统计基础五课件

第五章第五章 平均指标及平均指标及变异指标变异指标 本章相关内容 第一节第一节 平均指标的概念和作用平均指标的概念和作用第二节第二节 算术平均数和调和平均数算术平均数和调和平均数第三节第三节 中位数和众数中位数和众数第四节第四节 标志变异指标标志变异指标目标要求目标要求能力（技能）目标能力（技能）目标知识目标知识目标能正确熟练运用平均能正确熟练运用平均指标及变异指标方法指标及变异指标方法进行分析；进行分析；能从集中和离中趋势能从集中和离中趋势两个方面认识统计数两个方面认识统计数据所反应的特征与规据所反应的特征与规律，进而把握事物的律，进而把握事物的本质和规律性。本质和规律性。掌握几种平均数的特点；掌握几种平均数的特点；掌握几种平均数的应用掌握几种平均数的应用范围及计算方法；范围及计算方法；掌握变异指标的概念；掌握变异指标的概念；掌握变异指标的特点及掌握变异指标的特点及计算方法。计算方法。第一节第一节 平均指标平均指标平平均均指指标标是总体内各单位某一数量标志值是总体内各单位某一数量标志值一般水平或代表水平的指标。一般水平或代表水平的指标。采用平均数可以使同质总体中的采用平均数可以使同质总体中的各个总体单位某一数量标志值之各个总体单位某一数量标志值之间的差异程度互相抵消，反映社间的差异程度互相抵消，反映社会经济现象的一般水平。会经济现象的一般水平。)平均指标是同一总体的标志总量与单位平均指标是同一总体的标志总量与单位总量的比值，而强度相对指标则是两个不总量的比值，而强度相对指标则是两个不同总体的总量指标的对比同总体的总量指标的对比)分子中的每一个指标值在分母中都有相分子中的每一个指标值在分母中都有相应的个体来承担。应的个体来承担。注：注：1、分子、分母都是针对同一总体的指标、分子、分母都是针对同一总体的指标2、强度指标与平均指标的区别强度指标与平均指标的区别第一节第一节 平均指标的概念和作用平均指标的概念和作用2.2.平均指标的种类平均指标的种类平均指标平均指标数值平均数数值平均数位置平均数位置平均数 算术平均数、调和平均数、算术平均数、调和平均数、几何平均数几何平均数众数、中位数众数、中位数第一节第一节 平均指标的概念和作用平均指标的概念和作用2平均指标平均指标是一个是一个抽象化抽象化的的数值数值 1平均指标平均指标是一个是一个代表值代表值 3、平均指标的特点3平均指标平均指标反映反映总体总体分布的分布的集中趋势集中趋势 4平均数可平均数可以有小数，以有小数，对离散变对离散变量也是如量也是如此此4、平均指标的作用概括地说明总体数量集中趋势便于对比分析 是制定定额计划的重要依据反映现象数量内在规律性分析现象之间的依存关系用来估计、推算和计算其他有关的指标第二节第二节 数值平均数的计算方法数值平均数的计算方法（一）算术平均数算术平均数是同一总体内的标志总量除以算术平均数是同一总体内的标志总量除以总体单位总量。总体单位总量。基本公式如下：算术平均数=1.1.只有数量标志才有标志总量，才能计算平均数只有数量标志才有标志总量，才能计算平均数2.2.基本公式中的分子和分母，必须是同一总体基本公式中的分子和分母，必须是同一总体的两个总量指标；的两个总量指标；3.3.平均数与强度相对数在实质上是不同的。平平均数与强度相对数在实质上是不同的。平均指标是在一个同质总体内标志总量和单位总均指标是在一个同质总体内标志总量和单位总量的对比关系。它要求标志总量和单位总量相量的对比关系。它要求标志总量和单位总量相适应。适应。运用该公式应注意的问题：运用该公式应注意的问题：(二二)简单算术平均数简单算术平均数简单算术平均数是指各个标志值加总得到标志总量，然后除以总体单位总量，是计算未分组资料算术平是计算未分组资料算术平均数的方法。均数的方法。公式形式：公式形式：例：某生产小组例：某生产小组5名工人，其日产量分别为名工人，其日产量分别为20、22、24、28、30件，则：平均每人日产量为件，则：平均每人日产量为 （三）加权算术平均数（三）加权算术平均数 加权算术平均法是用来计算分组资料的算术平加权算术平均法是用来计算分组资料的算术平均数的方法。