石油大学结构力学第8章)课件

续第续第7章章 力法力法求挠曲线求挠曲线 AB若挠度是由温度引起的，则若挠度是由温度引起的，则若挠度是由温度引起的，则若挠度是由温度引起的，则 作业：作业：6-17(b)求解超静定后求解超静定后求解超静定后求解超静定后 如图所示梁，如图所示梁，B端下沉端下沉，试作，试作MM图并求其挠曲线方程。图并求其挠曲线方程。解：解：解：解：力法典型方程为力法典型方程为 忽略轴力影响，本题为忽略轴力影响，本题为二次超静定。二次超静定。力法基本结构力法基本结构 lAB代入力法典型方程得代入力法典型方程得 解之得解之得 M图图 求挠曲线求挠曲线 AB若挠度是由温度引起的，则若挠度是由温度引起的，则若挠度是由温度引起的，则若挠度是由温度引起的，则 7.9 超静定结构的特性超静定结构的特性与静定结构相比，超静定结构具有下列特性与静定结构相比，超静定结构具有下列特性 (1)在静定结构中只有荷载能引起内力。而在静定结构中只有荷载能引起内力。而在超静定结构中，在超静定结构中，任何因素任何因素任何因素任何因素（包括：荷载、温（包括：荷载、温度变化、支座位移、制造误差、材料伸缩等）度变化、支座位移、制造误差、材料伸缩等）都都可能可能可能可能引起内力。引起内力。但此类杆伸缩不会产生内力但此类杆伸缩不会产生内力但此类杆伸缩不会产生内力但此类杆伸缩不会产生内力图图(b)(2)静定结构的内力只需按静力平衡条件确定，其值静定结构的内力只需按静力平衡条件确定，其值与结构的材料性质、截面尺寸无关。而超静定结构的内力，与结构的材料性质、截面尺寸无关。而超静定结构的内力，除考虑静力平衡条件外，还需考虑结构的变形条件，其内除考虑静力平衡条件外，还需考虑结构的变形条件，其内力值与结构的材料性质、截面尺寸有关力值与结构的材料性质、截面尺寸有关。在什么情况下，形式上无关？在什么情况下，形式上无关？在什么情况下，形式上无关？在什么情况下，形式上无关？当各杆的当各杆的当各杆的当各杆的EIEI成比例时，形式上无关。成比例时，形式上无关。成比例时，形式上无关。成比例时，形式上无关。(3)超静定结构在超静定结构在多余约束多余约束多余约束多余约束被破坏后，仍能维持几何不被破坏后，仍能维持几何不变性，而静定结构在任一约束被破坏后，即变为几何可变变性，而静定结构在任一约束被破坏后，即变为几何可变体系，丧失承载能力，因此，一般而言，超静定结构比静体系，丧失承载能力，因此，一般而言，超静定结构比静定结构具有定结构具有较大的较大的较大的较大的抵抗突然破坏的能力抵抗突然破坏的能力抵抗突然破坏的能力抵抗突然破坏的能力。不能视为多余约束的约束也具有该特点？不能视为多余约束的约束也具有该特点？不能视为多余约束的约束也具有该特点？不能视为多余约束的约束也具有该特点？Fpl/8Fpl/8Fpl/8 max1 max2M图：图：Fpl/4 (4)超静定结构中由于具有多余约束，一般而言，其超静定结构中由于具有多余约束，一般而言，其刚度比相应的静定结构大些。且内力分布也比较均匀。刚度比相应的静定结构大些。且内力分布也比较均匀。如如Fpl/2l/2Fpl/2l/2结构力学结构力学第第8 8章章 位移法位移法 主要内容主要内容位移法基本概念位移法基本概念位移法的基本结构和基本未知量位移法的基本结构和基本未知量等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程位移法典型方程位移法典型方程直接利用平衡条件建立位移法方程直接利用平衡条件建立位移法方程位移法与力法联合应用位移法与力法联合应用用位移法计算有斜柱的刚架用位移法计算有斜柱的刚架8.1 位移法的基本概念位移法的基本概念 力法是分析超静定结构的最基本也是历史力法是分析超静定结构的最基本也是历史最悠久的方法。最悠久的方法。力法力法力法力法是以是以多余力多余力多余力多余力作为基本未知量，作为基本未知量，首先首先首先首先根根据据变形协调条件变形协调条件变形协调条件变形协调条件求出多余力，求出多余力，然后然后然后然后再求出其它再求出其它反力、内力和变形。反力、内力和变形。位移法位移法位移法位移法是以是以结构的结点位移结构的结点位移结构的结点位移结构的结点位移作为基本未知作为基本未知量，以结点的量，以结点的平衡条件平衡条件平衡条件平衡条件作为补充方程，作为补充方程，首先首先首先首先求求出结点位移，出结点位移，然后然后然后然后再求出其它反力、内力。再求出其它反力、内力。求解问题的顺序求解问题的顺序正相反正相反正相反正相反。作为入门，我们先看一个简单的例子。以便更具体地作为入门，我们先看一个简单的例子。以便更具体地了解位移法解题的基本思路。如图示对称桁架，承受对称了解位移法解题的基本思路。如图示对称桁架，承受对称荷载荷载Fp作用。作用。