磁场及带电粒子在磁场中的运动讲解课件

第9讲磁场及带电粒子在磁场中的运动【主干回顾主干回顾】【核心精华核心精华】知识规律知识规律(1)(1)掌握掌握“两个磁两个磁场力力”。安培力：安培力：F=F=BILsinBILsin,其中其中为B B与与I I的的夹角。角。洛洛伦兹力：力：F=F=qvBsinqvBsin,其中其中为B B与与v v的的夹角。角。(2)(2)明确明确“两个公式两个公式”。带电粒子在磁粒子在磁场中做匀速中做匀速圆周运周运动的半径公式：的半径公式：带电粒子在磁粒子在磁场中做匀速中做匀速圆周运周运动的周期公式：的周期公式：(3)(3)用准用准“两个定两个定则”。对电流的磁流的磁场用准安培定用准安培定则。对通通电导线在磁在磁场中所受的安培力和中所受的安培力和带电粒子在磁粒子在磁场中所受中所受的洛的洛伦兹力用准左手定力用准左手定则。(4)(4)画好画好“两个两个图形形”。对安培力作用下的平衡、运安培力作用下的平衡、运动问题画好受力分析画好受力分析图。对带电粒子的匀速粒子的匀速圆周运周运动问题画好与画好与圆有关的几何有关的几何图形。形。思想方法思想方法(1)(1)物理思想：等效思想。物理思想：等效思想。(2)(2)物理方法：理想化模型法、比物理方法：理想化模型法、比值定定义法、法、对称法、称法、临界法等。界法等。热点考向一点考向一磁磁场对通通电导体的作用体的作用【典典题1 1师生探究生探究】(2014(2014郑州二模州二模)如如图所示所示,用用绝缘细线悬挂一个挂一个导线框框,导线框是由框是由两同心半两同心半圆弧弧导线和直和直导线abab、cd(abcd(ab、cdcd在在同一条水平直同一条水平直线上上)连接而成的接而成的闭合回路合回路,导线框中通有框中通有图示方示方向的向的电流流,处于静止状于静止状态。在半。在半圆弧弧导线的的圆心心处沿垂直于沿垂直于导线框平面的方向放置一根框平面的方向放置一根长直直导线P P。当。当P P中通以方向向外的中通以方向向外的电流流时()A.A.导线框将向左框将向左摆动B.B.导线框将向右框将向右摆动C.C.从上往下看从上往下看,导线框将框将顺时针转动D.D.从上往下看从上往下看,导线框将逆框将逆时针转动【破破题关关键】(1)(1)题干中干中“导线框是由两同心半框是由两同心半圆弧弧导线和直和直导线abab、cdcd(abab、cdcd在同一条水平直在同一条水平直线上上)连接而成的接而成的闭合回路合回路”说明：明：直直导线abab、cdcd中的中的电流沿流沿_。(2)(2)题干中干中“在半在半圆弧弧导线的的圆心心处沿垂直于沿垂直于导线框平面的方框平面的方向放置一根向放置一根长直直导线P P。当。当P P中通以方向向外的中通以方向向外的电流流时”说明：明：直直导线P P产生的磁生的磁场方向方向为_,_,磁感磁感线是是_,_,_,_,_。水平方向水平方向逆逆时针方向方向以以P P为圆心心的同心的同心圆与半与半圆弧弧导线平行平行与直与直导线abab、cdcd垂直垂直【解析解析】选选D D。当直导线。当直导线P P中通以方向向外的电流时中通以方向向外的电流时,由安培定由安培定则可判断出长直导线则可判断出长直导线P P产生的磁场方向为逆时针方向产生的磁场方向为逆时针方向,磁感线是磁感线是以以P P为圆心的同心圆为圆心的同心圆,半圆弧导线与磁感线平行不受安培力半圆弧导线与磁感线平行不受安培力,由由左手定则可判断出直导线左手定则可判断出直导线abab所受的安培力方向垂直纸面向外所受的安培力方向垂直纸面向外,cdcd所受的安培力方向垂直纸面向里所受的安培力方向垂直纸面向里,从上往下看从上往下看,导线框将逆时导线框将逆时针转动针转动,故故D D正确。正确。【拓展延伸拓展延伸】(1)(1)若在若在【典典题1 1】中中,将将P P中通以方向向里的中通以方向向里的电流流,试分析分析导线框框的运的运动情况。情况。【解析解析】若直导线若直导线P P中通以方向向里的电流时中通以方向向里的电流时,由安培定则可判由安培定则可判断出长直导线断出长直导线P P产生的磁场方向为顺时针方向产生的磁场方向为顺时针方向,由左手定则可判由左手定则可判断出直导线断出直导线abab所受的安培力方向垂直纸面向里所受的安培力方向垂直纸面向里,cdcd所受的安培所受的安培力方向垂直纸面向外力方向垂直纸面向外,从上往下看从上往下看,导线框将顺时针转动。导线框将顺时针转动。(2)(2)若在若在【典典题1 1】中中,将直将直导线P P撤去撤去,在在导线框所在平面加垂直框所在平面加垂直纸面向里的匀面向里的匀强强磁磁场,试分析分析导线框的运框的运动情况及情况及导线框框对细线的拉力。的拉力。