第七章均匀设计课件

2024/7/141第七章第七章 均匀设计均匀设计 7.1 7.1 均匀设计表均匀设计表7.2 7.2 均匀设计的使用表均匀设计的使用表7.3 7.3 均匀设计的数据分析均匀设计的数据分析7.4 7.4 均匀混料设计均匀混料设计2024/7/142前言前言 均匀设计均匀设计(Uniform Design)是由中国数学家王是由中国数学家王元和方开泰于元和方开泰于19781978年首次提出的年首次提出的,采用均匀设计采用均匀设计表来安排试验的方法。其最初在我国导弹设计中表来安排试验的方法。其最初在我国导弹设计中应用，经过应用，经过2020多年的发展和推广，均匀设计已在多年的发展和推广，均匀设计已在我国有较广泛的普及，并在医药、生物、化工、我国有较广泛的普及，并在医药、生物、化工、航天、电子、军事工程等诸多领域中使用，取得航天、电子、军事工程等诸多领域中使用，取得了显著的经济和社会效益。了显著的经济和社会效益。与均匀设计几乎同期出现在西方流行的与均匀设计几乎同期出现在西方流行的“拉丁拉丁超立方体抽样超立方体抽样”与均匀设计在本质上是一致的。与均匀设计在本质上是一致的。2024/7/143王元王元方开泰方开泰中国科学院数学研究所中国科学院数学研究所中国科学院院士中国科学院院士中国科学院应用数学研究所中国科学院应用数学研究所北京师范大学北京师范大学香港浸会大学联合国际学院香港浸会大学联合国际学院美国数理统计科学院终身院士美国数理统计科学院终身院士美国统计学会终身院士美国统计学会终身院士2024/7/1447.1 均匀设计表均匀设计表 7.1.1 均匀设计概述均匀设计概述 例例7.17.1 为了研究环境污染对人体的危害，考察六种重为了研究环境污染对人体的危害，考察六种重金属金属CdCd、CuCu、ZnZn、NiNi、CrCr、PbPb对老鼠寿命的影响，考察对老鼠寿命的影响，考察老鼠体内某种细胞的死亡率。将每一种重金属看成一个老鼠体内某种细胞的死亡率。将每一种重金属看成一个因子，每一因子取因子，每一因子取1717个水平。试验如何设计？个水平。试验如何设计？如果采用正交设计，那么至少要进行如果采用正交设计，那么至少要进行172=289次试验。次试验。如果采用二次回归正交设计那么也至少要进行如果采用二次回归正交设计那么也至少要进行26-1+26+1=45次试验，试验次数都较多。能否减少试验次数？均次试验，试验次数都较多。能否减少试验次数？均匀设计便是针对这种情况提出的一种设计方法。匀设计便是针对这种情况提出的一种设计方法。2024/7/145 均匀设计均匀设计是用均匀设计表安排试验，而用回归是用均匀设计表安排试验，而用回归分析进行数据分析的一种试验设计方法。分析进行数据分析的一种试验设计方法。基本想法是要使试验点在因子空间中具有较好基本想法是要使试验点在因子空间中具有较好的均匀分散性。的均匀分散性。均匀设计同正交设计一样，也是部分因子设计均匀设计同正交设计一样，也是部分因子设计的只要方法之一，是一种稳健试验设计。的只要方法之一，是一种稳健试验设计。适用范围：适用范围：试验因子多、因子取值范围大、因试验因子多、因子取值范围大、因子水平多（不少于子水平多（不少于5 5），而试验次数相对较少的），而试验次数相对较少的情况。因子一般需要是连续性的情况。因子一般需要是连续性的数值变量数值变量，若有，若有个别为定性的个别为定性的分类变量分类变量可以采用虚拟哑变量法。可以采用虚拟哑变量法。2024/7/1467.1.2 均匀设计表均匀设计表 均匀设计表是均匀设计的基本工具，它是用数论均匀设计表是均匀设计的基本工具，它是用数论方法编制的。方法编制的。1.均匀设计表均匀设计表Un(qm)均均匀匀设设计计表表用用代代号号Un(qm)表表示示，U表表示示均均匀匀设设计计表，它有表，它有n行，行，m列，每列的水平数为列，每列的水平数为q。2024/7/147均匀设计表均匀设计表U7(76)该表的每一列都是该表的每一列都是 的一个特定排列。的一个特定排列。