结构的位移计算和刚度课件

第一节 轴向拉压杆的变形计算一、拉压杆的变形及应变一、拉压杆的变形及应变一、拉压杆的变形及应变一、拉压杆的变形及应变纵向变形纵向变形 长度量纲长度量纲FP FP all1a1横向变形横向变形轴向拉伸和压缩 为了消除原始尺寸对杆件变形量的影响，准确说明杆为了消除原始尺寸对杆件变形量的影响，准确说明杆件的变形程度，将杆件的纵向变形量件的变形程度，将杆件的纵向变形量l 除以杆的原长除以杆的原长l，得到杆件单位长度的纵向变形。得到杆件单位长度的纵向变形。横向线应变横向线应变 线应变线应变-每单位长每单位长度的变形，无量纲。度的变形，无量纲。纵向线应变纵向线应变 FP FP all1a1轴向拉伸和压缩 二、泊松比二、泊松比 从上述分析我们已经知道：杆件在轴向拉（压）变形时，从上述分析我们已经知道：杆件在轴向拉（压）变形时，纵向线应变纵向线应变与横向线应变与横向线应变总是正、负相反的。总是正、负相反的。通过实验表明：当轴向拉（压）杆的应力不超过材料的通过实验表明：当轴向拉（压）杆的应力不超过材料的比例极限时，横向线应变比例极限时，横向线应变与纵向线应变与纵向线应变的比值的绝对值的比值的绝对值为一常数，通常将这一常数称为为一常数，通常将这一常数称为泊松比或横向变形系数泊松比或横向变形系数。用用表示。表示。或或 泊松比泊松比是一个无单位的量。它的值与材料有关，可由是一个无单位的量。它的值与材料有关，可由实验测出。实验测出。轴向拉伸和压缩三、胡克定律三、胡克定律 当杆内应力不超过材料的某一极限值（当杆内应力不超过材料的某一极限值（“比例极限比例极限”）时）时引进比例常数引进比例常数E E称为材料的称为材料的弹性模量弹性模量，可由实验测出。量纲与应力相同。，可由实验测出。量纲与应力相同。从式可推断出：对于长度相同，轴力相同的杆件，分母从式可推断出：对于长度相同，轴力相同的杆件，分母EA越大，杆的纵向变形越大，杆的纵向变形l就越小，可见就越小，可见EA反映了杆件抵抗反映了杆件抵抗拉（压）变形的能力，称为拉（压）变形的能力，称为杆件的抗拉（压）刚度杆件的抗拉（压）刚度。胡克定律。胡克定律。轴向拉伸和压缩 若将上式的两边同时除以杆件的原长若将上式的两边同时除以杆件的原长l，并将代入，于是，并将代入，于是得得胡克定律。胡克定律。表明：在弹性范围内，正应力与线应变成正比。比例表明：在弹性范围内，正应力与线应变成正比。比例系数即为材料的弹性模量系数即为材料的弹性模量E。轴向拉伸和压缩 例例 一矩形截面钢杆，其截面尺寸一矩形截面钢杆，其截面尺寸bh=3mm80mm，材，材料的料的E=200GPa。经拉伸试验测得：在纵向。经拉伸试验测得：在纵向100mm的长度内，的长度内，杆伸长了杆伸长了0.05mm，在横向，在横向60mm的高度内杆的尺寸缩小了的高度内杆的尺寸缩小了0.0093mm，试求：，试求：该钢材的泊松比；该钢材的泊松比；杆件所受的轴向杆件所受的轴向拉力拉力FP。解：（解：（1）求泊松比。）求泊松比。求杆的纵向线应比求杆的纵向线应比求杆的横向线应变求杆的横向线应变求泊松比求泊松比轴向拉伸和压缩（2）计算杆受到的轴向拉力）计算杆受到的轴向拉力 由虎克定律由虎克定律=E 计算图示杆件在计算图示杆件在FP作用下任一横截面作用下任一横截面上的正应力上的正应力可求得在可求得在FP作用下，杆件横截面上的轴力作用下，杆件横截面上的轴力=E=510-4200103=100MPa又按照应力的计算公式又按照应力的计算公式FN=A=100380=24103=24kN 该杆为二力杆，任一截面上的轴力与两端拉力相等，即该杆为二力杆，任一截面上的轴力与两端拉力相等，即FN=FP，所以该杆受到的轴向外力，所以该杆受到的轴向外力FP=24kN。轴向拉伸和压缩例题 v横截面面积为1000mm2的钢杆如图所示。已知P=20kN，材料的弹性模量E=210GPa，试求杆的总伸长及杆下端横截面上的正应力。v1）求内力：vN1=-PvN2=0vN3=-P第二节 荷载作用下的结构的位移计算公式一、杆件结构的位移一、杆件结构的位移一、杆件结构的位移一、杆件结构的位移FP变形：变形：结构形状的改变结构形状的改变位移：位移：结构上各点位置的移动量，结构上各点位置的移动量，杆件横截面的转动量。杆件横截面的转动量。