-11-2-11(1)-1-11O1(2)解解由定理由定理6.11,x=6是极小值点是极小值点,f(6)=108是极小值是极小值.试问试问这里为什么不考虑不可导点这里为什么不考虑不可导点 x=0?例例3.解由定理6.11,x=6是极小值点,f(6)=1返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例4 4 解解例4 解定理定理 6.12(极值的第三充分条件极值的第三充分条件)设设 f 在点在点 x0 的的某邻域内存在直到某邻域内存在直到对于对于 的情形的情形,可借助于更高可借助于更高阶的导数来判别阶的导数来判别.定理 6.12(极值的第三充分条件)设 f 在点 证证 由泰勒公式由泰勒公式,有有(ii)n 为奇数时为奇数时,不是极值点不是极值点.其中其中 它在某邻域它在某邻域 内恒与内恒与 同号同号.证 由泰勒公式,有(ii)n 为奇数时,函数极值充分条件课件这就说明这就说明了了 不是极值点不是极值点.例例5所以由第二判别法所以由第二判别法,解解这就说明了 不是极值点.例5所以由第二判别法,解求得极小值为求得极小值为因此因此 x=1 不是极值点不是极值点(n=3 是奇数是奇数).又因又因而对于稳定点而对于稳定点 却无法知道结果却无法知道结果,我们尝试我们尝试用用第三充分条件来进行判别第三充分条件来进行判别.由于由于求得极小值为因此 x=1 不是极值点(n=3 是奇(n=4是偶数是偶数).注注 第三充分条件并不是万能的第三充分条件并不是万能的.例如例如 x=0 是是所以无法用定理所以无法用定理 6.12 来判别来判别.(n=4是偶数).注 第三充分条件并不是万能的.二、最大值与最小值二、最大值与最小值 由连续函数的性质由连续函数的性质,若若 f(x)在在 a,b 上连续上连续,那那只可能在极值点、区间端点和不可导点之中取得只可能在极值点、区间端点和不可导点之中取得.一定是极大一定是极大(小小)值值.这也就告诉我们这也就告诉我们:最大最大(小小)值值区间内部区间内部(不是端点不是端点)取得最大取得最大(小小)值值,那么这个值那么这个值因为极大因为极大(小小)值是局部的最大值是局部的最大(小小)值值,故若函数在故若函数在值提供了强有力的保证值提供了强有力的保证.么一定有最大、最小值么一定有最大、最小值,这对求函数的最大这对求函数的最大(小小)二、最大值与最小值 由连续函数的性质,若 f(x)在下面具体介绍求函数最大下面具体介绍求函数最大(小小)值的方法值的方法.(3)设设(1)和和(2)的点为的点为 由前面的分由前面的分析析,可知可知 f(x)在在 a,b上有上有:下面具体介绍求函数最大(小)值的方法.(3)设(1)和例例6在在区区间间上的最大、最小值上的最大、最小值.解解例6在区间上的最大、最小值.解所以所以在在 x=0 连续，由导数极限定理推知连续，由导数极限定理推知故在故在 x=0 不可导不可导.所以在 x=0 连续，由导数极限定理推知故在 x=0所以所以 这样就得到不可导点为这样就得到不可导点为 0,稳定点为稳定点为 1,2.又因又因所以 这样就得到不可导点为 0,稳定点为 1,2.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页-0.500.511.522.500.511.522.533.544.55-0.500.511.522.500.511.522.533返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例7 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方程正比已知当速度为程正比已知当速度为1010（km/h）,燃料费为每燃料费为每小时小时6 6元，而其他与速度无关的费用为每小时元，而其他与速度无关的费用为每小时9696元问轮船的速度为多少时，每航行元问轮船的速度为多少时，每航行 1 1km 所消所消耗的费用最小？耗的费用最小？解解例7 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方程正比已知返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页函数极值充分条件课件上无极小值点上无极小值点.所以最小值只能在端点取到所以最小值只能在端点取到,故故 例例8 证明不等式：证明不等式：证证就是要证就是要证 F(x)的最小值非负的最小值非负.于是证得于是证得(见下图见下图)上无极小值点.所以最小值只能在端点取到,故 例8 10.050.10.15例例9 如图所示如图所示,剪去正方形剪去正方形时时,盒子的容积最大盒子的容积最大.