矩阵的初等变换与线性方程组的求解课件

矩阵的初等变换与线性方程组的求解矩阵的初等变换与线性方程组的求解高斯消去法高斯消去法在本部分，我们将对中学所接触过的消元法求解线性方程组的过程用矩阵的初等变换来表示，并且对方程组的解的情况给出相应的判断标准。1.1.线性方程组的矩阵形式表示线性方程组的矩阵形式表示引入如下三个矩阵引入如下三个矩阵 利用矩阵的乘法利用矩阵的乘法,线性方程组可以写成如下的线性方程组可以写成如下的矩阵形式：矩阵形式：AX=b定义定义解向量与解集合解向量与解集合方程组的一组解称为方程组的一个方程组的一组解称为方程组的一个解向量解向量，所，所有解向量的全体构成的集合称为方程组的有解向量的全体构成的集合称为方程组的解集合解集合(解解集集)定义定义方程组相容方程组相容方程组有解，我们称这个方程组是相容的，方程组有解，我们称这个方程组是相容的，否则，否则，称之为不相容的。称之为不相容的。定义定义增广矩阵增广矩阵定义定义齐次方程组齐次方程组AX=0;定义定义非齐次方程组非齐次方程组AX=b,b 0(b中至少有一分量不为零中至少有一分量不为零)2 2消元法与矩阵的初等变换消元法与矩阵的初等变换对于如上所示的最一般形式的线性方程组：对于如上所示的最一般形式的线性方程组：在初等数学中，常常用在初等数学中，常常用消元法消元法求解。消元法的基本思想是求解。消元法的基本思想是通过消元变形把已知方程组化成容易求解的通过消元变形把已知方程组化成容易求解的同解方程组同解方程组。在解在解未知数较多的方程组时，需要使消元法步骤规范而又简便。未知数较多的方程组时，需要使消元法步骤规范而又简便。问题问题方程组何时有解方程组何时有解？若有解，有多少解？如何求出其全部解若有解，有多少解？如何求出其全部解？例例1解线性方程组解线性方程组解解第一步第一步使第一个方程中使第一个方程中的系数为的系数为1与第四个方程的位置，与第四个方程的位置，交换第一个方程交换第一个方程可得可得 第二步第二步把第一个方程以下的各方程中的把第一个方程以下的各方程中的 消去第二个方程消去第二个方程减减去去第第一一个个方方程程,第第三三个个方方程程减减去去第第一一个个方方程程，第第四四个个方方程程减减去第二个方程的倍，可得去第二个方程的倍，可得 第第三三步步使使第第二二方方程程中中的的系系数数为为1第第二二个个方方程程加加上上第第三三方方程程后后再乘以（再乘以（1），可得），可得 第四步第四步把第二个方程以下的方程中的把第二个方程以下的方程中的 都消去第三都消去第三 个方程加上第二个方程的个方程加上第二个方程的4倍，第四个方程减去第二个方程倍，第四个方程减去第二个方程 的的3倍，可得倍，可得 第五步第五步把第三个方程以下的方程中的把第三个方程以下的方程中的 消去第四消去第四 个方程加上第三个方程，可得个方程加上第三个方程，可得 (2.4)第六步第六步用用“回代回代”方法求解经第五步后得到的方程组方法求解经第五步后得到的方程组(2.4)与原方程组等价由方程组与原方程组等价由方程组(2.4)的第三个方程得的第三个方程得 ，代入，代入 第二个方程得第二个方程得 ；再把；再把 代入第一个方代入第一个方 程可得程可得 于是，于是，方程组的解为方程组的解为 .类似上面形式的方程组称为类似上面形式的方程组称为阶梯形方程组阶梯形方程组一般地，一个一般地，一个阶梯形线性方程组阶梯形线性方程组应该应该满足满足如下如下两个条件：两个条件：（1 1）如果方程组中某一方程的各项系数全为零，那么如果方程组中某一方程的各项系数全为零，那么它下方的所有方程（如果存在）的各项系数全为零；它下方的所有方程（如果存在）的各项系数全为零；（2 2）如果方程组中某一方程中至少有一项的系数不为如果方程组中某一方程中至少有一项的系数不为零，设第一个系数不为零的项是第零，设第一个系数不为零的项是第 项，那么此方程下项，那么此方程下方的所有方程（如果存在）的前方的所有方程（如果存在）的前 项的系数全为零项的系数全为零例如线性方程组例如线性方程组 与与 