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第一章 预备知识一、集合二、关系三、映射与代数系统五、一些特殊格四、格一、集合一、集合1.集合的有关概念集合的有关概念相等相等:空集空集:不含任何元素的集合不含任何元素的集合,幂集幂集:X的所有子集的集合称为的所有子集的集合称为X的幂集的幂集,记为记为P(X)子集子集:真子集真子集:2.集合的运算集合的运算(set-theoretic operations)例如例如：表表“或或”表表“且且”表表“非非”.集合的运算的性质集合的运算的性质(1)幂等律幂等律(idempotence)(2)交换律交换律(commutativity)(3)结合律结合律(associativity)(4)吸收律吸收律(absorption laws)(5)分配律分配律(distributivity)(6)存在最大最小元存在最大最小元(7)复原律复原律(involution)(8)De Morgan 律（对偶律）律（对偶律）(9)补余律补余律(complementation)28页推广：推广：规定：规定：分配律、对偶律等可推广分配律、对偶律等可推广5.集合的特征函数集合的特征函数(characteristic function of a set)证：证：类似可得：类似可得：证证：推广推广：二、关系二、关系(Relations)1.卡氏积卡氏积(Cartesian product)称为称为例例2.1例例2.2 R表示实数集，表示实数集，二、关系的概念二、关系的概念注注1.1.关系就是集合，关系就是集合，注注2.2.从从X到到Y的关系与从的关系与从Y到到X关系不同。关系不同。例例 2.3 2.3例例2.42.4特殊关系：特殊关系：（1 1）空关系：）空关系：（2 2）全关系：）全关系：（3 3）恒等关系：）恒等关系：三、关系的运算三、关系的运算例例2.52.5合成的实际意义。合成的实际意义。四、特征关系四、特征关系称为称为R的特征关系。的特征关系。5.等价关系与划分（等价关系与划分（Equivalency relations and Partition)则称是则称是R一个一个X上的等价关系。上的等价关系。例例2.62.6等价类：等价类：定理：若定理：若R 是是X上的等价关系，则：上的等价关系，则：证明证明:(1)显然。显然。由等价关系所确定的等价类的全体构成由等价关系所确定的等价类的全体构成X的一个的一个划分划分六、有限论域上的关系六、有限论域上的关系将将R写成矩阵：写成矩阵：行数行数X中元素个数中元素个数列数列数Y中元素个数中元素个数对例对例2.3,2.3,各种运算可在矩阵中进行各种运算可在矩阵中进行三、映射与代数系统三、映射与代数系统1.映射映射(mapping)记号记号：例例3.13.1例例3.23.2象与原象象与原象:例如例如:2.特殊映射特殊映射单射单射(injection)：满射满射(surjection)：双射双射(bijection)：注注1.单射或满射的概念与集合有关单射或满射的概念与集合有关.例如例如:注注2.双射为双射为1-1对应对应.例例3.33.3证明证明:2.代数系统代数系统(algebraic systems)运算运算:例如例如：代数系统代数系统:例例3.4类似地类似地,3.3.代数系统的同态代数系统的同态(homomorphism)(homomorphism)与同构与同构(isomorphism(isomorphism)例例3.5证明证明：由例由例3.33.3知知:f为双射为双射.？类似类似：集合与X到0,1的映射在数学上可视为相同的.四、格四、格1.偏序集偏序集(partially ordered set 或或 poset)(1)(1)自反性：自反性：(2)(2)反对称性：反对称性：(3)(3)传递性：传递性：例如：例如：例例4.14.12.2.偏序集中的界偏序集中的界例如例如:证：证：例例4.24.2例例4.34.3注注 一个集合的上、下界可能有多个，也可能不存在一个集合的上、下界可能有多个，也可能不存在.3.3.上、下确界性质：上、下确界性质：证明：证明：另一方面，另一方面，4.格格(Lattices)均存在，均存在，例如：例如：定理定理4.14.1则有：则有：(1)(1)幂等律：幂等律：(2)(2)交换律：交换律：(3)(3)结合律：结合律：(4)(4)吸收律：吸收律：证明：证明：(1)(2)(1)(2)是显然的是显然的定理定理4.24.2证明：证明：反过来，反过来，类似可证：类似可证：两者之间联系：两者之间联系：五、一些特殊的格五、一些特殊的格1.分配格分配格(distributive lattice):满足下列分配律满足下列分配律2.有界格有界格(bounded lattice)3.3.完全格完全格(complete lattice)4.4.完全分配格完全分配格(completely distributive lattice)5.软代数软代数(soft algebra)6.布尔代数布尔代数(Boolean algebra)例例5.15.1集合性质例例5.25.2例例5.3证明：证明：不可能不可能.注意注意:引理引理 在一个布尔代数中，在一个布尔代数中，证明证明：定理定理 5.3 5.3 布尔代数一定是软代数。布尔代数一定是软代数。证明：证明：=1类似：类似：由引理知：由引理知：同理可得：同理可得：7.7.优软代数优软代数例如：例如：写在最后写在最后成功的基成功的基础在于好的学在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habits53 结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。When You Do Your Best,Failure Is Great,So DonT Give Up,Stick To The End演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
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