均数的方法。公式形式：公式形式：）权重以绝对数表示：）权重以相对数表示：按日产量分组按日产量分组工人数工人数20212223245121896合计合计50例：例：日产量（件）日产量（件）工人数（人）工人数（人）各组工人数所占的比重（各组工人数所占的比重（%）80以下以下809090100100以上以上24060012009608.020.040.032.0合计合计3000100.0二、调和平均数二、调和平均数在实际统计工作中，有时由于所取得的资料无法直接用算在实际统计工作中，有时由于所取得的资料无法直接用算术平均数计算，需要用调和平均数的形式间接计算出算术术平均数计算，需要用调和平均数的形式间接计算出算术平均数。平均数。1调和平均数的含义调和平均数的含义 调和平均数是标志值倒数的算术平均数的倒数。所以又调和平均数是标志值倒数的算术平均数的倒数。所以又叫倒数平均数叫倒数平均数2.调和平均数公式形式调和平均数公式形式（1）简单调和平均数公式：）简单调和平均数公式：例例：有某种水果在甲、乙、丙三个农贸市场的价格分有某种水果在甲、乙、丙三个农贸市场的价格分别为别为1.001.00元元/千克、千克、0.900.90元元/千克、千克、0.900.90元元/千克。如千克。如果在这三个农贸市场各买果在这三个农贸市场各买1 1元钱的水果，那么平均每元钱的水果，那么平均每千克水果的价格应为多少？千克水果的价格应为多少？（二）加权调和平均数（二）加权调和平均数公式形式：公式形式：加权算术加权算术平均数平均数例：某种水果在甲、乙、丙三个农贸市场上的价格及销售情况如表：例：某种水果在甲、乙、丙三个农贸市场上的价格及销售情况如表：市场市场价格（元价格（元/千克）千克）销售额（元）销售额（元）甲甲乙乙丙丙1.001.000.900.900.800.80100010002500250020002000合计合计55005500平均价格m为权数算术平均法与调和平均法的实际运用中如何算术平均法与调和平均法的实际运用中如何选择选择1.1.写出算术平均法的具体公式；写出算术平均法的具体公式；2.2.找出所缺的分子资料或分母资料；找出所缺的分子资料或分母资料；3.3.选择公式；选择公式；4.4.确定何为变量、何为权数，并进行计算。确定何为变量、何为权数，并进行计算。算术平均数和调和平均数并没有本质上的区别，二者采用算术平均数和调和平均数并没有本质上的区别，二者采用的基本计算方法是相同的，都是用标志总量除以单位总量。的基本计算方法是相同的，都是用标志总量除以单位总量。只不过在实际工作中，由于掌握资料的不同需要进行一定只不过在实际工作中，由于掌握资料的不同需要进行一定的数学变换。具体应用选择中可按以下步骤：的数学变换。具体应用选择中可按以下步骤：例：某企业本周分四批购进某材料，资料如表。计算这某企业本周分四批购进某材料，资料如表。计算这四批材料的平均价格。四批材料的平均价格。价格（元价格（元/千克）千克）采购量（千克）采购量（千克）采购金额（元）采购金额（元）第一批第一批第二批第二批第三批第三批第四批第四批35404448合计合计1450154005900096001400020000采购量已知时：采购量已知时：采购金额已知时：采购金额已知时：400500350200随堂训练随堂训练：算术平均数与调和平均数的选择运用举例算术平均数与调和平均数的选择运用举例1.1.根据各组的相对数计算总体相对数根据各组的相对数计算总体相对数 某公司某公司1010个企业产值完成情况资料如表，要求个企业产值完成情况资料如表，要求计算该公司的产值计划完成程度。计算该公司的产值计划完成程度。计划完成程度计划完成程度（%）企业数企业数（个）（个）实际总产值实际总产值（万元）（万元）计划总产值计划总产值（万元）（万元）901001001101101202531019084057520050080015001605190840540计划总产值已知时计算公式如下：计划总产值已知时计算公式如下：实际总产值已知时计算公式如下：实际总产值已知时计算公式如下：2.2.