【解析解析】大半圆弧的有效长度与小半圆弧及直导线大半圆弧的有效长度与小半圆弧及直导线abab、cdcd的总的总有效长度相同有效长度相同,电流方向相反电流方向相反,由由F=BILF=BIL和左手定则可以判断导和左手定则可以判断导线框两部分所受的安培力等大、反向线框两部分所受的安培力等大、反向,故导线框保持静止状态故导线框保持静止状态,且对细线的拉力等于导线框自身的重力。且对细线的拉力等于导线框自身的重力。【典典题2 2自主探究自主探究】(2014(2014临汾一模汾一模)如如图所示所示,两根光滑金属两根光滑金属导轨平行放置平行放置,导轨所在平面与水平面所在平面与水平面间的的夹角角为。整个装置。整个装置处于沿于沿竖直方向的匀直方向的匀强强磁磁场中。金属杆中。金属杆abab垂直垂直导轨放置放置,当金属当金属杆杆abab中通有从中通有从a a到到b b的恒定的恒定电流流I I时,金属杆金属杆abab刚好静止。好静止。则()A.A.磁场方向竖直向上磁场方向竖直向上B.B.磁场方向竖直向下磁场方向竖直向下C.C.金属杆金属杆abab受安培力的方向平行导轨向上受安培力的方向平行导轨向上D.D.金属杆金属杆abab受安培力的方向平行导轨向下受安培力的方向平行导轨向下【审题流程审题流程】第一步：审题干第一步：审题干提取信息提取信息(1)(1)两根光滑金属导轨平行放置两根光滑金属导轨平行放置 金属杆不受摩擦力作用。金属杆不受摩擦力作用。(2)(2)金属杆金属杆abab刚好静止刚好静止 金属杆处于平衡状态。金属杆处于平衡状态。第二步：审问题第二步：审问题明确解题思路明确解题思路若磁场方向竖直向上若磁场方向竖直向上(或竖直向下或竖直向下)判断金属杆所受判断金属杆所受安培力的方向安培力的方向画出金属杆的受力分析图画出金属杆的受力分析图 判断判断结果。结果。【解析解析】选选A A。金属杆受力如图所示。金属杆受力如图所示,当磁当磁场方向竖直向上时场方向竖直向上时,由左手定则可知安培由左手定则可知安培力水平向右力水平向右,金属杆金属杆abab受力可以平衡受力可以平衡,A,A正正确确;若磁场方向竖直向下若磁场方向竖直向下,由左手定则可知由左手定则可知安培力水平向左安培力水平向左,则金属杆则金属杆abab受力无法平受力无法平衡衡,B,B、C C、D D错误。错误。【解题悟道解题悟道】求解磁场中导体棒运动问题的方法求解磁场中导体棒运动问题的方法(1)(1)正确地对导体棒进行受力分析正确地对导体棒进行受力分析,应特别注意通电导体棒受到应特别注意通电导体棒受到的安培力的方向的安培力的方向,安培力与导体棒和磁感应强度组成的平面垂安培力与导体棒和磁感应强度组成的平面垂直。直。(2)(2)画出辅助图画出辅助图(如导轨如导轨斜面等斜面等),),并标明辅助方向并标明辅助方向(磁感应强磁感应强度度B B、电流、电流I I的方向的方向)。(3)(3)将立体的受力分析图转化为平面受力分析图将立体的受力分析图转化为平面受力分析图,即画出与导体即画出与导体棒垂直的平面内的受力分析图。棒垂直的平面内的受力分析图。【对点训练对点训练】1.(20141.(2014新新课标全国卷全国卷)关于通关于通电直直导线在匀在匀强强磁磁场中所受中所受的安培力的安培力,下列下列说法正确的是法正确的是()A.A.安培力的方向可以不垂直于直安培力的方向可以不垂直于直导线B.B.安培力的方向安培力的方向总是垂直于磁是垂直于磁场的方向的方向C.C.安培力的大小与通安培力的大小与通电直直导线和磁和磁场方向的方向的夹角无关角无关D.D.将直将直导线从中点折成直角从中点折成直角,安培力的大小一定安培力的大小一定变为原来的一半原来的一半【解析解析】选选B B。本题考查安培力的大小和方向。安培力总是垂。本题考查安培力的大小和方向。安培力总是垂直于磁场与电流所决定的平面直于磁场与电流所决定的平面,因此因此,安培力总与磁场和电流垂安培力总与磁场和电流垂直直,A,A错误错误,B,B正确正确;安培力安培力F=F=BILsinBILsin,其中其中是导线与磁场方向是导线与磁场方向的夹角的夹角,所以所以C C错误错误;将直导线从中点折成直角将直导线从中点折成直角,导线受到安培力导线受到安培力的大小不仅与有效长度有关的大小不仅与有效长度有关,还与导体在磁场中的相对位置有还与导体在磁场中的相对位置有关关,D,D错误。错误。2.(20142.(2014六六盘水一模水一模)如如图所示所示,三根三根长为L L的直的直线电流在空流在空间构成等构成等边三角形三角形,电流的方向垂直流的方向垂直纸面向里。面向里。电流大小均流大小均为I,I,其中其中A A、B B电流在流在C C处产生的磁感生的磁感应强强度的大小均度的大小均为B B0 0,导线C C位于水平面位于水平面处于静止状于静止状态,则导线C C受到受到的静摩擦力是的静摩擦力是()A.BA.B0 0IL,IL,水平向左水平向左 B.B.B B0 0IL,IL,水平向右水平向右C.BC.B0 0IL,IL,水平向左水平向左 D.D.B B0 0IL,IL,水平向右水平向右【解析解析】选选B B。