数学分析ppt课件之第一章实数集与函数

第一章第一章 实数集与函数实数集与函数1 1 实数实数2 2 数集数集 确界原理确界原理3 3 函数的概念函数的概念4 4 复合函数与反函数复合函数与反函数第一章 实数集与函数1 实数2 数集 确界原理11.1 1.1 实数实数一一.实数及其性质实数及其性质二二.绝对值与不等式绝对值与不等式1.1 实数一.实数及其性质二.绝对值与不等式2 若若规定定：则有限十进小数都能表示成无限循环小数则有限十进小数都能表示成无限循环小数.实实数数对正整数对正整数对正整数对正整数对负有限小数（包括负整数）对负有限小数（包括负整数）对负有限小数（包括负整数）对负有限小数（包括负整数）y,y,先将先将先将先将-y-y表示成无限小表示成无限小表示成无限小表示成无限小数，再在无限小数前加负号如数，再在无限小数前加负号如数，再在无限小数前加负号如数，再在无限小数前加负号如:-8=-7.999:-8=-7.999一一 .实数及其性质：实数及其性质：1.回顾中学中关于有理数和无理数的定义回顾中学中关于有理数和无理数的定义.若规定：则有限十进小数都能表示成3说明:对于负实数x,y,若有-x=-y与-x -y,则分别称x=y与x x)2.两个实数的大小关系 说明:.自然规定任何非负实数大于任何负实数.)2,1(,2,1,.90,90),2,1(,.,.110000210210 xyyxx，yyxbalkbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxllkkkkkkkknn或分别记为小于或大于则称而使得或存在非负整数若记为相等与则称若有为整数为非负整数其中 给定两个非负实数LLLLLLL 1)定义1 说明:对于负实数x,y,若有-x=-y与-x -y4定定义2 设 为实数x的n位不足近似位不足近似，而有理数 称为x的n位位过剩近似，剩近似，n=0,1,2,.为非负实数.称有理数2)通过有限小数比较大小的等价条件通过有限小数比较大小的等价条件定义2 设 为实数x的n位不足近似，而有理数称为x的5 对于于负实数数其n位不足近似位不足近似和n位位过剩近似剩近似分别规定为和 注意：注意：对任何实数x,有,对于负实数其n位不足近似和n位过剩近似分别规定为和注意：对6命题1 设实数的性质 1.实实数数集集R对对加加,减减,乘乘,除除(除除数数不不为为0)四四则则运运算算是是封封闭闭的的.即即任任意意两两个个实实数数和和,差差,积积,商商(除除数数不不为为0)仍然是实数仍然是实数.2.实实数数集集是是有有序序的的.即即任任意意两两个个实实数数a,b必必满满足足下下述三个关系之一述三个关系之一:a b.为两个实数，则为两个实数，则命题1 设实数的性质 1.实数集R对加,减,73.实实数数集集的的大大小小关关系系具具有有传传递递性性.即即若若a b,b c,则则有有ac.5.实实数数集集R具具有有稠稠密密性性.即即任任何何两两个个不不相相等等的的实实数数之之间间必必有另一个实数有另一个实数,且既有有理数且既有有理数,也有无理数也有无理数.6.实实数数集集R与与数数轴轴上上的的点点具具有有一一一一对对应应关关系系.即即任任一一实实数数都都对对应应数数轴轴上上唯唯一一的的一一点点,反反之之,数数轴轴上上的的每每一一点点也也都都唯唯一的代表一个实数一的代表一个实数.,0,.4 b na n a b R b a,使得使得 则存在正整数则存在正整数 若 即对任何即对任何 实数具有阿基米德性实数具有阿基米德性 3.实数集的大小关系具有传递性.即若a b,b c8例1 证明 例2 证明 .:,yrxr，yx满足存在有理数证明为实数设.,)(21.,yrxyyrxx，ryxryxn，yxnnnnnn即得且有为有理数则令使得故存在非负整数由于.,:,babaRba则有若对任何正数证明设ee.,.bababababa,从而必有矛盾这与假设为正数且则令有则根据实数的有序性假若结论不成立用反证法eeee例1 证明 例2 证明 .:9a0-a二二.绝对值与不等式与不等式从数从数轴上看上看的的绝对值就是到原点的距离：就是到原点的距离：绝对值定义：绝对值定义：a0-a二.绝对值与不等式从数轴上看的绝对值就是到原点的距10绝对值的一些主要性质绝对值的一些主要性质绝对值的一些主要性质11性性质4（三角不等式）的（三角不等式）的证明：明：由此可推出性质4（三角不等式）的证明：由此可推出12几个重要不等式几个重要不等式:均值不等式:(算术平均值)(几何平均值)(调和平均值)几个重要不等式:均值不等式:(算术平均值)(几何平均值13有平均值不等式:等号当且仅当 时成立.Bernoulli 不等式:有平均值不等式:等号当且仅当 14 利用二项展开式得到的不等式:由二项展开式 利用二项展开式得到的不等式:由二项展开式15The Class is over.Goodbye!The Class is over.Goodbye!162 数集数集确界原理确界原理。