2024/7/148 该表的特点是：该表的特点是：（1）对任意的）对任意的n都可以构造均匀设计表，并且行数都可以构造均匀设计表，并且行数n可以可以与水平数与水平数q相同，因此试验次数少；相同，因此试验次数少；（2）列数可按下面规则给出：）列数可按下面规则给出：当当n为素数时为素数时，列数最多等于，列数最多等于n-1；譬如上面譬如上面n=7，所以列数最多为，所以列数最多为n-1=6列；列；当当n是合数时是合数时，设，设 ，其中，其中 为为素数，素数，为正整数，那么列数为为正整数，那么列数为 譬如譬如n=9，由于，由于9=32，所以列数为，所以列数为 列。列。2024/7/149 2.另一类均匀设计表另一类均匀设计表 对于对于n为合数的表，一般列数较少，不太适用。为合数的表，一般列数较少，不太适用。譬如譬如n=6时，由于时，由于n=23，经计算，经计算 ，所以列数只有所以列数只有2列。列。因为均匀设计表因为均匀设计表U7(76)最后一行全是最后一行全是“7”组成的，故划组成的，故划去这一行，相当于减少一个水平。所以建议用去这一行，相当于减少一个水平。所以建议用U7(76)划去划去最后一行的方法得到，为区别起见，记为最后一行的方法得到，为区别起见，记为2024/7/14107.2 均匀设计的使用表均匀设计的使用表 7.2.1 均匀设计表的使用均匀设计表的使用 在用均匀设计表安排试验时，因为任意两列的均匀性是不在用均匀设计表安排试验时，因为任意两列的均匀性是不同的，用哪些列是有讲究的。同的，用哪些列是有讲究的。譬如用譬如用 安排两个因子时，用安排两个因子时，用1,31,3列与用列与用1,61,6列的均匀列的均匀性是不同的，试验点在平面上的分布见图性是不同的，试验点在平面上的分布见图7.2.17.2.1。前者分布比。前者分布比较均匀。较均匀。7.2.12024/7/14117.2.2“均匀性均匀性”的度量的度量 通常用通常用“偏差偏差”来度量均匀性，偏差愈小均匀性愈好。来度量均匀性，偏差愈小均匀性愈好。（1 1）把均匀设计表）把均匀设计表Un(n m)中每一行看成中每一行看成m维空间中的一个维空间中的一个点，其点，其m个坐标必是集合个坐标必是集合 中的某个数。中的某个数。（2 2）用线性变换将）用线性变换将 均匀地变换到区间均匀地变换到区间0，1中中的某个数。的某个数。此线性变换为：此线性变换为：Un(n m)中中n个试验点变换成个试验点变换成C m=0，1m中的中的n个点。个点。考虑考虑Un(n m)中中n个试验点的均匀性等价于考虑在个试验点的均匀性等价于考虑在 0，1m中中的均匀性。的均匀性。2024/7/1412 （3 3）设）设 是是0，1m中任一点，则中任一点，则 为多维矩形的体积，且为多维矩形的体积，且 。（4 4）记）记 为为n个点个点 落在多维矩形的个数，落在多维矩形的个数，则则 表示有多少比例的点落在矩形中。表示有多少比例的点落在矩形中。若此若此n个点在个点在0，1m中均匀散布，则中均匀散布，则 与该多维与该多维矩形的体积矩形的体积 相差不大。相差不大。（5 5）设）设 是是0，1m中的中的n个点，则称个点，则称 为点集为点集 在在0，1m中的中的偏差偏差(D)，或，或星偏差星偏差。2024/7/1413偏差偏差(D)的缺点的缺点 用（星）偏差来度量均匀性的缺点之一是不够灵敏，用（星）偏差来度量均匀性的缺点之一是不够灵敏，有时明显不同的两个均匀设计会出现相同的偏差；有时明显不同的两个均匀设计会出现相同的偏差；缺点之二是与原点有关，所有矩形都从原点开始。缺点之二是与原点有关，所有矩形都从原点开始。为了克服上述偏差的缺点，人们有研究出很多其它的为了克服上述偏差的缺点，人们有研究出很多其它的偏差度量方法。偏差度量方法。其它的偏差其它的偏差 CD2 2中心化中心化L L2 2偏差偏差 WD2 2可卷的可卷的L L2 2偏差偏差 MD2 2修正的修正的L L2 2偏差偏差 SD2 2对称化对称化L L2 2偏差偏差 其中，用的最多的是其中，用的最多的是CDCD2 2偏差和偏差和WDWD2 2偏差。后来方开泰偏差。后来方开泰教授新研制的均匀设计表大都基于最小的教授新研制的均匀设计表大都基于最小的CDCD2 2偏差。偏差。2024/7/14147.2.3 使用均匀设计表使用均匀设计表 偏差偏差D可对任一均匀设计表可对任一均匀设计表 或或 中任意二列、任中任意二列、任意三列、意三列、进行计算，从中选出使进行计算，从中选出使D达到最小的列作为使达到最小的列作为使用列，从而形成使用表。