上上述述的的消消元元过过程程中中，我我们们对对线线性性方方程程组组施施行行了了下下列列三种变换：三种变换：（1）交换两个方程的位置；交换两个方程的位置；（2）以非零数以非零数k乘一个方程；乘一个方程；（3）把某一个方程的把某一个方程的k倍加到另一个方程上倍加到另一个方程上这三种变换称为线性方程组的这三种变换称为线性方程组的初等变换初等变换任意线性方程组任意线性方程组若干次初等变换若干次初等变换阶梯方程组阶梯方程组GaussGauss消元法：消元法：原方程组原方程组阶梯方程组阶梯方程组回代回代得解得解 在例在例1的消元过程中，我们对方程组进行的初等变换的消元过程中，我们对方程组进行的初等变换实际上只对方程组中未知量的系数与常数项进行运算，未实际上只对方程组中未知量的系数与常数项进行运算，未知量并未参与运算因而知量并未参与运算因而对方程组施行的初等变换可以对方程组施行的初等变换可以用相应的矩阵的变换来表示用相应的矩阵的变换来表示 回顾前面的方程组回顾前面的方程组三、利用矩阵初等行变换解线性方程组三、利用矩阵初等行变换解线性方程组原方程组原方程组增广矩阵增广矩阵使第一个方程中使第一个方程中的系数为的系数为1与第四个方程的位置与第四个方程的位置交换第一个方程交换第一个方程使使第第一一行行第第一一个个元元素素为为1 1，交交换换 的第一行与第行的位置的第一行与第行的位置 第第一一步步 把把(1)(1)以以下下的的各各方方程程中中的的 消消去去(2)-(1),(3)-(1),(4)-2(2)(2)-(1),(3)-(1),(4)-2(2)第第二二步步在在中，第二行减去第一行，中，第二行减去第一行，第三行减去第一行，第四行第三行减去第一行，第四行减去第一行的减去第一行的2倍倍 使使第第二二方方程程中中的的系系数数为为1第第二二个个方程加上第三方程后再乘（方程加上第三方程后再乘（1）第第三三步步在在 中，使第二行第一元素为中，使第二行第一元素为1 1，第二行加上第三行后再乘以（第二行加上第三行后再乘以（）把第二个方程以下的方程中把第二个方程以下的方程中的的 都消去第三个方程加上都消去第三个方程加上第二个方程的第二个方程的4倍，第四个方程倍，第四个方程减去第二个方程的减去第二个方程的3倍倍 第第四四步步在在 中中，第第三三行行加加上上第第二二行行的的4倍倍，第四行减去第二行的第四行减去第二行的3倍倍 把把第第三三个个方方程程以以下下的的方方程程中中的的 消消去去第第四四个个方方程程加加上上第第三三个个方方程程 在在 中，第四行加上第三行中，第四行加上第三行 第第五五步步 第第六六步步用用“回回代代”方方法法求求解解阶梯形方程组阶梯形方程组行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵（1 1）如如果果某某一一行行元元素素全全为为零零，那那么么它它下下方方的的所所有有行行（如如果果存存在在)元素元素也全为零；也全为零；（2 2）某某一一行行元元素素不不全全为为零零，并并且且第第一一个个不不为为零零的的元元素素位位 于于第第 列列，那那么么它它下下方方的的所所有有行行（如如果果存存在在）的的前前 个个元元素全为零素全为零行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵一一般般地地，一一个个行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵应应该该满满足足以以下下两两个个条件：条件：称为矩阵的初等行变换称为矩阵的初等行变换(1)交换两行的位置交换两行的位置(交换第交换第两行两行,记作记作)(2)以非零数以非零数乘某一行（以乘某一行（以乘第乘第 行行,记作记作）;(3)把某一行的把某一行的倍加到另一行上（把第倍加到另一行上（把第行的行的倍加到第倍加到第 