2 数集确界原理17数学分析ppt课件之第一章实数集与函数18 无限区无限区间间 无限区间19xx20（见下页示图）（见下页示图）21数学分析ppt课件之第一章实数集与函数22数学分析ppt课件之第一章实数集与函数23MM2M1上确界上界 m2mm1下确界下界MM2M1上确界上界 m2mm1下确界下界24数学分析ppt课件之第一章实数集与函数25确确26数学分析ppt课件之第一章实数集与函数272、3、上2、3、上281.3 函数概念函数概念一一.映射映射二二.函数的概念函数的概念三三.几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例四四.函数的性质函数的性质1.3 函数概念映射29一、映射定义定义1 1：设设X 与与 Y 是两个非空集合，若对是两个非空集合，若对 X中的每一个元素中的每一个元素 x，均可找到，均可找到 Y 中唯一确定的中唯一确定的元素元素 y 与之对应，则称这个对应是集合与之对应，则称这个对应是集合X 到集合到集合 Y 的一个映射，记为的一个映射，记为 f，或者更详细地写，或者更详细地写将将 x 的对应元的对应元 y 记作记作1.映射的概念一、映射定义1：设X 与 Y 是两个非空集合，若对 X中的每30并称并称 y 为映射为映射 f 下下 x 的的像像，而，而 x 称为映射称为映射 f 下下 y 的的原像原像(或称为或称为逆像逆像).集合集合 X 称为映射称为映射 f 的的定义域定义域，记作记作，而，而 X 的所有元素的像的所有元素的像f(x)的集的集合合称为映射称为映射 f 的的值域值域，记为，记为并称 y 为映射 f 下 x 的像，而 x 称为映射 f 下31 概括起来，构成一个映射必须具备下列三概括起来，构成一个映射必须具备下列三个个基本要素基本要素：有唯一有唯一确定的确定的 y=f(x)与之对应与之对应.需要指出的是：需要指出的是：（1）映射要求元素的像必须是唯一的）映射要求元素的像必须是唯一的.（2）映射并不要求元素的逆像也是唯一的）映射并不要求元素的逆像也是唯一的.概括起来，构成一个映射必须具备下列三个基本要32定义定义2 2：设设 f 是集合是集合X 到集合到集合Y 的一个映射，的一个映射，若若 f 的逆像也是唯一的，即对的逆像也是唯一的，即对X 中的任意两中的任意两个不同元素个不同元素 x1 x2，它们的像，它们的像 y1 与与 y2 也满也满足足 y1 y2，则称，则称 f 为为单射单射；如果映射如果映射 f 满足满足 Rf=Y，则称，则称 f 为为满射满射；如果映射如果映射 f 既是单射，既是单射，又是满射，则称又是满射，则称 f 为为双射双射（又称一一对应（又称一一对应）.2 一一对应定义2：设 f 是集合X 到集合Y 的一个映射，若 f 的333.逆映射逆映射：逆映射：如果映射如果映射 f 既是单射，又是满射，则既是单射，又是满射，则 逆映射，逆映射，3.逆映射逆映射：如果映射344.4.复合映射：复合映射：那就可以构造出一个那就可以构造出一个和和新的对应关系新的对应关系复合映射复合映射.4.复合映射：那就可以构造出一个和新的对应关系复合映射.35 二二 函数概念函数概念 函数是整个高等数学中最基本的研究函数是整个高等数学中最基本的研究对象象,可以可以说数学分析就是研究函数的数学分析就是研究函数的.因此我因此我们对函数的概念以及常函数的概念以及常见的一些函数的一些函数应有一个清楚有一个清楚的的认识.二 函数概念 36例例 圆内接正多边形的周长圆内接正多边形的周长圆内接正圆内接正n 边形边形Or)例 圆内接正多边形的周长圆内接正n 边形Or)37因变量因变量自变量自变量D 称为称为定义域，定义域，记作记作Df，即，即 Df=D.函数值的全体构成的数集称为函数值的全体构成的数集称为值域，值域，记为：记为：因变量自变量D 称为定义域，记作Df，即 Df=D.38对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素:定义域定义域与与对应法则对应法则.自变量自变量因变量因变量约定约定:定义域是自变量所能取的使算式有定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值意义的一切实数值.对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.