用列，从而形成使用表。如下表就是如下表就是 的使用表，的使用表，s表示因子数。表示因子数。均匀设计表均匀设计表 的使用表的使用表 若从中选出若从中选出5列使用，就会使偏差列使用，就会使偏差D过大，故建议不使用过大，故建议不使用，把使用表中不出现的列剔去，并重新编号，可以得到，把使用表中不出现的列剔去，并重新编号，可以得到 及其使用表。及其使用表。2024/7/1415均匀设计表均匀设计表 及其使用表及其使用表 使用表说明：当安排两个因子时，第使用表说明：当安排两个因子时，第1、3列是最佳的选择，列是最佳的选择，若安排若安排4个因子，第个因子，第1、2、3、4是最佳选择。是最佳选择。2024/7/1416 均匀设计表均匀设计表U7(74)与与 的使用表的使用表 由表上的由表上的D值可知，在表上加值可知，在表上加“*”的比不加的比不加“*”的均匀，的均匀，因此在实际中我们首先使用加因此在实际中我们首先使用加“*”的均匀设计表。但是可的均匀设计表。但是可安排的因子较少。安排的因子较少。对于各因子不等水平的均匀设计，可以直接采用混合水对于各因子不等水平的均匀设计，可以直接采用混合水平均匀设计表，或者采用拟水平法设计。平均匀设计表，或者采用拟水平法设计。2024/7/14177.2.4 新均匀设计表新均匀设计表 由于基于由于基于CDCD2 2偏差和偏差和WDWD2 2偏差的均匀设计表具有更好的均匀偏差的均匀设计表具有更好的均匀性，性，方开泰教授在方开泰教授在2000年左右研制了年左右研制了2580多张新的均匀设多张新的均匀设计表计表。参见本章提供给大家的附件文件夹参见本章提供给大家的附件文件夹“第七章第七章 均匀设计表均匀设计表UniformDesign”。或登录方开泰教授的。或登录方开泰教授的“均匀设计网站均匀设计网站”：http:/www.math.hkbu.edu.hk/UniformDesign/查询。查询。2024/7/14187.3 均匀设计数据分析均匀设计数据分析 均匀设计的试验数据的处理通常采用均匀设计的试验数据的处理通常采用回归分析回归分析的方法，的方法，回归分析模型可采用线性回归模型、二次回归模型或其回归分析模型可采用线性回归模型、二次回归模型或其它非线性回归模型，可以通过逐步回归的方法筛选变量。它非线性回归模型，可以通过逐步回归的方法筛选变量。下面通过一个例子来说明均匀设计及其数据的分析步骤。下面通过一个例子来说明均匀设计及其数据的分析步骤。例例7.17.1 为了研究环境污染对人体的危害，考察六种重为了研究环境污染对人体的危害，考察六种重金属金属Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb对老鼠寿命的影响，为对老鼠寿命的影响，为此考察老鼠体内某种细胞的死亡率，为了了解误差，每此考察老鼠体内某种细胞的死亡率，为了了解误差，每一水平组合重复三次。一水平组合重复三次。2024/7/14197.3.1 试验设计试验设计 1明确试验目的：了解六种重金属明确试验目的：了解六种重金属Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb对老鼠寿命的影响。对老鼠寿命的影响。2明确试验指标：老鼠体内某种细胞的死亡率。明确试验指标：老鼠体内某种细胞的死亡率。3确定因子与水平：这里因子都是定量的。水平可以确定因子与水平：这里因子都是定量的。水平可以是等间隔的，也可以是不等间隔的。是等间隔的，也可以是不等间隔的。本例中有六种重金属可看作六个因子，每一因子取本例中有六种重金属可看作六个因子，每一因子取17个个水平，其水平值均为：（单位：水平，其水平值均为：（单位：ppm）0.01，0.05，0.1，0.2，0.4，0.8，1，2，4，5，8，10，12，14,16，18，20 注意：注意：水平必须按顺序排列水平必须按顺序排列2024/7/1420 4 4选择均匀设计表，利用使用表进行表头设计选择均匀设计表，利用使用表进行表头设计 由于这里考察六个因子，每一因子取由于这里考察六个因子，每一因子取17个水平，可以个水平，可以用表用表U17（1716），六个因子按使用表的规定分别置于），六个因子按使用表的规定分别置于1，2，3，5，7，8列上，得到试验计划（见表列上，得到试验计划（见表7.3.6），表中括），表中括号内的数据是水平编号，括号外的数据是水平取值。