行上，记作行上，记作）例如例如矩阵矩阵与与都是行阶梯形矩阵都是行阶梯形矩阵不是行阶梯形矩阵不是行阶梯形矩阵总结上述的矩阵变换过程，有以下三种变换：总结上述的矩阵变换过程，有以下三种变换：利用矩阵的初等行变换解线性方程组的一般方法利用矩阵的初等行变换解线性方程组的一般方法原方原方程组程组增广增广矩阵矩阵对应方对应方程组程组行阶梯行阶梯矩阵矩阵回代回代求解求解任何线性方程组都可通过方程初等变换化为阶梯方程组任何线性方程组都可通过方程初等变换化为阶梯方程组任何矩阵都可以通过矩阵初等变换化为阶梯形矩阵任何矩阵都可以通过矩阵初等变换化为阶梯形矩阵所以：所以：线性方程组可以通过其对应的增广矩阵来解线性方程组可以通过其对应的增广矩阵来解 例例2解线性方程组解线性方程组 解解对方程组的增广矩阵对方程组的增广矩阵 依次施行下列初等行变换，使它依次施行下列初等行变换，使它 化为行阶梯形矩阵化为行阶梯形矩阵 这个矩个矩阵的最后一行除最后一个元素不的最后一行除最后一个元素不为零外其余元素零外其余元素都都为零，它零，它对应一个矛盾方程一个矛盾方程原方程原方程组无解无解例例3解方程解方程组解解 对方程方程组的增广矩的增广矩阵 依次施行下列初等行依次施行下列初等行变换，使，使它化为行阶梯形矩阵它化为行阶梯形矩阵已是行已是行阶梯形矩梯形矩阵从最后一个方程可得从最后一个方程可得其中其中可取任意可取任意实数数代入第二个方程，得到代入第二个方程，得到再把再把代入第一个方程，得到代入第一个方程，得到最后一个矩阵最后一个矩阵它对应的方程组是它对应的方程组是把把令令，得方程，得方程组的解的解为方程组有方程组有无穷多个解无穷多个解例例4解解线性方程性方程组解解对方程方程组的增广矩的增广矩阵依次施行以下初等行依次施行以下初等行变换，使，使它化为行阶梯形矩阵它化为行阶梯形矩阵它它对应的方程的方程组是是 ,用回代方法得原方程组的解用回代方法得原方程组的解 方程方程组有唯一解有唯一解最后一个矩阵最后一个矩阵是行阶梯形矩阵是行阶梯形矩阵方程组解的三种情况方程组解的三种情况:无无解解无穷多解无穷多解唯一解唯一解出现了矛盾方程出现了矛盾方程方程个数比未方程个数比未知数的个数少知数的个数少方程个数和未知方程个数和未知数的个数一样多数的个数一样多非零行个数比非零行个数比未知数个数少未知数个数少非零行个数和未非零行个数和未知数个数一样多知数个数一样多生活中应保持一份幽默感生活中应保持一份幽默感生活中应保持一份幽默感一般一般线性方程性方程组的解也有：的解也有：无解，无无解，无穷多解，唯一解多解，唯一解三种不同情况三种不同情况(2.5)对它的增广矩阵施行若干次初等行变换，使它化为对它的增广矩阵施行若干次初等行变换，使它化为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵(2.6)设线性方程组设线性方程组如何判断呢？如何判断呢？其中其中根据方程求解的方法可得根据方程求解的方法可得情形情形1 若若可得到矛盾方程可得到矛盾方程方程无解方程无解方程有唯一解方程有唯一解若若情形情形2非零行个数等于未知数个数非零行个数等于未知数个数且且情形情形3 若若非零行个数小于未知数个数非零行个数小于未知数个数方程有无穷解方程有无穷解且且无穷解的情形，我们作一讨论无穷解的情形，我们作一讨论阶梯矩阵阶梯矩阵若若且且对应的方程组为对应的方程组为未知量未知量任取一组值，例如任取一组值，例如可得未知量可得未知量确定的一确定的一 组值组值于是于是为方程组的一个解为方程组的一个解由未知量由未知量取值的任意性，线性方程组取值的任意性，线性方程组未知量未知量可以自由可以自由取值，取值，所以称为所以称为自由未知量自由未知量的取值的取值有无穷多个解有无穷多个解的值依赖于的值依赖于未知量未知量自由未知量的个数为自由未知量的个数为 未知量的个数未知量的个数非零行的个数非零行的个数总是它的解（称为方程组的总是它的解（称为方程组的零解零解）由于由于故齐次线性方程组总是相容的故齐次线性方程组总是相容的根据前面的讨论，对于齐次线性方程组解的情况可得如下定理根据前面的讨论，对于齐次线性方程组解的情况可得如下定理 对齐次方程组对齐次方程组定定理理 