自变量因变量约定:39定义定义:如果自变量在定如果自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时，对应的函数值总时，对应的函数值总是只有一个，这种函是只有一个，这种函数叫做单值函数，否数叫做单值函数，否则叫做多值函数则叫做多值函数定义:如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总40 表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法(公式法).用图形法表示函数是基于函数图形的概念,坐标平面上的 函数的表示法 表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、41 单值函数与多值函数 在函数的定义中在函数的定义中,对每个对每个x D,对应的函数值对应的函数值y总是总是唯一的唯一的,这样定义的函数称为单值函数这样定义的函数称为单值函数.如果给定一个对应法则如果给定一个对应法则,按这个法则按这个法则,对每个对每个x D,总有确定的总有确定的y值与之对应值与之对应,但这个但这个y不总是唯一的不总是唯一的,我们称我们称这种法则确定了一个多值函数这种法则确定了一个多值函数.例如,由方程x2y2r2确定的函数是一个多值函数:下页 此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支 单值函数与多值函数 例如,由42 此函数称为绝对值函数,其定义域为D(-,+),其值域为Rf 0,+).(2)(1)常值函数 yc.其定义域为D(-,),其值域为Rf c.下页三几个特殊的函数举例三几个特殊的函数举例 此函数称为绝对值函数,(243 (3)符号函数符号函数 其定义域为D(-,+),其值域为Rf-1,0,1.(3)符号函数 44(4)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大的最大整数整数阶梯曲线阶梯曲线其定义域为D=(-,+),其值域为 =Z.(4)取整函数 y=x阶梯曲线45（5）“非负小数部分”函数它的定义域是（5）“非负小数部分”函数它的定义域是46有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(6)狄利克雷函数狄利克雷函数其定义域为D=(-,+),其值域为 =0,1.有理数点无理数点1xyo(6)狄利克雷函数其定义域为47(7)取最值函数取最值函数yxoxo(7)取最值函数yxoxo48在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用对应法则用不同的不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.分段函数分段函数在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,49例例1 1脉冲发生器产生一个单三角脉冲脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图其波形如图所示所示,写出电压写出电压U与时间与时间 的函数关系式的函数关系式.解解单三角脉冲信号的电压单三角脉冲信号的电压例1脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U50数学分析ppt课件之第一章实数集与函数51例例2 2解解故故例2解故52四、复合函数四、复合函数 在实际问题中，有很多比较复杂的函数是由在实际问题中，有很多比较复杂的函数是由几个比较几个比较 简单的函数简单的函数“叠置叠置”而成的，如在简而成的，如在简谐振动中位移谐振动中位移y与时间与时间 t 的函数关系的函数关系就是由三角函数就是由三角函数和线性函数和线性函数“叠置叠置”而成的，而成的，四、复合函数 在实际问题中，有很多比较复杂的函数是53定义定义:注意注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;复合条件复合条件定义:注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;54复合函数的定义域复合函数的定义域复合条件在实际应用时常取形式复合条件在实际应用时常取形式内层函数的值域落在外层函数的定义域之内内层函数的值域落在外层函数的定义域之内2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成.