根据安培定则。根据安培定则,A,A电流在电流在C C处产生的磁场方向垂直处产生的磁场方向垂直于于AC,BAC,B电流在电流在C C处产生的磁场方向垂直于处产生的磁场方向垂直于BC,BC,如图所示。如图所示。根据平行四边形定则及几何知识可知根据平行四边形定则及几何知识可知,合磁场的方向竖直向下合磁场的方向竖直向下,与与ABAB边平行边平行,合磁感应强度合磁感应强度B B的大小为的大小为B=2BB=2B0 0cos30cos30=B=B0 0,由由公式公式F=BILF=BIL得得,导线导线C C所受安培力大小为所受安培力大小为F=BF=B0 0IL,IL,根据左手定根据左手定则则,导线导线C C所受安培力方向水平向左所受安培力方向水平向左,因导线因导线C C位于水平面处于静位于水平面处于静止状态止状态,由平衡条件知由平衡条件知,导线导线C C受到的静摩擦力方向为水平向右受到的静摩擦力方向为水平向右,故故B B正确正确,A,A、C C、D D错误。错误。【加固加固训练】(2013(2013南通二模南通二模)如如图所示所示,在在竖直向下的恒定匀直向下的恒定匀强强磁磁场中有一光滑中有一光滑绝缘的的 圆轨道道,一重一重为G G的金属的金属导体体MNMN垂直于垂直于轨道横截面水平放置道横截面水平放置,在在导体中通入体中通入电流流I,I,使使导体在安培力的作体在安培力的作用下以恒定的速率用下以恒定的速率v v从从A A点运点运动到到C C点点,设导体所在位置的体所在位置的轨道半道半径与径与竖直方向的直方向的夹角角为,安培力的瞬安培力的瞬时功率功率为P,P,则从从A A到到C C的的过程中程中,下列有关下列有关说法正确的是法正确的是()A.A.电流方向从流方向从N N指向指向M M B.IcotB.IcotC.PcosC.Pcos D.PsinD.Psin【解析解析】选选D D。由于安培力方向始终水平向左。由于安培力方向始终水平向左,根据左手定则知根据左手定则知电流方向从电流方向从M M指向指向N,AN,A错误错误;因为导体棒做匀速圆周运动因为导体棒做匀速圆周运动,所以有所以有GsinGsin=F=F安安coscos=BILcosBILcos,故故I=I=tantan,即即Itan,BItan,B错误错误;又又P=FP=F安安vcosvcos=GvsinGvsin,所以所以Psin,CPsin,C错误错误,D,D正确。正确。热点考向二点考向二带电粒子在磁粒子在磁场中的运中的运动【典典题3 3师生探究生探究】(2014(2014沈阳一模沈阳一模)如如图所示所示,圆形区域内有垂直形区域内有垂直纸面的匀面的匀强强磁磁场,两个两个质量和量和电荷量都相同的荷量都相同的带电粒粒子子a a、b,b,以不同的速率沿着以不同的速率沿着AOAO方向方向对准准圆心心O O射入磁射入磁场,其运其运动轨迹如迹如图。若。若带电粒子只受磁粒子只受磁场力的作用力的作用,则下列下列说法正确的是法正确的是()A.aA.a粒子速率粒子速率较大大B.bB.b粒子速率粒子速率较大大C.bC.b粒子在磁粒子在磁场中运中运动时间较长D.aD.a、b b粒子在磁粒子在磁场中运中运动时间一一样长【破破题关关键】题干信息干信息“两个两个质量和量和电荷量都相同的荷量都相同的带电粒子粒子a a、b,b,以不同以不同的速率沿着的速率沿着AOAO方向方向对准准圆心心O O射入磁射入磁场”说明：两明：两带电粒子离粒子离开磁开磁场的速度方向沿的速度方向沿_。(1)(1)若要比若要比较粒子的速率粒子的速率,应根据两粒子的运根据两粒子的运动轨迹迹,确定确定_,_,再由再由 比比较速率大小。速率大小。(2)(2)若要比若要比较粒子在磁粒子在磁场中的运中的运动时间,先由先由 确定两粒确定两粒子的运子的运动周期周期,再由再由_比比较运运动时间。圆形磁形磁场的半径方向的半径方向圆心心和半径和半径粒子运粒子运动轨迹所迹所对的的圆心角心角【解析解析】选选B B。带电粒子沿半径方向垂直。带电粒子沿半径方向垂直进入圆形匀强磁场区域进入圆形匀强磁场区域,离开磁场的速度离开磁场的速度也必然沿圆形磁场的半径方向也必然沿圆形磁场的半径方向,据此作出据此作出a a、b b粒子离开磁场时的速度方向如图所粒子离开磁场时的速度方向如图所示示,那么圆形磁场区域和粒子圆周运动的轨迹就有一条公共弦那么圆形磁场区域和粒子圆周运动的轨迹就有一条公共弦,弦的垂直平分线过两个圆的圆心弦的垂直平分线过两个圆的圆心,而这条垂直平分线也是入射而这条垂直平分线也是入射速度和末速度夹角的角平分线速度和末速度夹角的角平分线,那么这条角平分线与进磁场时那么这条角平分线与进磁场时垂线的交点即圆心垂线的交点即圆心,由图示可判断由图示可判断a a粒子半径小粒子半径小,根据洛伦兹力根据洛伦兹力提供向心力提供向心力qvBqvB=,=,得得R=,R=,所以所以a a粒子速率较小粒子速率较小,A,A错错误误,B,B正确正确;由带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期由带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T=T=可知两个粒子圆周运动周期相同可知两个粒子圆周运动周期相同,由图可知由图可知,a,a粒子速度粒子速度偏转角大偏转角大,即圆心角大即圆心角大,所以所以a a粒子运动时间长粒子运动时间长,选项选项C C、D D错误。