图图(a)Fpi iZ 由于对称，结点由于对称，结点B将仅有竖向位移将仅有竖向位移Z。在位移法中，。在位移法中，基本未知量基本未知量基本未知量基本未知量为为Z。取结点取结点B为隔离体如图为隔离体如图(b)所示所示图图(b)Fp设设第第第第 i i 根根根根杆受的拉力为杆受的拉力为FNi，由静力平衡条件，得由静力平衡条件，得(a)另一方面，另一方面，考虑任一根杆考虑任一根杆考虑任一根杆考虑任一根杆i，设设其其伸长量为伸长量为伸长量为伸长量为u ui i，由几何关系得由几何关系得 (b)由虎克定律得由虎克定律得(c)i iZui图图(c)书中符号为书中符号为书中符号为书中符号为 (b)(c)则则:(d)上式就是上式就是拉压杆的刚度方程拉压杆的刚度方程拉压杆的刚度方程拉压杆的刚度方程它反映了它反映了杆端力杆端力杆端力杆端力FN i与与杆端位移杆端位移ui 之间的关系。把之间的关系。把(d)式代式代入入(a)式得式得(a)(e)上式就是上式就是位移法的基本方程位移法的基本方程位移法的基本方程位移法的基本方程它反映了结构的它反映了结构的结点位移结点位移结点位移结点位移与结构的与结构的结点荷载结点荷载结点荷载结点荷载之间的关系。之间的关系。图图(a)Fpi iZ图图(b)Fpi iZui图图(c)由基本方程得由基本方程得(f)至此完成了位移法的至此完成了位移法的关键一步关键一步关键一步关键一步，即在外荷载的作用下，结，即在外荷载的作用下，结构的结点位移求解。各杆的内力也可以确定构的结点位移求解。各杆的内力也可以确定 (g)上面简要地介绍了位移法解题的过程，其要点如下上面简要地介绍了位移法解题的过程，其要点如下 1.1.位移法的基本未知量是结点位移位移法的基本未知量是结点位移位移法的基本未知量是结点位移位移法的基本未知量是结点位移；2.2.位移法的基本方程实质是结点位移法的基本方程实质是结点位移法的基本方程实质是结点位移法的基本方程实质是结点沿基本未知量方向沿基本未知量方向沿基本未知量方向沿基本未知量方向的平的平的平的平衡方程衡方程衡方程衡方程；3.3.求解基本方程后，即可求出各杆的内力求解基本方程后，即可求出各杆的内力求解基本方程后，即可求出各杆的内力求解基本方程后，即可求出各杆的内力。8.2 位移法的基本结构和位移法的基本结构和基本未知量基本未知量 上节中以简单桁架为例说明了位移法的基本要点，下上节中以简单桁架为例说明了位移法的基本要点，下面讨论如何将位移法应用于刚架计算。面讨论如何将位移法应用于刚架计算。如图如图(a)所示由两根所示由两根杆组成的刚架杆组成的刚架。Z131Z1图图(c)可以看出，在位移法中，应以可以看出，在位移法中，应以结点位移结点位移结点位移结点位移Z(或用或用或用或用 表示表示表示表示)作为基本未知量，并以作为基本未知量，并以单跨超静定梁作为基本计算单元单跨超静定梁作为基本计算单元单跨超静定梁作为基本计算单元单跨超静定梁作为基本计算单元，因此，用位移法分析刚架时，需要解决下面三个问题：因此，用位移法分析刚架时，需要解决下面三个问题：如果能求出如果能求出如果能求出如果能求出转角转角Z1，则则各杆各杆(12杆、杆、13杆杆)的内力的内力均可按前面的力法求得。均可按前面的力法求得。1.1.1.1.位移法的基本未知量的数目位移法的基本未知量的数目位移法的基本未知量的数目位移法的基本未知量的数目(至少要求出多少个位至少要求出多少个位至少要求出多少个位至少要求出多少个位移未知量移未知量移未知量移未知量)2.2.2.2.单跨超静定梁分析单跨超静定梁分析单跨超静定梁分析单跨超静定梁分析 3.3.3.3.相应于基本未知量的位移法方程如何建立和求解。相应于基本未知量的位移法方程如何建立和求解。相应于基本未知量的位移法方程如何建立和求解。相应于基本未知量的位移法方程如何建立和求解。图图(a)123Fp12图图(b)Z1Fp 在本节中，我们讨论第一个问题，在本节中，我们讨论第一个问题，位移法的基本未位移法的基本未位移法的基本未位移法的基本未知量的数目及相应的位移法基本结构知量的数目及相应的位移法基本结构知量的数目及相应的位移法基本结构知量的数目及相应的位移法基本结构。其它两个问题，。其它两个问题，后面讨论。后面讨论。为了为了为了为了将原刚架的各杆变成将原刚架的各杆变成单跨超静定梁单跨超静定梁单跨超静定梁单跨超静定梁，可以在原，可以在原刚架的结点上引入某些刚架的结点上引入某些附加约束附加约束附加约束附加约束如如如如：附加的刚臂附加的刚臂附加的刚臂附加的刚臂（阻止结点转动的约束）（阻止结点转动的约束）附加链杆附加链杆附加链杆附加链杆（阻止结点线位移的约束）（阻止结点线位移的约束）引入引入附加的刚臂附加的刚臂附加的刚臂附加的刚臂或或附加链杆附加链杆附加链杆附加链杆后，使得结构的后，使得结构的结点结点结点结点变变成成固定端或铰支端固定端或铰支端固定端或铰支端固定端或铰支端，而各杆成为单跨超静定梁。