位移位移线位移线位移角位移角位移水平线位移水平线位移竖向线位移竖向线位移线位移线位移结构的位移引起结构位移的原因引起结构位移的原因引起结构位移的原因引起结构位移的原因制造误差制造误差制造误差制造误差 等等等等荷载荷载荷载荷载温度温度温度温度改变改变改变改变支座移动支座移动支座移动支座移动还有什么原还有什么原还有什么原还有什么原因会使结构产因会使结构产因会使结构产因会使结构产生位移生位移生位移生位移?FP结构的位移相对线位移、相对角位移相对线位移、相对角位移 A、B两截面的角位移两截面的角位移 A和和 B之和称为之和称为A、B两截两截面的面的相对角位移。相对角位移。即即 AB=A+B上述各种位移统称为上述各种位移统称为“广义位移广义位移”。为什么要计算为什么要计算为什么要计算为什么要计算位移位移位移位移?C、D两点产生水平线两点产生水平线位移之和位移之和称为称为C、D两点的两点的水平相对线位移。水平相对线位移。即即 CDH=CH+DH 结构的位移 二、计算位移的目的二、计算位移的目的1)1)1)1)校核结构的刚度校核结构的刚度校核结构的刚度校核结构的刚度在工程上，吊车梁允许的挠度在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；跨度；高层建筑的最大位移高层建筑的最大位移 1/1000 高度。高度。最大层间位移最大层间位移 1/800 层高。层高。3)3)3)3)为求解超静定结构提供位移条件。为求解超静定结构提供位移条件。为求解超静定结构提供位移条件。为求解超静定结构提供位移条件。2 2 2 2）施工过程中对结构的位移进行计算和监控；）施工过程中对结构的位移进行计算和监控；）施工过程中对结构的位移进行计算和监控；）施工过程中对结构的位移进行计算和监控；结构的位移实功实功实功实功：力在自身所产生的位移上所作的功力在自身所产生的位移上所作的功虚功虚功虚功虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功力在非自身所产生的位移上所作的功虚功虚功虚功虚功力力(外力或内力）在因其本身引起的位移（对外力或内力）在因其本身引起的位移（对内力而言则为变形）上所作的功。内力而言则为变形）上所作的功。实功恒为正。实功恒为正。力（外力或内力）在因其它原因产生的位移力（外力或内力）在因其它原因产生的位移上作的功。上作的功。如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。单位荷载法单位荷载法单位荷载法单位荷载法虚力原理的两个状态虚力原理的两个状态位移状态位移状态 实际状态实际状态力状态力状态虚拟状态虚拟状态位移状态位移状态k位移位移由给定的荷载、温由给定的荷载、温度变化及支座移动度变化及支座移动等因素引起的等因素引起的kFPk=1力状态力状态在拟求位移在拟求位移k的方向的方向假想（虚拟）设置一假想（虚拟）设置一个单位力个单位力FPk1。结构位移计算结构位移计算平面杆件结构位移计算的一般公式平面杆件结构位移计算的一般公式:三、设置单位荷载时应注意的问题三、设置单位荷载时应注意的问题三、设置单位荷载时应注意的问题三、设置单位荷载时应注意的问题1 1、虚拟单位力、虚拟单位力F FP P1 1必须与所求位移相对应必须与所求位移相对应A A求求A A点竖向线位点竖向线位移的虚拟状态移的虚拟状态A AC C求两点相对线位求两点相对线位移的虚拟状态移的虚拟状态结构位移计算A A求求A A截面角位截面角位移的虚拟状态移的虚拟状态A AC C求两截面相对角求两截面相对角位移的虚拟状态位移的虚拟状态CABDEF求求C点水平位移的虚拟状态点水平位移的虚拟状态CABDEFBE=l求求BE杆转角的虚拟状态杆转角的虚拟状态结构位移计算CABDEFAE=BE=l求求AE、BE两杆相对转角的虚拟状态两杆相对转角的虚拟状态 2.2.虚拟单位力的方向可以可以任意假定，若计算结果虚拟单位力的方向可以可以任意假定，若计算结果为正，表示实际位移的方向与虚拟力的方向一致；反之，为正，表示实际位移的方向与虚拟力的方向一致；反之，则实际位移方向与虚拟力的方向相反。则实际位移方向与虚拟力的方向相反。结构位移计算位移计算公式的简化位移计算公式的简化1 1、梁和刚架（略去轴向变形和剪切变形影响）：、梁和刚架（略去轴向变形和剪切变形影响）：2 2、桁架（只考虑轴力影响）：、桁架（只考虑轴力影响）：结构位移计算3 3、拱：一般只考虑弯曲变形、拱：一般只考虑弯曲变形 对扁拱：对扁拱：（f/l=1/5）4 4、组合结构：、组合结构：结构位移计算荷载法计算结构位移的步骤：荷载法计算结构位移的步骤：(1)(1)在拟求位移方向虚设的相应的单位荷载。