错误。【典典题4 4自主探究自主探究】(多多选)(2014)(2014新余一模新余一模)如如图,两个初速度两个初速度大小相同的同种离子大小相同的同种离子a a和和b,b,从从O O点沿垂直磁点沿垂直磁场方向方向进入匀入匀强强磁磁场,最后打到屏最后打到屏P P上。不上。不计重力。下列重力。下列说法正确的有法正确的有()A.aA.a、b b均均带正正电B.aB.a在磁在磁场中中飞行的行的时间比比b b的短的短C.aC.a在磁在磁场中中飞行的路程比行的路程比b b的短的短D.aD.a在在P P上的落点与上的落点与O O点的距离比点的距离比b b的近的近【审题流程审题流程】第一步：审题干第一步：审题干提取信息提取信息(1)(1)从从O O点沿垂直磁场方向进入匀强磁场点沿垂直磁场方向进入匀强磁场,最后打到屏最后打到屏P P上上离子向下偏转。离子向下偏转。(2)(2)不计重力不计重力 离子只在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。离子只在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。第二步：审问题第二步：审问题明确解题思路明确解题思路(1)(1)分析离子的带电情况：由离子向下偏转分析离子的带电情况：由离子向下偏转 得离子得离子均带正电。均带正电。(2)(2)分析离子的飞行时间、路程、落点与分析离子的飞行时间、路程、落点与O O点的距离：由点的距离：由r=r=确定圆心的位置确定圆心的位置画出离子运动的轨迹画出离子运动的轨迹比较比较a a、b b在磁场中在磁场中飞行的路程及在飞行的路程及在P P上的落点与上的落点与O O点的距离点的距离 比较离子飞行时间。比较离子飞行时间。【解析解析】选选A A、D D。两离子在磁场中的运动情况。两离子在磁场中的运动情况如图所示如图所示,根据左手定则根据左手定则,a,a、b b均带正电均带正电,A,A正确正确;由由T=T=可知可知,两离子在磁场中运动周期相同两离子在磁场中运动周期相同,由运动轨迹可知离子由运动轨迹可知离子a a转过的圆心角大于离子转过的圆心角大于离子b b转过的圆心角转过的圆心角,即即a a b b,由由t=,t=,可以判断可以判断a a在磁场中飞行在磁场中飞行的时间比的时间比b b的长的长,B,B错误错误;由由qvBqvB=得得R=,R=,故两离子在磁场故两离子在磁场中运动半径相同中运动半径相同,所以所以a a在磁场中飞行的路程比在磁场中飞行的路程比b b的长的长,a,a在在P P上的上的落点与落点与O O点的距离比点的距离比b b的近的近,C,C错误、错误、D D正确。正确。【解题悟道解题悟道】“三步法三步法”分析带电粒子在磁场中的运动问题分析带电粒子在磁场中的运动问题(1)(1)画轨迹：也就是确定圆心画轨迹：也就是确定圆心,用几何方法求半径并画出轨迹。用几何方法求半径并画出轨迹。(2)(2)找联系。找联系。轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系,分析粒子的运动分析粒子的运动半径常用的方法有物理方法和几何方法两种。物理方法也就是半径常用的方法有物理方法和几何方法两种。物理方法也就是应用公式应用公式r=r=确定确定;几何方法一般根据数学知识几何方法一般根据数学知识(直角三角形直角三角形知识、三角函数等知识、三角函数等)通过计算确定。通过计算确定。速度偏转角速度偏转角与回旋角与回旋角(转过的圆心角转过的圆心角)、运动时间运动时间t t相联系。如图所示相联系。如图所示,粒子的速度偏粒子的速度偏向角向角等于回旋角等于回旋角,等于弦切角等于弦切角的的2 2倍倍,且有且有=2=2=tt=t=t或或=,t=,t=(其中其中s s为运动的圆弧长度为运动的圆弧长度)。(3)(3)用规律：应用牛顿运动定律和圆周运动的规律关系式用规律：应用牛顿运动定律和圆周运动的规律关系式,特别特别是周期公式和半径公式是周期公式和半径公式,列方程求解。列方程求解。【对点训练对点训练】1.(1.(多多选)(2014)(2014新新课标全国卷全国卷)如如图为某磁某磁谱仪部分构件的示部分构件的示意意图。