所得的，而各杆成为单跨超静定梁。所得的结构即为结构即为位移法计算时的基本结构位移法计算时的基本结构位移法计算时的基本结构位移法计算时的基本结构。而结构而结构独立的独立的独立的独立的基本未知量数目基本未知量数目基本未知量数目基本未知量数目等于把原结构转变为等于把原结构转变为基本结构时，所基本结构时，所附加的刚臂附加的刚臂附加的刚臂附加的刚臂和和附加链杆附加链杆附加链杆附加链杆数目之和数目之和数目之和数目之和。这样，。这样，在确定了基本结构的同时，也就确定了位移法的基本未在确定了基本结构的同时，也就确定了位移法的基本未知量的数目。如：知量的数目。如：附加刚臂附加刚臂一个基本未知量一个基本未知量一个基本未知量一个基本未知量基本结构基本结构附加链杆附加链杆两个基本未知量两个基本未知量两个基本未知量两个基本未知量基本结构基本结构三个基本未知量三个基本未知量三个基本未知量三个基本未知量基本结构基本结构Z1Z1Z2Z2Z3Z1基本结构基本结构三三三三个个个个基基基基本本本本未知量未知量未知量未知量EAEA两两两两个个个个基基基基本本本本未知量未知量未知量未知量基本结构基本结构若：若：若：若：EAEA=？0 0 0 0个基本个基本个基本个基本未知量未知量未知量未知量 EAEAZ1Z2Z3Z1Z28.3 等截面直杆的转角位等截面直杆的转角位移方程（物理方程）移方程（物理方程）前面曾提到，位移法分析刚架的基本计算单元为前面曾提到，位移法分析刚架的基本计算单元为单跨单跨单跨单跨超静定梁超静定梁超静定梁超静定梁，因此，需事先知道这种梁在杆端位移和荷载作，因此，需事先知道这种梁在杆端位移和荷载作用下的杆端内力情况。用下的杆端内力情况。1 1 杆端位移引起的杆端力杆端位移引起的杆端力杆端位移引起的杆端力杆端位移引起的杆端力 如图如图(a)所示两端固定梁所示两端固定梁AB，已知已知A A端端端端位移是位移是vA、A，B B端端端端位移是位移是vB、B。求求该梁该梁杆端力杆端力杆端力杆端力MAB、FQAB、MBA、FQBA。图图中的中的位移和杆端力位移和杆端力的方向的方向均为正方向均为正方向均为正方向均为正方向把变形分解，首先考虑杆端弯矩作用下把变形分解，首先考虑杆端弯矩作用下的杆端转角，如图的杆端转角，如图(b)所示。所示。(a)i=EI/l 称为杆的线刚度。称为杆的线刚度。图图(a)ABxy AvA BvBMABMBA A BMABFQABFQBAMBA图图(b)则杆端的最终转角为则杆端的最终转角为(c)由上式解得由上式解得(d)由静力平衡条件可求得杆端剪力为由静力平衡条件可求得杆端剪力为(e)为了便于以后应用，下面讨论在为了便于以后应用，下面讨论在B端具有不同支承条件时端具有不同支承条件时的杆端位移与杆端力的关系。的杆端位移与杆端力的关系。其次，因杆端线位移引起的杆端转角为其次，因杆端线位移引起的杆端转角为(b)MABMBA A B图图(c)vAvB(1)(1)B B B B端为铰支，如图端为铰支，如图端为铰支，如图端为铰支，如图(c)(c)(c)(c)所示所示所示所示在在(c)的第一式中的第一式中，令，令MBA=0得得 由平衡条件得由平衡条件得(h)(f)FQAB图图(c)ABxyMABFQBA(e)(d)(2)B(2)B(2)B(2)B端为定向支承，如图端为定向支承，如图端为定向支承，如图端为定向支承，如图(d)(d)(d)(d)所示。所示。所示。所示。图图(d)ABxyMABMBA由由(d)式得式得(i)2 2 荷载引起的杆端力荷载引起的杆端力荷载引起的杆端力荷载引起的杆端力 书中给出了常见约束情况下书中给出了常见约束情况下荷载引起荷载引起荷载引起荷载引起的的杆端弯矩杆端弯矩杆端弯矩杆端弯矩(顺顺时针为正时针为正)和和杆端剪力杆端剪力杆端剪力杆端剪力（对杆内任一点产生顺时针矩的（对杆内任一点产生顺时针矩的为正）的大小，使用时可直接查表（该表是用前面的力为正）的大小，使用时可直接查表（该表是用前面的力法求得的）法求得的）杆端弯矩用杆端弯矩用MMF FABAB、MMF FBABA表示；表示；杆端剪力用杆端剪力用F FF FQABQAB、F FF FQBAQBA表示。表示。如：如：如：如：ABMFABMFBAFFQABFFQBAFpa/2a/23 3 3 3 等截面单跨超静定梁的转角位移方程等截面单跨超静定梁的转角位移方程等截面单跨超静定梁的转角位移方程等截面单跨超静定梁的转角位移方程 若等截面梁同时承受已知的杆端位移和荷载共同作若等截面梁同时承受已知的杆端位移和荷载共同作用，则由叠加原理易求得最终的杆端力为用，则由叠加原理易求得最终的杆端力为(1)(1)(1)(1)两端为固定两端为固定两端为固定两端为固定 (8-1)这就是这就是两端固定两端固定两端固定两端固定等截面直杆的等截面直杆的转角位移方程转角位移方程转角位移方程转角位移方程。