在拟求位移方向虚设的相应的单位荷载。(2)(2)求两种状态下的内力。求两种状态下的内力。(3)(3)代入各种结构的位移计算公式计算。代入各种结构的位移计算公式计算。结构位移计算例例 杆件杆件EI=常数。试求常数。试求解qlAx例例 各杆各杆EI为常数。求为常数。求解解aaABCqqa2/2MP图图x1x2a例例 求图示刚架截面的水平位移求图示刚架截面的水平位移 CHCH和、两和、两截面的相对转角截面的相对转角 。各杆。各杆 EI=EI=常数。常数。）求）求 AB杆杆(0 x1l)MP=M1=0AC杆杆(0 x1 l/2)MP=qlx1/2-qx12/2 M1=-1 =(1/EI)l(-1)(qlx1/2-qx12/2)dx1=-ql3/12EI()说明：说明：注意利用注意利用 =(M1 MP/EI)ds 时，两种时，两种状态中对同一杆件应取相同坐标，相应的两弯矩函状态中对同一杆件应取相同坐标，相应的两弯矩函数也应先规定受拉侧，以确定积分的正负。数也应先规定受拉侧，以确定积分的正负。已知：各杆已知：各杆EA相同，求：相同，求：FPaaABCDABCD1【例】【解】ABCD1BDABDA例例 求图示桁架求图示桁架(各杆各杆EA相同相同)C点竖向位移。点竖向位移。解：解：1.1.建立虚设状态；建立虚设状态；2.2.分别求两种状态各杆轴力；分别求两种状态各杆轴力；3.3.由公式计算位移：由公式计算位移：结构位移计算FNP0FP0CD竖杆竖杆AD下弦下弦 FPAC上弦上弦 （kNm）FNP（kN）(l/m)杆杆 件件BDABDA结构位移计算第三节 图乘法yxMPdxxM微面积d=ABMP图(1)因为是直杆，所以因为是直杆，所以 可用可用dx代替代替ds。(2)因为因为EI是常数，所以是常数，所以 EI可提到积分号外。可提到积分号外。(3)为直线变化，故为直线变化，故 有有常数=tan=表示整个表示整个MP 的面积对的面积对y轴的静矩。轴的静矩。图乘法xCCyCyxMPdxxMABMP图有有 上述积分就等于上述积分就等于一个弯一个弯矩图的面积矩图的面积乘于其形心所乘于其形心所对应的另一个直线弯矩图上对应的另一个直线弯矩图上的竖标的竖标yc，再除于，再除于EI。=若结构上各杆均可图乘，则位移计算公式为若结构上各杆均可图乘，则位移计算公式为而而图乘法注意事项：注意事项：1.图乘法的应用条件：图乘法的应用条件：（2）EI为常数；为常数；图乘法计算位移公式图乘法计算位移公式（3）两个）两个MP、M图中至少有一个是直线。图中至少有一个是直线。(1)杆轴为直线；杆轴为直线；图乘法M图图MP图图yc 2.竖标竖标yc必须取自直线图形，而不能从折线和曲必须取自直线图形，而不能从折线和曲线中取值。线中取值。图乘法M图图MP图图2y21y1 若若M图与图与MP图都是直线图形，则图都是直线图形，则yc可以取自其中可以取自其中任一图形。任一图形。图乘法M图图MP图图3.若若 与与 在杆件的同侧，在杆件的同侧，取正值；反之，取正值；反之，取负值。取负值。ycyc图乘法 4.若若Mp图是曲线图形，图是曲线图形，图是折线图形，则应图是折线图形，则应 当从转折点分段图乘，然后叠加。当从转折点分段图乘，然后叠加。M图图MP图图1y12y2图乘法6.如图形较复杂，可分解为简单图形。如图形较复杂，可分解为简单图形。5.当杆件为变截面时亦应分段计算。当杆件为变截面时亦应分段计算。M图图MP图图1y12y2图乘法l/2l/2h二次抛物线=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线=hl/3二次抛物线=2hl/3h几种常见图形的面积和形心位置几种常见图形的面积和形心位置=hl/2l/32l/3lh图乘法M图图MP图图y11y32l图乘法llMP图图M图图l图乘法使用乘法时应注意的问题小结使用乘法时应注意的问题小结：1.yC必须取自直线图形；必须取自直线图形；2.若若MP图是曲线图形，当图是曲线图形，当M为折线图形时，必须分段计为折线图形时，必须分段计算；算；3.当杆件为变截面时亦应分段计算；当杆件为变截面时亦应分段计算；4.图乘有正负之分；图乘有正负之分；5.