根据各组的平均数计算总体平均数根据各组的平均数计算总体平均数例：某村粮食产量情况如表，要求计算该村粮食的例：某村粮食产量情况如表，要求计算该村粮食的平均单产。平均单产。播种面积播种面积总产量总产量（万千克）（万千克）单产单产（千克（千克/公顷）公顷）绝对数（公顷）绝对数（公顷）比重（比重（%）山地山地丘陵丘陵平原平原1818909072721010505040404.324.3254.0054.00108.00108.0024002400600060001500015000合计合计180180100100166.32166.32?播种面积绝对数已知时播种面积绝对数已知时播种面积相对数已知时播种面积相对数已知时粮食总产量已知时粮食总产量已知时三、三、几何平均数几何平均数1概念概念几何平均数是计算平均比率和平均发展速度比较适宜的方法。它是将构成总体的各个变量值连乘积后开该变量值的个数次方而得出的。2几何平均数的计算几何平均数的计算(1)简单几何平均数 1994-1998年我国工业品的产量分别是上年的107.6%、102.5%、100.6%、102.7%、102.2%，计算这5年的平均发展速度。(2)加权几何平均数 某投资银行25年的年利率分别是：1年3%，4年5%，8年8%，10年10%，2年15%，求平均年利率。如果掌握的是分组资料，则必须采用加权几何平均数计算方法计算。计算公式为：举例例1某机械厂有4个连续流水线作业的车间，本月份毛坯车间制品合格率为95%，粗加工车间合格率为92%，精加工车间合格率为90%，装配车间合格率为85%，求4个车间的平均合格率。例2.某商品从出厂到一级批发站毛利率为8%，一级到二级批发站毛利率为10%，二级站到零售商毛利率为10%，零售店到消费者毛利率为15%，求该商品4个环节平均每个环节的毛利率例3.投资银行某笔投资的年利率是按复利计算的，25年的年利率分别是有1年是3%，有4年是5%，有8年是8%，有10年是10%，有2年是15%，求平均年利率。（一）未分组资料确（一）未分组资料确定中位数定中位数首先将标志值按大小顺首先将标志值按大小顺序排列序排列 项数为奇数项数为奇数:居于中间居于中间的单位的标志值的单位的标志值 项数为偶数项数为偶数:中位数为中位数为居于中间的那两个单位居于中间的那两个单位标志值的平均值标志值的平均值 一、中位数一、中位数概念概念 中位数是将总体各单位的标志值按大小顺序排列，中位数是将总体各单位的标志值按大小顺序排列，处于数列中点位置的标志值为中位数处于数列中点位置的标志值为中位数.一般用字母一般用字母Me表示。表示。未分组未分组资料资料未分组未分组资料资料未分组未分组资料资料单项式单项式分组资料分组资料计计算算组距组距分组资料分组资料未分组未分组资料资料第三节 位置平均数的计算 位置平均数是另一种形式的平均指标，它们不是根据总体的全部标志值或变量值计算的，而是根据其在总体中所处的位置确定的。因此，称为位置平均数。（一）未分组资料确定中位数（一）未分组资料确定中位数首先将标志值按大小顺序排列首先将标志值按大小顺序排列 项数为奇数项数为奇数:居于中间的单位的标志值居于中间的单位的标志值 项数为偶数项数为偶数:中位数为居于中间的那两中位数为居于中间的那两 个单位标志值的平均值个单位标志值的平均值 未分组未分组资料资料未分组未分组资料资料未分组未分组资料情况下资料情况下的计算的计算第三节 位置平均数的计算 随堂训练：随堂训练：某班7个学生的数学成绩依次排列为65分，75分，78分，82分，89分，91分，95分，则该数列的中点位次为：Om=（7+1）2=4 所以，排在第4位的标志值即为中位数，即82分。若有8位学生的成绩，他们依次为65分，68分，75分，78分，82分，89分，91分，95分，则该数列的中点位次为：Om=（8+1）2=4.5 4.5在第4和第5位次中间，则中位数为第4、第5位次对应的标志值的算术平均数。即Me=（78+82）2=80分。