图中中,永磁永磁铁提供匀提供匀强强磁磁场,硅微条径迹探硅微条径迹探测器可以探器可以探测粒子在其中运粒子在其中运动的的轨迹。宇宙射迹。宇宙射线中有大量的中有大量的电子、正子、正电子和子和质子。当子。当这些粒子从上部垂直些粒子从上部垂直进入磁入磁场时,下列下列说法正确的是法正确的是()A.A.电子与正子与正电子的偏子的偏转方向一定不同方向一定不同B.B.电子与正子与正电子在磁子在磁场中运中运动轨迹的半径一定相同迹的半径一定相同C.C.仅依据粒子运依据粒子运动轨迹无法判断迹无法判断该粒子是粒子是质子子还是正是正电子子D.D.粒子的粒子的动能越大能越大,它在磁它在磁场中运中运动轨迹的半径越小迹的半径越小【解析解析】选选A A、C C。电子与正电子电性相反。电子与正电子电性相反,若入射速度方向相若入射速度方向相同时同时,由左手定则可判定电子和正电子受力方向相反由左手定则可判定电子和正电子受力方向相反,所以偏转所以偏转方向相反方向相反,选项选项A A正确正确;根据根据r=r=可知可知,由于电子和正电子垂直由于电子和正电子垂直进入磁场的速度未知进入磁场的速度未知,故轨迹半径不一定相同故轨迹半径不一定相同,选项选项B B错误错误;由于由于质子和正电子在磁场中的受力方向一样质子和正电子在磁场中的受力方向一样,所以仅凭粒子的运动所以仅凭粒子的运动轨迹无法判断它们是质子还是正电子轨迹无法判断它们是质子还是正电子,故选项故选项C C正确正确;根据根据E Ek k=mv mv2 2和和r=r=得得r=,r=,可见粒子的动能越大时可见粒子的动能越大时,轨迹半径轨迹半径越大越大,选项选项D D错误。错误。2.(20142.(2014长治一模治一模)如如图所示所示,半径半径为r r的的圆形空形空间内内,存在着垂存在着垂直于直于纸面向外的匀面向外的匀强强磁磁场,一个一个带电粒子粒子(不不计重力重力),),从从A A点沿半点沿半径方向以速度径方向以速度v v0 0垂直于磁垂直于磁场方向射入磁方向射入磁场中中,并由并由B B点射出点射出,且且AOB=120AOB=120,则该粒子在磁粒子在磁场中运中运动的的时间为()【解析解析】选选D D。由图可知，粒子转过的圆心角为。由图可知，粒子转过的圆心角为6060，R=rtan60R=rtan60=r=r，转过的弧长为，转过的弧长为则运动所用时间则运动所用时间t=t=，选项，选项D D正确。正确。【加固加固训练】(2013(2013广州一模广州一模)薄薄铝板将同一匀板将同一匀强强磁磁场分成分成、两个区域两个区域,高速高速带电粒子可穿粒子可穿过铝板一次板一次,在两个区域内运在两个区域内运动的的轨迹如迹如图所示所示,半径半径R R1 1RR2 2。假定穿。假定穿过铝板前后粒子板前后粒子电荷量保荷量保持不持不变,则该粒子粒子()A.A.带正正电B.B.在在、区域的运区域的运动速度大小相同速度大小相同C.C.在在、区域的运区域的运动时间相同相同D.D.从从区域穿区域穿过铝板运板运动到到区域区域【解析解析】选选C C。粒子穿过铝板受到铝板的阻力。粒子穿过铝板受到铝板的阻力,速度将减小。由速度将减小。由r=r=可得粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径将减小可得粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径将减小,故可得粒子由故可得粒子由区域运动到区域运动到区域区域,结合左手定则可知粒子带结合左手定则可知粒子带负电负电,A,A、B B、D D选项错误选项错误;由由T=T=可知粒子运动的周期不变可知粒子运动的周期不变,粒子在粒子在区域和区域和区域中运动的时间均为区域中运动的时间均为t=,Ct=,C选项正选项正确。确。热点考向三点考向三带电粒子在有界匀粒子在有界匀强强磁磁场中的中的临界界问题【典典题5 5师生探究生探究】如如图所示所示,边界界OAOA与与OCOC之之间分布有垂直分布有垂直纸面向里的匀面向里的匀强强磁磁场,边界界OAOA上有一粒子源上有一粒子源S S。某一。某一时刻刻,从从S S平平行于行于纸面向各个方向面向各个方向发射出大量射出大量带正正电的同种粒子的同种粒子(不不计粒子的重力及粒子粒子的重力及粒子间的相互作用的相互作用),),所有粒子所有粒子的初速度大小相同的初速度大小相同,经过一段一段时间有大量粒子从有大量粒子从边界界OCOC射出磁射出磁场。已知。