复合函数的定义域复合条件在实际应用时常取形式内层函数的值域落55数学分析ppt课件之第一章实数集与函数56数学分析ppt课件之第一章实数集与函数57数学分析ppt课件之第一章实数集与函数58五、反函数DWDW反函数反函数.五、反函数DWDW反函数.59的反函数，记为 反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域 显然有 (恒等变换）(恒等变换)。的反函数，记为显然有 (恒等变换）(恒等变换)。60 这样这样直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我们还是把反函数记为 .这样直接函数与反函数的图形关于直线 对称61 严格单调函数是1-1对应的，所以严格单调函数有反函数。但 1-1 对应的函数（有反函数）不一定是严格单调的，看下面例子它的反函数即为它自己.严格单调函数是1-1对应的，所以严格单调函数有62 实际求反函数问题可分为二步进行：实际求反函数问题可分为二步进行：(1).确定 的定义域和值域，考虑 1-1对应条件。固定，解方程 得出。(2).按习惯，自变量、因变量互换，得.的定义域和值域，考虑 1-1对应条件。固定，解方程 得63六初等函数六初等函数、基本初等函数、基本初等函数（1）.幂函数幂函数六初等函数、基本初等函数（1）.幂函数64幂函数65（2）.指数函数指数函数（2）.指数函数66（3）.对数函数对数函数（3）.对数函数67周期为2p的周期函数有界函数|sin x|1特殊值：Taylor(Maclaurin)公式(4)三角函数周期为2p的周期函数有界函数|sin x|68周期为p的周期函数无界函数：渐进线：特殊值：三角函数周期为p的周期函数无界函数：渐进线：特殊值：69周期为p的周期函数无界函数：渐进线：特殊值：三角函数周期为p的周期函数无界函数：渐进线：特殊值：70正割函数正割函数余割函数余割函数正割函数余割函数71(5)反三角函数的图象(5)反三角函数的图象72 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和三角函数和反三角函数统称为反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角732.初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子一个式子表示表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.例例3 3解解2.初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四74综上所述综上所述综上所述751.4 具有某些特征的函数具有某些特征的函数二二.单调函数单调函数三三.奇函数和偶函数奇函数和偶函数四四.周期函数周期函数一.有界函数有界函数1.4 具有某些特征的函数二.单调函数三.奇函数和偶函数四76M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX1函数的有界性函数的有界性:M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1函数77 f(x)sin x在(-,+)上是有界的:|sin x|1.所以函数无上界.下页有界函数举例 f(x)=sin x在(-,+)上是78例例1例1792函数的单调性函数的单调性:xyo2函数的单调性:xyo80 xyoxyo813函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数yxox-x3函数的奇偶性:偶函数yxox-x82奇函数奇函数yxox-x奇函数yxox-x83数学分析ppt课件之第一章实数集与函数84数学分析ppt课件之第一章实数集与函数854函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.4函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.86数学分析ppt课件之第一章实数集与函数87周期为2p的周期函数有界函数|cos x|1特殊值：Taylor(Maclaurin)公式三角函数周期为2p的周期函数有界函数|cos x|1特殊88小结(2)反函数;(1)复合函数;(3)初等函数.;(4)双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数小结(2)反函数;(1)复合函数;(3)初等函数89