若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意分若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意分别取自两图形；别取自两图形；6.图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分别图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分别图乘；图乘；7.三角形、标准二次抛物线的面积、形心公式必须牢记。三角形、标准二次抛物线的面积、形心公式必须牢记。图乘法 将将、yc代入图乘公式计算所求位移。代入图乘公式计算所求位移。画出结构在实际荷载作用下的弯矩图画出结构在实际荷载作用下的弯矩图Mp图。图。分段计算分段计算Mp（或（或 ）图面积）图面积及其形心所对应的及其形心所对应的 （或（或Mp）图形的竖标值）图形的竖标值yc。图乘法的解题步骤图乘法的解题步骤图乘法 在所求位移处沿所求位移的方向虚设广义单位力，在所求位移处沿所求位移的方向虚设广义单位力，并画出其单位弯矩图并画出其单位弯矩图 图。图。1/2FPl/4例例 求梁求梁B截面转角。截面转角。MP图图M=1FPl/2l/2EIAB（1）绘制）绘制MP图。图。（2）建立相应的虚拟）建立相应的虚拟状态状态,绘制绘制 。（3）图乘求位移。）图乘求位移。图乘法yCFP=1lql2/2例例例例 求梁求梁求梁求梁B B点竖向位移。点竖向位移。点竖向位移。点竖向位移。MP图lABq（1）绘制）绘制MP图。图。（2）建立相应的虚拟）建立相应的虚拟状态状态,绘制绘制 。（3）图乘求位移。）图乘求位移。图乘法yCqM=1解：解：（1）绘制）绘制MP图。图。1.求求A端截面的转角端截面的转角（2）建立相应的虚拟状态）建立相应的虚拟状态,绘制绘制 。（3）图乘求转角。）图乘求转角。求图示简支梁求图示简支梁A端截面的转角端截面的转角 及跨中竖向位移及跨中竖向位移 。例例图乘法2.求跨中截面的竖向位移求跨中截面的竖向位移由对称性可得：由对称性可得：q（1）绘制）绘制MP图。图。（2）建立相应的虚拟）建立相应的虚拟状态状态,绘制绘制 。（3）图乘求位移。）图乘求位移。图乘法y11y22求图示悬臂梁求图示悬臂梁B点的竖向位移点的竖向位移 。602FP=152m10kN/m20kN图乘法y11y22（1）绘制）绘制MP图。图。（2）建立相应的虚拟）建立相应的虚拟状态状态,绘制绘制 。（3）图乘求位移。）图乘求位移。例例 已知已知 EI 为常数，求刚架为常数，求刚架C、D两点距离的改变两点距离的改变 。qlDh图乘法3）图乘求位移）图乘求位移解解 1）绘出）绘出MP图图;2）建立相应的虚拟状态，绘制）建立相应的虚拟状态，绘制 M图。图。DhhDFP=1FP=1图乘法解取面积的范围内，另外一个图形必须是直线。取面积的范围内，另外一个图形必须是直线。已知：已知：EI=常数。求常数。求CVFPABl/2l/2CFPlMP图图l/2M图图解已知：各杆已知：各杆EIEI=常数。求：常数。求：A A、B B两点之间的相对转角。两点之间的相对转角。1kNm8m8mABCDMP图图(kNm)328M图图1111第四节 梁的刚度校核 根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B B 处处转角不超过许用数值。转角不超过许用数值。B1 1）由计算得承受集中载荷的外伸梁）由计算得承受集中载荷的外伸梁B B 处的转角为：处的转角为：解解例例 已知钢制圆轴左端受力为已知钢制圆轴左端受力为F F20 kN20 kN，al ml m，l2 m2 m，E E=206 GPa=206 GPa。轴承。轴承B B处的许可转处的许可转角角 =0.5=0.5。根据刚度要求确。根据刚度要求确定轴的直径定轴的直径d d。B2 2）由刚度条件确定轴的直径：）由刚度条件确定轴的直径：2.2.提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施1 1）选择合理的截面形状）选择合理的截面形状目录2 2）改善结构形式，减少弯矩数值）改善结构形式，减少弯矩数值改改变变支支座座形形式式2 2）改善结构形式，减少弯矩数值）改善结构形式，减少弯矩数值改改变变载载荷荷类类型型