（二）单项式分组资料确定中位数（二）单项式分组资料确定中位数 再根据位次用较小累计次数或较大累计次数的方法将次累计次数刚超过中位数位次的组确定为中位数组，该组的标志值即为中位数 按日产零件分组按日产零件分组（件）（件）工人数（人）工人数（人）向上累计次数向上累计次数263132343641310142718831327547280合计合计80中位数位置=80/2=40中位数值=34。用公式 确定中位数的位次 3131 （三）组距分组资料确定中位数（三）组距分组资料确定中位数 用公式 确定中位数的位次 下限公式:上限公式:式中，L表示中位数组的下限；U表示中位数组的上限；fm表示中位数组的次数；Sm-1 表示中位数组以前各组的次数之和；Sm+1表示中位数组以后各组的次数之和；d表示中位数组的组距。学生成绩（分）学生成绩（分）学生人数学生人数（人）（人）人数向上累人数向上累计计人数向下累计人数向下累计50以下以下506060707080809090以上以上241446104262066768080787460144合计合计80中位数位次中位数所在组：7080这一组随堂训练：某校管理专业学生统计成绩如下，求中位数1众数的概念众数是总体中出现次数最多的标志值。它能直观地说众数是总体中出现次数最多的标志值。它能直观地说明客观现象分配中的集中趋势，用字母明客观现象分配中的集中趋势，用字母MM0 0表示。表示。2众数的计算方法 下限公式下限公式 上限公式上限公式 式中，M0 表示众数；L 表示众数组的下限；U 表示众数组的上限；1表示众数组次数与前一组次数之差；2表示众数组次数与后一组次数之差；d 表示众数组的组距。二、众数二、众数众数的特点众数的特点众数是位置平均数，不受极端数值的影响。众数只有在总体单位数多，而且具有明显的集中趋势时，才有合理的代表性和现实意义。当总体单位数少，或者总体单位数虽多，但无明显集中趋势时，就不存在众数。学生成绩x学生人数f学生人数比重（%）50以下506060707080809090以上2414461042.55.017.557.512.55.0合计80100.0随堂训练：某校管理专业学生计算机成绩如下，求众数1.在对称正态分布时有：Mo=Me=2.在非对称正态分布时，三者之间有差异。当变量的次数分布左偏时，有 MoMe ；当变量的次数分布右偏时，有 MoMe 。英国统计学家卡尔英国统计学家卡尔.皮尔逊根据其经验认为：当正态分布适度偏态时，三皮尔逊根据其经验认为：当正态分布适度偏态时，三者之间还存在如下的近似关系：者之间还存在如下的近似关系：三、各种平均数之间的关系三、各种平均数之间的关系第四节第四节 变异指标变异指标一、变异指标概念变异指标是综合反映总体各单位标志值之间差异程度的指标,体现变量值的离中趋势。2变异指标和平均指标的区别：（一）两者都是一个代表值，但代表的内容不同；（二）两者对变量值差异的处理不同；（三）平均指标体现变量值的集中趋势；变异指标体现变量值的离中趋势。第四节第四节 标志变异指标标志变异指标3、标志变异指标的作用：1.衡量平均指标代表性的大小的尺度。2.研究现象的稳定性和均衡性。3.测定现象变动的均匀性或稳定性程度。全距全距也称极差，是也称极差，是测定标志变异测定标志变异程度反映总体程度反映总体标志值的变动标志值的变动范围。范围。离散系数离散系数是以相对数形是以相对数形式表示的变异式表示的变异指标，又称变指标，又称变异系数。异系数。平均差平均差是各单位标志值是各单位标志值对其算术平均数对其算术平均数的离差绝对值的的离差绝对值的算术平均数。算术平均数。标准差标准差是总体中各单位是总体中各单位标志值与算术平标志值与算术平均数的离差平方均数的离差平方和的算术平均数和的算术平均数的平方根，又称的平方根，又称均方差。均方差。二、常用标志变异指标二、常用标志变异指标1、全距、全距 全距最大标志值最小标志值全距最大标志值最小标志值 R=Xmax-Xmin全距是测定标志变异程度的最简单的指标，全距是测定标志变异程度的最简单的指标，它是标志的最大值和最小值之差，反映总体它是标志的最大值和最小值之差，反映总体标志值的变动范围，标志值的变动范围，用 R 表示。例.