号内的数据是水平编号，括号外的数据是水平取值。7.3.2 进行试验，获得试验结果进行试验，获得试验结果 本例在每一水平组合下进行三次重复试验，试验结果列本例在每一水平组合下进行三次重复试验，试验结果列在表在表7.3.6的最后三列上。的最后三列上。2024/7/14217.3.62024/7/14227.3.3 数据分析数据分析 对均匀设计所得到的试验结果通常采用回归分析方法，对均匀设计所得到的试验结果通常采用回归分析方法，建立回归方程。建立回归方程。设在一个试验中有设在一个试验中有p个因子个因子 。若只考虑若只考虑 y 关于的线性关系，则可用多元线性回归方法关于的线性关系，则可用多元线性回归方法建立回归方程，并对每一系数作显著性检验，然后逐个删建立回归方程，并对每一系数作显著性检验，然后逐个删去不显著的变量，直到所有系数显著为止。去不显著的变量，直到所有系数显著为止。若考虑若考虑 y 关于的二次回归，除每一变量的线性项外，还关于的二次回归，除每一变量的线性项外，还要考虑变量间的二次项、乘积项，那么回归系数就有要考虑变量间的二次项、乘积项，那么回归系数就有 在本例中在本例中p=6，回归系数有，回归系数有28个，超过试验次数个，超过试验次数n=17，这时可采用筛选变量的方法建立合适的回归方程。这时可采用筛选变量的方法建立合适的回归方程。2024/7/1423 在本例中，根据背景知识，认为死亡率与含量的对数在本例中，根据背景知识，认为死亡率与含量的对数有关，因此先将含量进行变换（这里将六个自变量分别有关，因此先将含量进行变换（这里将六个自变量分别取对数），并考虑其的二次项、交叉乘积项等，用逐步取对数），并考虑其的二次项、交叉乘积项等，用逐步回归或向前、向后回归的方法，在显著性水平回归或向前、向后回归的方法，在显著性水平0.05上挑选上挑选变量，所建立的方程如下变量，所建立的方程如下 ：2024/7/1424对方程作失拟检验与显著性检验的方差分析表如下：对方程作失拟检验与显著性检验的方差分析表如下：6.3.7 在在显著性水平显著性水平0.05下，下，Flf=1.24F0.95(10,40)=2.10，因而此回归方程是显著的。，因而此回归方程是显著的。2024/7/1425 对每一项回归系数的检验在显著性水平对每一项回归系数的检验在显著性水平0.050.05下都是显下都是显著的。所以上面所得到的方程是可信的。著的。所以上面所得到的方程是可信的。此方程对应的误差标准差的估计为此方程对应的误差标准差的估计为 ，决定系数是决定系数是0.948。此方程反映了该种细胞的死亡率与六种重金属的关系。此方程反映了该种细胞的死亡率与六种重金属的关系。从方程可以看出从方程可以看出Cd、Cu、Ni的含量增加会增加该种细胞的含量增加会增加该种细胞的死亡率，的死亡率，Zn与与Cd、Ni、Cr、Pb的结合对该种细胞的死的结合对该种细胞的死亡率有较大影响。亡率有较大影响。若要寻找最优的工艺参数，可通过求极值的方法获得。若要寻找最优的工艺参数，可通过求极值的方法获得。2024/7/14267.3.4 SAS回归分析回归分析Data sasuser.DOE346;Input Cd Cu Zn Ni Cr Pb Y;CdCu=Cd*Cu;CdZn=Cd*Zn;CdNi=Cd*Ni;CdCr=Cd*Cr;CdPb=Cd*Pb;CuZn=Cu*Zn;CuNi=Cu*Ni;CuCr=Cu*Cr;CuPb=Cu*Pb;ZnNi=Zn*Ni;2024/7/14277.3.4 SAS回归分析回归分析ZnCr=Zn*Cr;ZnPb=Zn*Pb;NiCr=Ni*Cr;NiPb=Ni*Pb;CrPb=Cr*Pb;Cd2=Cd*Cd;Cu2=Cu*Cu;Zn2=Zn*Zn;Ni2=Ni*Ni;Cr2=Cr*Cr;Pb2=Pb*Pb;2024/7/14287.3.4 SAS回归分析回归分析Cards;；Proc