去的小正方形的边长为何值去的小正方形的边长为何值 制成一个无盖的盒子制成一个无盖的盒子,问剪问剪 四角同样大小的小正方形后四角同样大小的小正方形后 10.050.10.15例9 如图所示,剪去正方形时,解解 设正方形的边长为设正方形的边长为 a,每一个小正方形的边长每一个小正方形的边长因为因为为为 x，则盒子的容积为，则盒子的容积为 解 设正方形的边长为 a,每一个小正方形的边长因为为 x，仅有唯一的极值仅有唯一的极值,那么这个极那么这个极(大大)值一定是最大值一定是最大例例10 设某商店每天向工厂按出厂价每件设某商店每天向工厂按出厂价每件3元购进元购进小正方形后，得到最大容积为小正方形后，得到最大容积为 的无盖盒子的无盖盒子.值值.所以问题的解为所以问题的解为:在四个角上截取边长为在四个角上截取边长为 的的 为为 400 件件.若零售价每降低若零售价每降低 0.05元，可多售元，可多售 40 件件,一批商品零售一批商品零售,若零售价定为每件若零售价定为每件 4 元元,估计销售量估计销售量仅有唯一的极值,那么这个极(大)值一定是最大例10 设解解 设每件定价为设每件定价为 p，购进，购进 x 件件(应该全部卖完应该全部卖完),问每件定价多少和从工厂购进多少时才能获得最问每件定价多少和从工厂购进多少时才能获得最大利润大利润.则利润为由条件则利润为由条件 p 与与 x 的关系为的关系为解 设每件定价为 p，购进 x 件(应该全部卖完),结论：结论：(1)定价为定价为 3.75 元元/件时可获最大利润件时可获最大利润 450 元元;(2)应从工厂购进应从工厂购进 L(3.75)=450(元元)是极大值是极大值.因为因为 L(p)在所讨论的在所讨论的区间上仅有一个极值，所以区间上仅有一个极值，所以 L(3.75)就是最大值就是最大值.结论：(1)定价为 3.75 元/件时可获最大利复习思考题复习思考题1.若若 f(x)在在 x0 取极大值，是否可断定在取极大值，是否可断定在 x0 充充分分2.若若 f(x)在区间在区间 I 上连续，且仅有惟一的极值点上连续，且仅有惟一的极值点考察例子考察例子:小邻域内小邻域内,f(x)在在 x0 的左侧递增，右侧递减？的左侧递增，右侧递减？试试 必为必为 I 上的最大上的最大(小小)值？值？x0。试问当试问当 f(x0)为极大为极大(小小)值时，为什么值时，为什么 f(x0)复习思考题1.若 f(x)在 x0 取极大值，是否可断返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)小结小结极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页小结小结最值问题的两种类型：最值问题的两种类型：(1)求出求出给定解析式给定解析式的导数的导数f(x)；令令f(x)=0，求出驻点；，求出驻点；(2)求出驻点处的函数值以及端点处的函数值；求出驻点处的函数值以及端点处的函数值；(3)比较这些值的大小，其中最大的就是函数的最大值，比较这些值的大小，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是最大值最小的就是最大值.1.已知函数解析式及闭区间求最值已知函数解析式及闭区间求最值.2.实际问题求最值实际问题求最值.(1)根据题意建立函数关系式根据题意建立函数关系式 y=f(x)；(2)根据实际问题确定函数的定义域；根据实际问题确定函数的定义域；(3)求出函数求出函数y=f(x)的导数，令的导数，令f(x)=0，求出驻点；求出驻点；若定义域为开区间且驻点只存一个，则由题意判定函数若定义域为开区间且驻点只存一个，则由题意判定函数 存在最大或最小值，则该驻点所对应函数值就是所求存在最大或最小值，则该驻点所对应函数值就是所求.小结最值问题的两种类型：(1)求出给定解析式的导数f(返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页思考题思考题下命题正确吗？下命题正确吗？思考题下命题正确吗？返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页思考题解答思考题解答不正确不正确例例思考题解答不正确例返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在在1和和1之间振荡之间振荡故命题不成立故命题不成立在1和1之间振荡故命题不成立作作 业业第第 146-147 页页 A 类：类：1（1）（）（3），），3，4（1）（）（3），），6，9；B 类：类：5；讨论：讨论：13作 业第 146-147 页