已知AOC=60AOC=60,从从边界界OCOC射出的粒子在磁射出的粒子在磁场中运中运动的最的最短短时间等于等于 (T(T为粒子在磁粒子在磁场中运中运动的周期的周期),),则从从边界界OCOC射出射出的粒子在磁的粒子在磁场中运中运动的最的最长时间为()【破破题关关键】(1)(1)题干中干中“从从S S平行于平行于纸面向各个方向面向各个方向发射出大量射出大量带正正电的的同种粒子同种粒子(不不计粒子的重力及粒子粒子的重力及粒子间的相互作用的相互作用),),所有粒子的所有粒子的初速度大小相同初速度大小相同”说明：所有粒子在磁明：所有粒子在磁场中做匀速中做匀速圆周运周运动的的_相同相同,_,_,粒子在磁粒子在磁场中运中运动时间就越短就越短,_,_,粒子在磁粒子在磁场中运中运动时间就越就越长。(2)(2)题干中干中“从从边界界OCOC射出的粒子在磁射出的粒子在磁场中运中运动的最短的最短时间等等于于 ”说明：此粒子在磁明：此粒子在磁场中中_。半径半径轨迹弧迹弧长越小越小轨迹弧迹弧长越大越大运运动的的圆弧所弧所对的的圆心角心角为6060【解析解析】选选B B。由左手定则可知。由左手定则可知,粒子在磁场中粒子在磁场中做逆时针方向的圆周运动做逆时针方向的圆周运动,由于粒子速度大小由于粒子速度大小都相同都相同,故轨迹弧长越小故轨迹弧长越小,粒子在磁场中运动时粒子在磁场中运动时间就越短间就越短;而弧长越小而弧长越小,所对弦长也越短所对弦长也越短,所以所以从从S S点作点作OCOC的垂线的垂线SD,SD,则则SDSD为最短弦为最短弦,可知粒子从可知粒子从D D点射出时运行点射出时运行时间最短时间最短,如图所示。根据最短时间为如图所示。根据最短时间为 ,可知可知OSDOSD为等边为等边三角形三角形,粒子圆周运动半径粒子圆周运动半径R=SD,R=SD,过过S S点作点作OAOA垂线交垂线交OCOC于于E E点点,由由几何关系可知几何关系可知SE=2SD,SESE=2SD,SE为圆弧轨迹的直径为圆弧轨迹的直径,所以从所以从E E点射出点射出,对对应弦最长应弦最长,运行时间最长运行时间最长,且且t=,t=,故故B B项正确。项正确。【拓展延伸拓展延伸】在在【典题典题5 5】中，若粒子的比荷为中，若粒子的比荷为 ，OS=LOS=L，粒，粒子的速率为子的速率为v v，试分析没有粒子从边界，试分析没有粒子从边界OCOC射出磁场的磁感应强射出磁场的磁感应强度度B B应满足的条件。应满足的条件。【解析解析】粒子刚好不从粒子刚好不从OCOC边界射出的最大直径为边界射出的最大直径为S S到到OCOC的垂线的垂线SDSD，由几何关系得，由几何关系得 ，由，由qvBqvB=得得 故没有粒子从边界故没有粒子从边界OCOC射出磁场的磁感射出磁场的磁感应强度应强度B B应满足的条件为应满足的条件为B B 。【解题悟道解题悟道】带电粒子在有界磁场中运动临界问题的三种几何关系带电粒子在有界磁场中运动临界问题的三种几何关系(1)(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。与边界相切。(2)(2)当粒子的运动速率当粒子的运动速率v v一定时一定时,粒子经过的弧长粒子经过的弧长(或弦长或弦长)越长越长,圆心角越大圆心角越大,则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。(3)(3)当粒子的运动速率当粒子的运动速率v v变化时变化时,带电粒子在匀强磁场中的运动带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹对应的圆心角越大轨迹对应的圆心角越大,其在磁场中的运动时间越长。其在磁场中的运动时间越长。【对点训练对点训练】1.(20141.(2014昆明一模昆明一模)如如图所示所示,带有正有正电荷的荷的A A粒子和粒子和B B粒子同粒子同时以同以同样大小的速度从大小的速度从宽度度为d d的有界匀的有界匀强强磁磁场的的边界上的界上的O O点分点分别以以3030和和6060(与与边界的界的夹角角)射入磁射入磁场,又恰好都不又恰好都不从另一从另一边界界飞出出,则下列下列说法中正确的是法中正确的是()A.AA.A、B B两粒子在磁两粒子在磁场中做中做圆周运周运动的半径之比的半径之比为B.AB.A、B B两粒子在磁两粒子在磁场中做中做圆周运周运动的半径之比的半径之比为C.AC.A、B B两粒子的两粒子的 之比是之比是D.AD.A、B B两粒子的两粒子的 之比是之比是【解析解析】选选D D。粒子运动轨迹如图所示，其中。粒子运动轨迹如图所示，其中A A粒子的运动半径为粒子的运动半径为R R，d=R+Rcos30d=R+Rcos30,B B粒子的运动半径为粒子的运动半径为r r，同理可，同理可得：得：则则 所以所以A A、B B错错误；据误；据R=R=可知可知,两粒子的两粒子的 之比是之比是 ，C C错误，错误，D D正确。正确。2.(2.(多多选)(2014)(2014贵阳一模阳一模)如如图所示所示,一束一束电子以大小不同的速率沿子以大小不同的速率沿图示方向示方向飞入横截入横截面面为一正方形的匀一正方形的匀强强磁磁场区区,在从在从abab边离开离开磁磁场的的电子中子中,下列判断正确的是下列判断正确的是()A.A.