Reg data=sasuser.DOE346;Model Y=Cd Cu Zn Ni Cr Pb CdCu CdZn CdNi CdCr CdPb CuZn CuNi CuCr CuPb ZnNi ZnCr ZnPb NiCr NiPb CrPb Cd2 Cu2 Zn2 Ni2 Cr2 Pb2/selection=stepwise sls=0.05 sle=0.05;Run;2024/7/14297.3.4 SAS回归分析回归分析 在本例中在本例中R2=0.9479 模型：模型：F=72.83，P0.0001 可得回归方程（取对数后值）：可得回归方程（取对数后值）：Y=27.8951+4.8334*Cd+5.2749*Cu+2.2917*NiY=27.8951+4.8334*Cd+5.2749*Cu+2.2917*Ni -0.5764*Cd*Zn+0.3934*Zn*Ni-0.4010*Zn*Cr -0.5764*Cd*Zn+0.3934*Zn*Ni-0.4010*Zn*Cr +0.3844*Zn*Pb+0.6695*Cd*Cd +0.3844*Zn*Pb+0.6695*Cd*Cd +0.3671*Cu*Cu+0.7102*Ni*Ni +0.3671*Cu*Cu+0.7102*Ni*Ni 经经SASSAS或或LingoLingo求极小值得到：求极小值得到：Cd=0.00，Cu=0.00，Ni=0.00，Zn=3.00 Cr=3.00，Pb=0.00时，时，Ymin=24.28612024/7/14307.4 均匀混料设计均匀混料设计（Uniform Mixture Design）前面讲了单形格子设计和单形重心设计，但是这些方法前面讲了单形格子设计和单形重心设计，但是这些方法都存在一些缺陷：都存在一些缺陷：一、众多个试验点都被安排在试验区域的顶点或者边界一、众多个试验点都被安排在试验区域的顶点或者边界上，这样的试验相当于缺少几种混料成分，不是真正的混料上，这样的试验相当于缺少几种混料成分，不是真正的混料试验；二、试验点在试验区域内部的分布十分不均匀，影响试验；二、试验点在试验区域内部的分布十分不均匀，影响混料效果。混料效果。特别是在生物化学反应试验中，缺少某些混料成分，化特别是在生物化学反应试验中，缺少某些混料成分，化学反应可能不会进行，或者生成了其它产物。为此，人们提学反应可能不会进行，或者生成了其它产物。为此，人们提出了均匀混料设计。出了均匀混料设计。所谓均匀混料设计，就是在均匀设计中使所有试验点在所谓均匀混料设计，就是在均匀设计中使所有试验点在试验区域内尽可能均匀地散布。试验区域内尽可能均匀地散布。2024/7/14317.4 均匀混料设计均匀混料设计（Uniform Mixture Design）均匀混料设计的主要步骤如下：均匀混料设计的主要步骤如下：（1）给定试验因子给定试验因子p和试验次数和试验次数n，欲生成均匀混料设计表欲生成均匀混料设计表UMn(np)，应选用合适的均匀设计表，应选用合适的均匀设计表Un(np-1)，用用ukj记表中第记表中第k行第行第j列的元素。列的元素。（2）对于每个对于每个k和和j，计算，计算 （3）计算计算2024/7/14327.4 均匀混料设计均匀混料设计（Uniform Mixture Design）（4）计算计算 （5）计算计算 （6）计算计算2024/7/14337.4 均匀混料设计均匀混料设计（Uniform Mixture Design）例例7.2：对对p=3,n=11的均匀设计，采用均匀设计表的均匀设计，采用均匀设计表U11(112)生生成均匀混料设计成均匀混料设计UM11(113)的过程。的过程。