对对齐齐次次线线性性方方程程组组的的系系数数矩矩阵阵施施行行有有限限次次初初等等行行变变换换，使它化为行阶梯形矩阵那么使它化为行阶梯形矩阵那么(1)只有零解只有零解非零行的行数等于方程组未知量的个数；非零行的行数等于方程组未知量的个数；(2)有非零解有非零解非零行的行数小于未知量的个数非零行的行数小于未知量的个数从而原方程与下列方程组同解从而原方程与下列方程组同解为阶梯形矩阵为阶梯形矩阵解得解得方程最后求解回代的过程可以通过如下的方法来实现：方程最后求解回代的过程可以通过如下的方法来实现：看前面的例题看前面的例题对最后的行阶梯矩阵继续进行矩阵的初等变换对最后的行阶梯矩阵继续进行矩阵的初等变换于是，由最后于是，由最后一个矩阵直接一个矩阵直接写出原方程组写出原方程组的解的解 行最简矩阵行最简矩阵（1）非零行（元素不全为零的行）的第一非零元素都是）非零行（元素不全为零的行）的第一非零元素都是1；（2）非零行的第一个非零元素所在列的其余元素全为零）非零行的第一个非零元素所在列的其余元素全为零一一般般地地，一一个个行行最最简简形形矩矩阵阵是是满满足足下下列列两两个个条条件件的的行行阶阶梯梯形形矩阵：矩阵：这这个个方方法法称称为为线线性性方方程程组组的的高高斯斯一一若若当当（Gauss-Jordan）消元法消元法，它是一种改进了的高斯消元法，它是一种改进了的高斯消元法任意矩阵任意矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵从左至右，从上至下从左至右，从上至下从右至左，从下至上从右至左，从下至上行最简形矩阵行最简形矩阵解线性方程组的最终一般步骤解线性方程组的最终一般步骤原方原方程组程组增广增广矩阵矩阵判断解判断解的情况的情况行阶梯行阶梯矩阵矩阵化最化最简形简形停止停止有解有解无解无解例例5解线性方程组解线性方程组解解对增广矩阵对增广矩阵B施行初等行变换，使它化为行阶梯形矩阵施行初等行变换，使它化为行阶梯形矩阵 最后一个矩阵为行最简形矩阵，由此可以直接写出原最后一个矩阵为行最简形矩阵，由此可以直接写出原 方程组的唯一的解方程组的唯一的解 最后一个矩阵最后一个矩阵 为行阶梯形矩阵，无矛盾方程，且非零行为行阶梯形矩阵，无矛盾方程，且非零行的个数和未知数的个数一样多，故原方程组有唯一的解的个数和未知数的个数一样多，故原方程组有唯一的解继续对继续对 施行下列初等行变换，使它化为行最简形矩阵施行下列初等行变换，使它化为行最简形矩阵 例例7解齐次线性方程组解齐次线性方程组 解解对方程组的系数矩阵对方程组的系数矩阵依次作下列初等行变换，使依次作下列初等行变换，使它化为行最简形矩阵它化为行最简形矩阵最后一个矩阵是行最简形矩阵，它对应的方程组最后一个矩阵是行最简形矩阵，它对应的方程组 解出解出 及及 并令并令 ，得原方程组的解，得原方程组的解其中其中是任意数是任意数此时，原方程组有非零解此时，原方程组有非零解 定义定义 下列三种变换称为矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等列变换：初等列变换：(1)交换两列的位置（交换第交换两列的位置（交换第两列，记作两列，记作）；）；(2)以非零数以非零数乘某一列（以乘某一列（以乘第乘第列，记作列，记作）；）；(3)把某一列的把某一列的倍加到另一列上（把第倍加到另一列上（把第列的列的倍加倍加到第到第列上，记作列上，记作）矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换初等变换 矩阵之间的等价关系具有下列性质：矩阵之间的等价关系具有下列性质：（1 1）反身性）反身性；（2 2）对称性）对称性如果如果 ，那么，那么 ；（3 3）传递性）传递性如果如果 ，那么，那么 矩阵等价矩阵等价 数学中把一个集合中具有上述三个性质的元素之间的关数学中把一个集合中具有上述三个性质的元素之间的关系称为它的一个系称为它的一个等价关系等价关系例如当两个线性方程组有相同的解集合时，就称这两个例如当两个线性方程组有相同的解集合时，就称这两个线性方程组等价线性方程组等价因此我们也可以用因此我们也可以用来表示对矩阵来表示对矩阵施行有限次初等变换施行有限次初等变换使化为矩阵使化为矩阵的变换过程的变换过程 如果矩阵如果矩阵 经过有限次初等变换可以化为矩阵经过有限次初等变换可以化为矩阵 ，就，就 称矩阵称矩阵 与与 等价，记作等价，记作