两组工人的工资数据（单位；元）如下：甲:900 1000 1100 1200 1280 1480 2000乙:1200 1250 1400 1500 1560 1700 1750 工资的全距，甲组为1100元，乙组为550元，说明甲组工人工资水平差别比乙组工人工资水平差别大。某年上证指数全距资料某年上证指数全距资料全距的优缺点优点：优点：计算简单。缺点：缺点：但提供的信息不全面。不能全面反映标志值的离散程度。如果极端数值相差较大，而中间数值分布比较均匀时，全距便不能确切反映其离散程度。(二二)平均差平均差计算公式计算公式 概念：平均差是各单位标志值对其算术平均数的离差绝对概念：平均差是各单位标志值对其算术平均数的离差绝对值的算术平均数，反映的是各标志值对其平均数的平均差值的算术平均数，反映的是各标志值对其平均数的平均差异程度，用异程度，用A.D.表示。表示。简单式平均差简单式平均差适用未分组资料适用未分组资料加权式平均差加权式平均差适用已分组资料适用已分组资料 优点：能全面反映总体各标志值的变动范围缺点：不可导，不便于进行进一步的计算分析随堂训练：按日产量分组（千克）工人数（人）f组中值X60以下60707080809090100100110110以上以上10195036271485565758595105115-27.62-17.62-7.622.3812.3822.3832.38276.2334.838185.68334.3313.3259合计1641984.28平均差 12.099平均差的计算平均差的计算(三三)标准差标准差标准差公式标准差公式 标准差是总体中各单位标志值与算术平均数的离差平方的算术平均标准差是总体中各单位标志值与算术平均数的离差平方的算术平均数的平方根，又称为均方差。数的平方根，又称为均方差。标准差的平方称为方差，它是描述变量之间差异标准差的平方称为方差，它是描述变量之间差异程度的重要指标。程度的重要指标。简单式标准差简单式标准差适用适用未分组资料未分组资料加权式标准差加权式标准差适用适用分组资料分组资料(三三)标准差标准差缺点：缺点：能全面反映总体分布的差异情况；能全面反映总体分布的差异情况；用平方法消除正负符号，更便于数学上的处理；用平方法消除正负符号，更便于数学上的处理；具有更广泛的数学性质。具有更广泛的数学性质。尤其在数理统计中，标准差的应用更为广泛。尤其在数理统计中，标准差的应用更为广泛。优点：优点：计算较麻烦计算较麻烦随堂训练随堂训练 标准差的计算标准差的计算已知某企业工人工资资料如下表，计算其工资的平均差、标准差。已知某企业工人工资资料如下表，计算其工资的平均差、标准差。工资的平均数为：工资的平均差为：工资的标准差为：按工资水平分组（元）组中值工人人数工资总额离差绝对值离差绝对值乘权数1000以下7509675075067501000-15001250151875025037501500-20001750183150025045002000以上22508180007506000合计-5075000-21000(四四)标志变动系数标志变动系数变异系数的应用条件是：变异系数的应用条件是：当所对比的两个总体其平均数不同或计当所对比的两个总体其平均数不同或计量单位不同时，要用标准差系数进行比较。量单位不同时，要用标准差系数进行比较。变异系数大变异系数大,则说明越分散则说明越分散,代表性要低代表性要低 变异系数小变异系数小,说明要集中一些说明要集中一些,平均数代表性要强一些平均数代表性要强一些标志变动系数是标志变异指标与算术平均数之比，用V表示，通常又将其成为变异系数。它反映的是单位平均水平下标志值的离散程度。p经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量pStudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe写在最后感谢聆听不足之处请大家批评指导Please Criticize And Guide The Shortcomings结束语讲师：XXXXXX XX年XX月XX日