此时上述公式可以简化为：此时上述公式可以简化为：2024/7/14347.4 均匀混料设计均匀混料设计（Uniform Mixture Design）结果见下表结果见下表UM11(113)试验u1u2c1c2x1x2x31141/227/220.7870.1450.0682293/2217/220.6310.0840.2853375/2213/220.5230.1950.2824417/221/220.4360.5390.02655119/2221/220.3600.0290.61166311/225/220.2930.5460.16177613/2211/220.2310.3840.38488815/2215/220.1740.2630.56399217/223/220.1210.7590.12010101019/2219/220.0710.1270.8031111521/229/220.0230.5770.4002024/7/14357.4 均匀混料设计均匀混料设计（Uniform Mixture Design）均匀混料设计均匀混料设计UM11(113)单形重心设计单形重心设计 可以看到均匀混料设计试验点的相当均匀的分布可以看到均匀混料设计试验点的相当均匀的分布在单形内，试验完成后，同样采用回归分析。在单形内，试验完成后，同样采用回归分析。回归分析模型可采用线性回归模型、二次回归模回归分析模型可采用线性回归模型、二次回归模型或其它非线性模型。型或其它非线性模型。2024/7/1436 例例7.3 在一个新金属材料研制中，含三种金属成分，在一个新金属材料研制中，含三种金属成分，拟采用均匀混料设计拟采用均匀混料设计UM15(153)。NOx1x2x3YNOx1x2x3Y10.81740.10350.07918.225690.24720.17570.577110.136220.68380.05270.26358.7794100.20420.76930.02659.376030.59180.36740.04089.5115110.16330.25100.585710.277240.51700.17710.30599.5619120.12440.55450.32119.865250.45230.41990.12789.9145130.08710.09130.821610.102260.39450.02020.58539.5526140.05130.79060.15819.179270.34170.32910.32929.9481150.01680.42610.55719.956580.29290.49500.212110.12412024/7/1437逐步回归分析（逐步回归分析（SAS）Data sasuser.fang147;Input x1-x3 Y;x12=x1*x2;x13=x1*x3;x23=x2*x3;Cards;Proc Reg data=sasuser.fang147;Model Y=x1-x3 x12 x13 x23/noint selection=stepwise sls=0.1 sle=0.1;Run;2024/7/1438回归分析结果回归分析结果在本例中在本例中R2=0.9997回归模型：回归模型：F=7961.6，P0.0001各回归系数显著性各回归系数显著性Variable Parameter SS F Px1 7.3596 36.0756 822.86 .0001x2 8.5776 49.6510 1132.50 .0001x3 10.9838 161.7197 3688.71 .0001x12 7.9208 1.6938 38.63 .0001可得回归方程：可得回归方程：Y=7.3596*x1+8.5776*x2+10.9838*x3+7.9208*x1*x22024/7/1439均匀设计中注意的问题均匀设计中注意的问题1.1.如果试验方案处理数比较少时，容易接近于饱和设如果试验方案处理数比较少时，容易接近于饱和设计，以致误差项自由度过小，可适当设置重复。处理计，以致误差项自由度过小，可适当设置重复。处理数较多时，误差项自由度较大，可以少设或者不设置数较多时，误差项自由度较大，可以少设或者不设置重复，建议处理数取因子数的重复，建议处理数取因子数的3 35 5倍为好。倍为好。2.2.因子水平数与试验处理数同步增加，如果水平数太因子水平数与试验处理数同步增加，如果水平数太多不便于实施或致使水平间效应差异过小，易于被误多不便于实施或致使水平间效应差异过小，易于被误差掩盖，可以适当减少水平数，可以采用拟水平法，差掩盖，可以适当减少水平数，可以采用拟水平法，或采用或采用U Un n(q(qs s)均匀表。均匀表。