ABxMABMBAFQABFQBAy(2)A(2)A(2)A(2)A端为固定，端为固定，端为固定，端为固定，B B B B端铰支端铰支端铰支端铰支 (8-2)这就是这就是A端为固定、端为固定、B端铰支等截面直杆的端铰支等截面直杆的转角位移方程转角位移方程转角位移方程转角位移方程(3)A(3)A(3)A(3)A端为固定，端为固定，端为固定，端为固定，B B B B端定向端定向端定向端定向 (8-3)这就是这就是A端为固定、端为固定、B端定向等截面直杆的端定向等截面直杆的转角位移方程转角位移方程转角位移方程转角位移方程ABxyMABMBAxFQABAByMABFQBA结束语结束语作业：作业：8.4 位移法典型方程位移法典型方程1 1 1 1 无侧移刚架的计算无侧移刚架的计算无侧移刚架的计算无侧移刚架的计算无侧移刚架无侧移刚架指无结点线位移的刚架指无结点线位移的刚架指无结点线位移的刚架指无结点线位移的刚架 首先我们来分析最简单的无侧移刚架位移法典型方首先我们来分析最简单的无侧移刚架位移法典型方程的建立。程的建立。Z1=+Z1 显然位移法的基本未知量显然位移法的基本未知量仅有一个仅有一个仅有一个仅有一个，1号结点转角号结点转角Z1。在在1号结点引入刚臂得位移法基本结构如图号结点引入刚臂得位移法基本结构如图(b)所示。所示。1 约束刚臂约束刚臂约束刚臂约束刚臂使沿使沿Z1方向上无转动，在荷载的作用下，此方向上无转动，在荷载的作用下，此时附加刚臂上将产生反力矩时附加刚臂上将产生反力矩R1p，如图如图(c)所示。所示。2 使基本结构的使基本结构的 1 1 1 1 结点发生与原结构相同的转角结点发生与原结构相同的转角结点发生与原结构相同的转角结点发生与原结构相同的转角Z Z1 1，此此时附加刚臂上的力矩为时附加刚臂上的力矩为K1，如图，如图(d)所示。所示。图图(b)基基基基本本本本结结结结构构构构1FpFpR1p1图图(c)约约约约束束束束结结结结点点点点K1图图(d)放松结点放松结点放松结点放松结点1a/2EI2EI1Fpa/2a图图(a)设设设设：沿：沿Z1方向上单位转角时，刚臂上的力矩为方向上单位转角时，刚臂上的力矩为k k1111，则，则代入代入(a)式得式得(a)(8-4)这就是一个基本未知量时的这就是一个基本未知量时的位移法典型方程位移法典型方程位移法典型方程位移法典型方程。应用应用叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理，(c)+(d)，则刚臂上的约束力矩为则刚臂上的约束力矩为 Z1=+Z1图图(b)基基基基本本本本结结结结构构构构1FpFpR1p1图图(c)约约约约束束束束结结结结点点点点K1图图(d)放松结点放松结点放松结点放松结点1k1111对于本题：对于本题：单位位移杆端力单位位移杆端力单位位移杆端力单位位移杆端力.pptppt3 3 2 2EIEI/a a4 4EIEI/a a2 2EIEI/a a4EI/ak113 2EI/a3 3F Fp pa a/1616R1p-3Fpa/16代入典型方程得代入典型方程得求出结点求出结点1的转角后，任一截面的内力的转角后，任一截面的内力和反力由叠加原理得和反力由叠加原理得(8-5)a/2EI2EI1Fpa/2a图图(a)图图(f)Mp图图FpR1p1例例例例1 1 如图示两跨连续梁，做如图示两跨连续梁，做M图图(EI=常数常数)。解：解：解：解：一个基本未知量，基本结构如图一个基本未知量，基本结构如图位移法基本方程为位移法基本方程为 15159930q=2kN/mFp=20kNABC图图(a)3m3m6m4i2i3i图图(d)Mp图图Z1图图(b)基本结构基本结构基本结构基本结构设设i=EI/l单位位移杆端力单位位移杆端力.pptppt最终最终M图如图图如图(e)所示。所示。11.5793016.71151599304i2i3i图图(d)Mp图图图图(e)M图图(kN.m)11.5793016.71图图(e)M图图(kN.m)2 2 2 2 有侧移刚架的计算有侧移刚架的计算有侧移刚架的计算有侧移刚架的计算 一般而言，刚架在结点处既有角位移，还有结点线位一般而言，刚架在结点处既有角位移，还有结点线位移，这类刚架称为移，这类刚架称为有侧移刚架有侧移刚架有侧移刚架有侧移刚架。位移法分析有侧移刚架的。位移法分析有侧移刚架的基本思路与无侧移刚架基本思路与无侧移刚架相同相同，只是分析时要复杂些。，只是分析时要复杂些。