从从b b点离开的点离开的电子速度最大子速度最大B.B.从从b b点离开的点离开的电子在磁子在磁场中运中运动时间最最长C.C.从从b b点离开的点离开的电子速度偏子速度偏转角最大角最大D.D.在磁在磁场中运中运动时间相同的相同的电子子,其其轨迹迹线一定重合一定重合【解析解析】选选A A、D D。电子进入磁场。电子进入磁场,轨迹圆心在入射点下方轨迹圆心在入射点下方,使电使电子速度从零逐渐增大子速度从零逐渐增大,逐渐增大轨迹圆半径逐渐增大轨迹圆半径,从左边界离开的电从左边界离开的电子轨迹为半圆子轨迹为半圆,由作图可知从由作图可知从b b点离开的电子轨迹半径最大点离开的电子轨迹半径最大,且且从从b b点离开的电子其轨迹圆心角最小点离开的电子其轨迹圆心角最小,速度偏转角最小速度偏转角最小,在磁场在磁场中运动时间最短中运动时间最短,A,A正确正确,B,B、C C错误错误;从从abab边射出的电子其运动轨边射出的电子其运动轨迹所对的圆心角随速度的增大而减小且均不大于迹所对的圆心角随速度的增大而减小且均不大于,对应的运对应的运动时间逐渐减小动时间逐渐减小,所以当运动时间相同时所以当运动时间相同时,其轨迹线一定重合其轨迹线一定重合,D,D正确。正确。3.(20143.(2014沈阳一模沈阳一模)如如图所示所示,在真空中坐在真空中坐标xOyxOy平面的平面的x0 x0区域内区域内,有磁感有磁感应强强度度B=1.0B=1.01010-2-2T T的匀的匀强强磁磁场,方向与方向与xOyxOy平面垂直平面垂直,在在x x轴上的上的P(10,0)P(10,0)点点,有一放射源有一放射源,在在xOyxOy平面内向平面内向各个方向各个方向发射速率射速率v=10v=104 4m/sm/s的的带正正电的粒子的粒子,粒子的粒子的质量量为m=1.6m=1.61010-25-25kg,kg,电荷量荷量为q=1.6q=1.61010-18-18C,C,求求带电粒粒子能打到子能打到y y轴上的范上的范围。【解析解析】带电粒子在磁场中运动时由牛顿第二定律得：带电粒子在磁场中运动时由牛顿第二定律得：qvBqvB=解得：解得：R=0.1m=10 cmR=0.1m=10 cm如图所示如图所示,当带电粒子打到当带电粒子打到y y轴上方向的轴上方向的A A点点与与P P连线正好为其圆轨迹的直径时连线正好为其圆轨迹的直径时,A,A点即为点即为粒子能打到粒子能打到y y轴上方的最高点。轴上方的最高点。因因OP=10cmOP=10cmAP=2R=20cmAP=2R=20cm则则OA=OA=当带电粒子的圆轨迹正好与当带电粒子的圆轨迹正好与y y轴下方相切于轴下方相切于B B点时点时,若圆心再向若圆心再向左偏左偏,则粒子就会从纵轴离开磁场则粒子就会从纵轴离开磁场,所以所以B B点即为粒子能打到点即为粒子能打到y y轴轴下方的最低点下方的最低点,易得易得OB=R=10cm,OB=R=10cm,综上所述综上所述,带电粒子能打到带电粒子能打到y y轴轴上的范围为上的范围为-10-1010 cm10 cm。答案：答案：-10-1010 cm10 cm【加固加固训练】(多多选)(2013)(2013黄黄冈一模一模)如如图所示所示,有一垂直于有一垂直于纸面向外的有界匀面向外的有界匀强强磁磁场,磁磁场的磁感的磁感应强强度度为B,B,其其边界界为一一边长为L L的正三角形的正三角形(边界上有磁界上有磁场),A),A、B B、C C为三角形的三个三角形的三个顶点。点。现有一有一质量量为m m、电荷量荷量为+q+q的粒子的粒子(不不计重力重力),),以速度以速度v=v=从从ABAB边上的某点上的某点P P既垂直于既垂直于ABAB边又垂直于磁又垂直于磁场的方向射入的方向射入,然后然后从从BCBC边上某点上某点Q Q射出。若从射出。若从P P点射入的点射入的该粒子能从粒子能从Q Q点射出点射出,则()【解析解析】选选A A、D D。带电粒子做匀速圆周运动轨。带电粒子做匀速圆周运动轨迹的圆心必在迹的圆心必在ABAB之上之上,画出运动轨迹如图所示画出运动轨迹如图所示,由半径公式由半径公式r=r=及及v=v=可知可知,粒子做粒子做圆周运动的半径为圆周运动的半径为r=L,r=L,当粒子运动的轨迹当粒子运动的轨迹圆心位于圆心位于ABAB中点中点O O1 1时时,粒子正好与粒子正好与ACAC、BCBC边相切边相切,由几何关系由几何关系知知,PB,PB满足满足PB L,APB L,A正确正确;平行向右移动参考圆平行向右移动参考圆O O1 1,与与CBCB交点最远时的交点最远时的Q Q点到点到ABAB的距离为半径的距离为半径r,r,所以所以QB QB D D正确。正确。