应注应注意意位移法基本未知量位移法基本未知量位移法基本未知量位移法基本未知量既包括既包括角位移角位移角位移角位移又包括又包括线位移线位移线位移线位移。例例2 如图示刚架，做如图示刚架，做M图图(EI=常数常数)。图图(b)基本结构基本结构基本结构基本结构Z1Z2K2K1+=叠加叠加(c)、(d)，注意到沿注意到沿Z1、Z2方向原结构无荷载方向原结构无荷载作用，易得作用，易得下面讨论下面讨论K1、K2的表达形式的表达形式(a)图图(a)ll/2l/2FpABCDFpABCD图图(c)约约约约束束束束结结结结构构构构FpR1pR2p图图(d)放放放放松松松松结结结结构构构构Z2Z1k11k211Z1=1;Z2=0Z1=0;Z2=1k12k221因为因为(a)(b)由由(a)、(b)两式得两式得(8-6)这就是这就是两个基本未知量时的位移法典型方程两个基本未知量时的位移法典型方程两个基本未知量时的位移法典型方程两个基本未知量时的位移法典型方程 4i2i3iK2K1图图(d)放放松松结结构构Z2Z13i/l6i/l6i/l对于本题对于本题（反力互等定理反力互等定理反力互等定理反力互等定理）k12k2212i/l23i/l2图图(c)Mp图图R1pFpR2pFpl/8Fpl/8Fpl/8k11k211Z1=1;Z2=04i2i3iZ1=0;Z2=1k12k2213i/l6i/l6i/lll/2l/2FpABCD代入典型方程得代入典型方程得 解之得解之得解之得解之得 叠加法叠加法叠加法叠加法求任一截面的弯矩求任一截面的弯矩 图图(g)M图图 (Fpl/552)4i2i3i3i/l6i/l6i/lll/2l/2FpABCD2718366276013827183662760138图图(g)M图图 (Fpl/552)图图(c)Mp图图FpFpl/8Fpl/8Fpl/83 3 3 3 位移法典型方程的一般形式位移法典型方程的一般形式位移法典型方程的一般形式位移法典型方程的一般形式 对于具有对于具有n n个基本未知量个基本未知量个基本未知量个基本未知量的刚架，用完全相同的方法，的刚架，用完全相同的方法，可以得到相应于可以得到相应于n个基本未知量的典型方程为个基本未知量的典型方程为(8-7)写成矩阵的形式为写成矩阵的形式为(8-8)上式中，上式中，Z为为基本未知量基本未知量基本未知量基本未知量(结点位移结点位移结点位移结点位移)列向量列向量列向量列向量；Rp为为自自自自由项由项由项由项(荷载荷载荷载荷载)列向量列向量列向量列向量；k 为为刚度系数矩阵刚度系数矩阵刚度系数矩阵刚度系数矩阵。注意注意注意注意：kij 的的物理意义物理意义物理意义物理意义为沿第为沿第j个位移个位移 Z Zj j 方向上单位位方向上单位位移（其余的位移分量全为零）时，在移（其余的位移分量全为零）时，在 Z Zi i 方向上所方向上所产生的约束反力；产生的约束反力；kij=kji 满足满足反力互等定理反力互等定理反力互等定理反力互等定理；kii 0。若用位移法求解非荷载因素（如温度和支座位若用位移法求解非荷载因素（如温度和支座位若用位移法求解非荷载因素（如温度和支座位若用位移法求解非荷载因素（如温度和支座位移）对超静定结构的影响，则（移）对超静定结构的影响，则（移）对超静定结构的影响，则（移）对超静定结构的影响，则（8-88-88-88-8）式为）式为）式为）式为其中：刚度系数矩阵其中：刚度系数矩阵 k k 和和 Z Z 与（与（8-8）式相同，）式相同，而而自由项列向量自由项列向量自由项列向量自由项列向量分别为分别为 注意注意注意注意:R Ri i t t(i=1,2n)代表基本结构单独在温代表基本结构单独在温度影响下度影响下所引起的沿位移基本未知量方向上的所引起的沿位移基本未知量方向上的约束反力；约束反力；R Ri i (i=1,2n)代表基本结构单独在支代表基本结构单独在支座位移影响下座位移影响下所引起的沿位移基本未知量方向所引起的沿位移基本未知量方向上的约束反力；上的约束反力；例例例例3 3 如图示刚架，做如图示刚架，做M图。图。解：解：解：解：基本未知量基本未知量2个个 基本结构如图基本结构如图(b)所示。所示。位移法典型方程为位移法典型方程为 图图(b)基本结构基本结构基本结构基本结构Z1 Z2 0.57.57.5R1p R2p 求求系数系数Fp=2kN 图图(a)EI EI EI EIEI=kM l=4m l/2 l/2 llA B C D E 5Fp Fp5Fp 图图(e)Mp图图代入典型方程得代入典型方程得 k11 k21 4i2ik12 k22 解之得解之得解之得解之得 叠加法叠加法叠加法叠加法求任一截面的弯矩求任一截面的弯矩 2i4i4i2i3i3i最终最终M图如图图如图(f)所示。所示。；2i4i4i2i3i3i4i2i0.57.57.5R1p R2p 图图(e)Mp图图ABCDE图图(f)M图图（kN.m）0.0950.050.170.190.367.647.64100.0950.050.170.190.367.647.6410图图(f)M 图图(kN.m)结束语结束语作业：作业：例例例例3 3 如图示刚架，做如图示刚架，做M图。图。解：解：解：解：基本未知量基本未知量2个个 基本结构如图基本结构如图(b)所示。所示。位移法典型方程为位移法典型方程为 图图(b)基本结构基本结构基本结构基本结构Z1 Z2 0.57.57.5R1p R2p 求求系数系数Fp=2kN 图图(a)EI EI EI EIEI=kM l=4m l/2 l/2 llA B C D E 5Fp Fp5Fp 图图(e)Mp图图代入典型方程得代入典型方程得 k11 k21 4i2ik12 k22 解之得解之得解之得解之得 叠加法叠加法叠加法叠加法求任一截面的弯矩求任一截面的弯矩 2i4i4i2i3i3i最终最终M图如图图如图(f)所示。所示。；2i4i4i2i3i3i4i2i0.57.57.5R1p R2p 图图(e)Mp图图ABCDE图图(f)M图图（kN.m）0.0950.050.170.190.367.647.64100.0950.050.170.190.367.647.6410图图(f)M 图图(kN.m)作业作业作业作业6-136-131/4 结构结构解力法典型方程得解力法典型方程得 力法基本结构力法基本结构 1位移法应用及与力法比较位移法应用及与力法比较*在实际问题的计算应采用力法还是采用位移法呢在实际问题的计算应采用力法还是采用位移法呢在实际问题的计算应采用力法还是采用位移法呢在实际问题的计算应采用力法还是采用位移法呢？这是一个很难回答的问题。应当注意：不管采用力法这是一个很难回答的问题。应当注意：不管采用力法还是位移法，目的只有一个还是位移法，目的只有一个把结构的最终内力图作出把结构的最终内力图作出把结构的最终内力图作出把结构的最终内力图作出来来来来。因此，一般而言。因此，一般而言除了除了除了除了个人的爱好之外，不管采用何种个人的爱好之外，不管采用何种方法，当未知量数目相对较少时，该方法就应理解为合理方法，当未知量数目相对较少时，该方法就应理解为合理的计算方法，这是因为此时的计算工作量相对较少。的计算方法，这是因为此时的计算工作量相对较少。例例例例4 4 如图示刚架截面为矩形，其高度如图示刚架截面为矩形，其高度h=l/10，线胀系数为线胀系数为，各杆抗弯刚度，各杆抗弯刚度EI 相同，相同，t1=40oC，t2=20oC，做做M图。图。ll/2C AD l/2Bt1 t1 t2 t2 t2 t1 分析：分析：分析：分析：这是一个这是一个非荷载因素非荷载因素非荷载因素非荷载因素对超结构影对超结构影响问题。响问题。按位移法计算其未知量数目为按位移法计算其未知量数目为2 2按力法计算其未知量数目也为按力法计算其未知量数目也为2 2首先按位移法分析首先按位移法分析首先按位移法分析首先按位移法分析位移法基本未知量位移法基本未知量2个个基本结构如图基本结构如图(b)所示。所示。Z1 Z2位移法典型方程为位移法典型方程为 求求系数系数图图(a)ll/2C AD l/2Bt1 t1 t2 t2 t2 t1 图图(b)C ABt1 t1 t2 t2 D t2 t1 解：解：解：解：所以，所以，仅考虑平均温度仅考虑平均温度仅考虑平均温度仅考虑平均温度 t0 引起的轴向变形时引起的轴向变形时引起的轴向变形时引起的轴向变形时，因各杆伸长而引起的结因各杆伸长而引起的结构位移如图所示构位移如图所示应注意：在此位移过程中，忽略刚架的轴力和剪力对温应注意：在此位移过程中，忽略刚架的轴力和剪力对温应注意：在此位移过程中，忽略刚架的轴力和剪力对温应注意：在此位移过程中，忽略刚架的轴力和剪力对温度引起的轴向变形限制度引起的轴向变形限制度引起的轴向变形限制度引起的轴向变形限制。ABDCR2tR1t CD ACR1t R2tABCD CD ACMt图图R1t R2t则各杆两端的相对侧移为则各杆两端的相对侧移为R2tR1t 查表查表查表查表可得仅考虑内外温差可得仅考虑内外温差 t 引起的弯曲变形时，因各杆引起的弯曲变形时，因各杆的杆端弯矩，则其弯图如图所示的杆端弯矩，则其弯图如图所示Mt图图C ABD R1t R2t所以，所以，仅考虑内外温差仅考虑内外温差仅考虑内外温差仅考虑内外温差 t 引起的弯曲变形时引起的弯曲变形时引起的弯曲变形时引起的弯曲变形时，因各杆弯，因各杆弯曲而引起的结构位移如图所示曲而引起的结构位移如图所示因此，因此，同时考虑平均温度同时考虑平均温度同时考虑平均温度同时考虑平均温度 t0引起的轴向变形及内外温差引起的轴向变形及内外温差引起的轴向变形及内外温差引起的轴向变形及内外温差 t 引起的弯曲变形时引起的弯曲变形时引起的弯曲变形时引起的弯曲变形时，在附加刚臂与链杆上约束反力为，在附加刚臂与链杆上约束反力为把所求的数据代入把所求的数据代入位移法方程得位移法方程得解之得解之得解之得解之得叠加法叠加法叠加法叠加法求任一截面的弯矩求任一截面的弯矩 Mt图图Mt图图C ABD Mt图图Mt图图C ABD 最终的弯矩图为最终的弯矩图为最终的弯矩图为最终的弯矩图为 374.17117.5117.5128.33374.17117.5117.5128.33看来用位移法求解该题并不容易，若采用力法呢？