带电粒子在磁场中运动的多解问题带电粒子在磁场中运动的多解问题【典例典例】(2014(2014吉林一模吉林一模)如如图所示所示,A A、B B为一一对平行板平行板,板板长为l,两板两板间距距离离为d,d,板板间区域内充区域内充满着匀着匀强强磁磁场,磁磁感感应强强度大小度大小为B,B,方向垂直方向垂直纸面向里面向里,一个一个质量量为m,m,带电量量为+q+q的的带电粒子以初速度粒子以初速度v v0 0,从从A A、B B两板的中两板的中间,沿垂直于磁感沿垂直于磁感线的方的方向射入磁向射入磁场。求。求v v0 0在什么范在什么范围内内,粒子能从磁粒子能从磁场内射出内射出?【规范解答规范解答】若带电粒子刚好从平行板若带电粒子刚好从平行板左边缘射出左边缘射出,如图所示：如图所示：由几何关系得：由几何关系得：r r1 1=由牛顿第二定律得：由牛顿第二定律得：qvqv1 1B=m ,B=m ,解得：解得：v v1 1=若带电粒子刚好从平行板右边缘射出若带电粒子刚好从平行板右边缘射出,如图所示：如图所示：由几何关系得：由几何关系得：由牛顿第二定律得：由牛顿第二定律得：qvqv2 2B=B=解得：解得：v v2 2=故当故当v v0 0 或或v v0 0 时时,粒子可以从磁场内射出粒子可以从磁场内射出答案：答案：v v0 0 或或v v0 0 【常见误区常见误区】易易错角度角度错因剖析因剖析误认为带电粒粒子只从平行板子只从平行板右右边缘射出射出分析分析带电粒子在磁粒子在磁场中的运中的运动情况情况时,没有把粒子的没有把粒子的运运动轨迹的可能性画出迹的可能性画出,主主观地地认为粒子从左粒子从左侧射入射入磁磁场,粒子就一定从右粒子就一定从右侧射出磁射出磁场,而而实际上粒子在磁上粒子在磁场中运中运动的的圆周周轨迹半径与速度有关迹半径与速度有关,速度越小速度越小,圆周周半径越小半径越小,当粒子的半径小于当粒子的半径小于 时,粒子将从磁粒子将从磁场左左侧射出。射出。未写出初速度未写出初速度的范的范围或范或范围错误没有没有审清清设问,只是求出粒子射出磁只是求出粒子射出磁场的的临界速度界速度,没没有有补充充说明粒子速度的范明粒子速度的范围;范范围错误的原因是没有的原因是没有认真分析粒子速度与真分析粒子速度与圆周周轨道半径的关系道半径的关系,只凭想当只凭想当然而得出然而得出错误的的结论。【防范措施防范措施】1.1.要正确分析要正确分析带电粒子在磁粒子在磁场中运中运动的多解原因：的多解原因：带电粒子在粒子在洛洛伦兹力作用下做匀速力作用下做匀速圆周运周运动的的问题形成多解的原因有：形成多解的原因有：带电粒子粒子电性不确定性不确定;磁磁场方向不确定方向不确定;临界状界状态不唯一不唯一;运运动的的重复性等。重复性等。2.2.要熟要熟练掌握半径公式：掌握半径公式：带电粒子在磁粒子在磁场中受洛中受洛伦兹力作用做力作用做匀速匀速圆周运周运动的半径的半径r=,r=,当磁当磁场一定一定时,粒子的粒子的圆周周轨道半道半径与速度成正比。径与速度成正比。3.3.要明确解决多解要明确解决多解问题的一般思路：的一般思路：(1)(1)明确明确带电粒子的粒子的电性和磁性和磁场方向方向;(2)(2)正确找出正确找出带电粒子运粒子运动的的临界状界状态;(3)(3)结合合带电粒子的运粒子的运动轨迹利用迹利用圆周运周运动的周期性的周期性进行分析行分析计算。算。【类题试解解】(2014(2014安安庆二模二模)如如图所示所示,现有一有一质量量为m m、电量量为e e的的电子从子从y y轴上的上的P(0,a)P(0,a)点以初速度点以初速度v v0 0平行于平行于x x轴射出射出,为了了使使电子能子能够经过x x轴上的上的Q(b,0)Q(b,0)点点,可在可在y y轴右右侧加一垂直于加一垂直于xOyxOy平面向里、平面向里、宽度度为L L的匀的匀强强磁磁场,磁感磁感应强强度大小度大小为B,B,该磁磁场左、右左、右边界与界与y y轴平行平行,上、下范上、下范围足足够大大(图中未画出中未画出)。已知。已知 LbLLrL时时,磁场区域及电子运动轨迹如图甲所示。磁场区域及电子运动轨迹如图甲所示。由几何关系得：由几何关系得：sinsin=则磁场左边界距坐标原点的距离为则磁场左边界距坐标原点的距离为x x1 1=b-L-a-r(1-cos)cot=b-L-a-r(1-cos)cot解得：解得：x x1 1=b-L-a-(1-cos)cot(=b-L-a-(1-cos)cot(其中其中=arcsinarcsin )(2)(2)当当rLrL时时,磁场区域及电子运动轨迹如图乙所示。磁场区域及电子运动轨迹如图乙所示。由几何关系得磁场左边界距坐标原点的距离为由几何关系得磁场左边界距坐标原点的距离为x x2 2=b-=b-解得：解得：x x2 2=b-=b-答案：答案：b-L-a-(1-cos)cot(b-L-a-(1-cos)cot(其中其中=arcsinarcsin )或或b-b-