看来用位移法求解该题并不容易，若采用力法呢？看来用位移法求解该题并不容易，若采用力法呢？看来用位移法求解该题并不容易，若采用力法呢？图图(a)ll/2C AD l/2Bt1 t1 t2 t2 t2 t1 如图示刚架截面为矩形，其高度如图示刚架截面为矩形，其高度h=l/10，线胀系数为线胀系数为，各杆抗弯刚，各杆抗弯刚度度EI 相同，相同，t1=40oC，t2=20oC，用用力法力法做做M图。图。解：解：解：解：力法分析该题时其超静定次数为力法分析该题时其超静定次数为2力法基本结构如图力法基本结构如图(b)所示所示图图(b)t1 t1 t2 t2 t2t1 X X1 1X X2 2X X2 2相应的力法典型方程为相应的力法典型方程为求求系数系数做内力图做内力图ll/2ll 111ll/2ll1 11用第用第用第用第6 6 6 6章公式计算自由项章公式计算自由项章公式计算自由项章公式计算自由项 把求出的数据代入力法方程整理得把求出的数据代入力法方程整理得解之得解之得解之得解之得与位移法结果相同与位移法结果相同与位移法结果相同与位移法结果相同374.17117.5117.5128.33例例例例5 5 如图示结构作如图示结构作M图图（EI=常数）。常数）。llABC C解解解解 分析分析这是一个超静定结构求支座这是一个超静定结构求支座位移的影响问题。位移的影响问题。超静定次数为超静定次数为1 1；位移法基本未知量个数为位移法基本未知量个数为1 1。图(b)CZ1 位移法典型方程为位移法典型方程为求求系数系数(i=EI/l)3i3i先用位移法求解先用位移法求解先用位移法求解先用位移法求解取位移法基本结构如图取位移法基本结构如图(b)所示所示 把把系数代入位移法方程可得系数代入位移法方程可得叠加法求任一截面的弯矩叠加法求任一截面的弯矩叠加法求任一截面的弯矩叠加法求任一截面的弯矩3i3iABC最终最终最终最终MM图为图为图为图为1再用力法求解再用力法求解再用力法求解再用力法求解取力法基本结构如图取力法基本结构如图(c)所示所示图(c)CX1 力法典型方程为力法典型方程为l求求系数系数 把把系数代入力法方程可得系数代入力法方程可得1 与与与与位移法结果相同位移法结果相同位移法结果相同位移法结果相同如图示如图示对称结构对称结构对称结构对称结构作作M图。图。F Fp pEI=常数常数lll解解解解 分析分析这是一个对称超静定结构在这是一个对称超静定结构在荷载作用下的影响问题。荷载作用下的影响问题。首先考虑对称性，因为利用结构的对称性可以达到简化首先考虑对称性，因为利用结构的对称性可以达到简化首先考虑对称性，因为利用结构的对称性可以达到简化首先考虑对称性，因为利用结构的对称性可以达到简化计算的目的计算的目的计算的目的计算的目的（1 1）进行荷载分组）进行荷载分组）进行荷载分组）进行荷载分组原原原原结构结构结构结构=F Fp p/2 2F Fp p/2 2+F Fp p/2 2F Fp p/2 2正正正正对称荷载部分对称荷载部分对称荷载部分对称荷载部分MM为零，仅许分析反对称荷载部分为零，仅许分析反对称荷载部分为零，仅许分析反对称荷载部分为零，仅许分析反对称荷载部分例例例例6 6因此原结构简化为下图示结因此原结构简化为下图示结因此原结构简化为下图示结因此原结构简化为下图示结构作构作构作构作M图。图。F Fp p/2 2F Fp p/2 2EIEIEIEIEIF Fp p/2 2Fp/Fp/2 2EIEI/2/2EIEI/2/2F Fp p/2 2EIEI/2/2F Fp p/2 2EIEI/2/2EIEIEIEI采用半刚架法继续简化采用半刚架法继续简化若按位移法计算其未知量数目为若按位移法计算其未知量数目为3 3若按力法计算其未知量数目也为若按力法计算其未知量数目也为1 1因此相对而言，力法简单。首先按力法分析因此相对而言，力法简单。首先按力法分析因此相对而言，力法简单。首先按力法分析因此相对而言，力法简单。首先按力法分析注：此题采用力法求解时，注：此题采用力法求解时，注：此题采用力法求解时，注：此题采用力法求解时，也可也可也可也可采用未知量分组的方采用未知量分组的方采用未知量分组的方采用未知量分组的方法进行计算：法进行计算：法进行计算：法进行计算：F Fp p/2 2F Fp/p/2 2由于荷载是反对称的，取由于荷载是反对称的，取对称的基本结构并把未知对称的基本结构并把未知量分组。量分组。F Fp p/2 2F Fp p/2 2X X1 1X X1 1X X2 2X X2 2X X3 3利用第利用第利用第利用第7 7章结论：章结论：章结论：章结论：对称结构对称结构对称结构对称结构在反对称的荷载作用下，其在反对称的荷载作用下，其在反对称的荷载作用下，其在反对称的荷载作用下，其正对称的未知力必等于零，正对称的未知力必等于零，正对称的未知力必等于零，正对称的未知力必等于零，只需计算反对称的未知量。只需计算反对称的未知量。只需计算反对称的未知量。只需计算反对称的未知量。F Fp p/2 2F Fp p/2 2X X1 1X X1 1也是一个力法基本未知量！也是一个力法基本未知量！也是一个力法基本未知量！也是一个力法基本未知量！按力法分析时，其基本结构可取为按力法分析时，其基本结构可取为F Fp p/2 2EIEI/2/2X X1 1EIEIEIEI相应的力法典型方程为相应的力法典型方程为求系数求系数1lllFpl/2Fpl/2代入力法典型方程并整理得代入力法典型方程并整理得解之得解之得F Fp p/2 27F7Fp p/24/24则半刚架的则半刚架的M图为图为M图图(Fpl/24)7755利用反对称性，整个刚架的利用反对称性，整个刚架的M图为图为M图图(Fpl/24)7755107777551077M图图(Fpl/24)按位移法分析时，其基本结按位移法分析时，其基本结构可取为构可取为F Fp p/2 2EIEI/2/2EIEIEIEIZ1 Z3Z2 相应的位移法典型方程为相应的位移法典型方程为求系数求系数(i=EI/l)3 3i i4 4i i2 2i i2 2i i4 4i i1.51.5i i3 3i/li/l3 3i/i/2 2l l3 3i i4 4i i2 2i i2 2i i4 4i i1.51.5i i3 3i/li/l1.51.5i/li/l将其将其代入典型方程得代入典型方程得解之得解之得叠加法求任一截面的弯矩叠加法求任一截面的弯矩叠加法求任一截面的弯矩叠加法求任一截面的弯矩3 3i i4 4i i2 2i i2 2i i4 4i i1.51.5i i3 3i/li/l1.51.5i/li/lABCD则则则则则半则半则半则半刚架的刚架的刚架的刚架的MM图为图为图为图为M图图(Pl/24)7755与前面力法结果相同！与前面力法结果相同！与前面力法结果相同！与前面力法结果相同！可以看出，由于结构中约束相对较少，可以看出，由于结构中约束相对较少，可以看出，由于结构中约束相对较少，可以看出，由于结构中约束相对较少，采用位移法计算时，基本未知量相对较采用位移法计算时，基本未知量相对较采用位移法计算时，基本未知量相对较采用位移法计算时，基本未知量相对较多，因此，位移法相对力法繁杂。多，因此，位移法相对力法繁杂。多，因此，位移法相对力法繁杂。多，因此，位移法相对力法繁杂。若若若若此题变为如下所示结构，即仅中间立柱此题变为如下所示结构，即仅中间立柱此题变为如下所示结构，即仅中间立柱此题变为如下所示结构，即仅中间立柱EI EI 变为变为变为变为2 2EI EI？F Fp pEIlllEIEIEI2EI采用半刚架法可得采用半刚架法可得采用半刚架法可得采用半刚架法可得F Fp p/2 2EIEIEIEIEIEI继续采用荷载分组理论继续采用荷载分组理论继续采用荷载分组理论继续采用荷载分组理论F Fp p/2 2EIEIEIEIEIEIF Fp p/4 4EIEIEIEIEIEIF Fp p/4 4+F Fp p/4 4EIEIEIEIEIEIF Fp p/4 4仅需考虑反对称荷载即可仅需考虑反对称荷载即可仅需考虑反对称荷载即可仅需考虑反对称荷载即可继续半刚架法可得继续半刚架法可得继续半刚架法可得继续半刚架法可得F Fp p/4 4EIEIEIEIl/2l此时，结构变为此时，结构变为此时，结构变为此时，结构变为静定的静定的静定的静定的！不必再按超静！不必再按超静！不必再按超静！不必再按超静定问题求解。定问题求解。定问题求解。定问题求解。问题问题问题问题1 1 1 1：此时能否采用力法求解？：此时能否采用力法求解？：此时能否采用力法求解？：此时能否采用力法求解？问题问题问题问题2 2 2 2：此时能否采用位移法求解？：此时能否采用位移法求解？：此时能否采用位移法求解？：此时能否采用位移法求解？采用位移法求解时基本未知量数目采用位移法求解时基本未知量数目采用位移法求解时基本未知量数目采用位移法求解时基本未知量数目？结束语结束语作业：作业：