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第第一一节节 映映射射与与函函数数（1 1）集合集合映射映射函数函数小结小结练习题练习题1 映射与函数映射与函数一一.集合集合:集合是指具有某种特定性质的事物的集合是指具有某种特定性质的事物的总体总体.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.有限集有限集无限集无限集1.1.集合的概念集合的概念元素元素 a 属于集合属于集合 M,记作记作元素元素 a 不属于集合不属于集合 M,记作记作不含任何元素的集合称为空集不含任何元素的集合称为空集,记作记作 .(或或).注注:M 为数集为数集 表示表示 M 中排除中排除 0 的集的集;表示表示 M 中排除中排除 0 与负数的集与负数的集.表示法：表示法：(1)列举法：列举法：按某种方式列出集合中的全体元素按某种方式列出集合中的全体元素.例例:有限集合有限集合自然数集自然数集(2)描述法：描述法：x 所具有的特征所具有的特征例例:整数集合整数集合或或有理数集有理数集 p p 与与 q q 互质互质实数集合实数集合 x 为有理数或无理数为有理数或无理数开区间开区间闭区间闭区间数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:例如例如不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.例如例如,规定规定空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.给定两个集合给定两个集合 A A,B B,并集并集交集交集且且差集差集且且定义下列运算定义下列运算:余集余集或或2.集合的运算集合的运算以上集合的运算满足以下运算律以上集合的运算满足以下运算律交换律：交换律：结合律：结合律：分配律：分配律：对偶律：对偶律：直积运算直积运算特例特例:记记为平面上的全体点集为平面上的全体点集3.3.区间区间:是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.称为开区间称为开区间,称为闭区间称为闭区间,称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义:两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.4.4.邻域邻域:二、二、映射映射1.映射的概念映射的概念 某校学生的集合某校学生的集合学号的集合学号的集合一个学生对一个学生对应一个学号应一个学号某班学生的集合某班学生的集合某教室座位某教室座位的集合的集合一个学生对一个学生对应一个座位应一个座位引例引例1.定义定义4.设设 X,Y 是两个非空集合是两个非空集合,若存在一个对应规若存在一个对应规则则 f,使得使得有唯一确定的有唯一确定的与之对应与之对应,则则 称称 f 为从为从 X 到到 Y 的的映射映射,记作记作元素元素 y 称为元素称为元素 x 在映射在映射 f 下的下的 像像,记作记作元素元素 x 称为元素称为元素 y 在映射在映射 f 下的下的 原像原像.集合集合 X 称为映射称为映射 f 的的定义域定义域;Y 的子集的子集称为称为 f 的的 值域值域.注意注意:1)映射的三要素映射的三要素 定义域定义域,对应规则对应规则,值域值域.2)元素元素 x 的像的像 y 是唯一的是唯一的,但但 y 的原像不一定唯一的原像不一定唯一.对映射对映射若若,则称则称 f 为为满射满射;若若有有 则称则称 f 为为单射单射;若若 f 既是满射又是单射既是满射又是单射,则称则称 f 为为双射双射 或或一一映射一一映射.例例1.例例2.如图所示如图所示,对应阴影部分的面积对应阴影部分的面积则在数集则在数集自身之间定义了一种映射自身之间定义了一种映射(满射满射)例例3.如图所示如图所示,则有则有(满射满射)(满射满射)X(数集数集 或点集或点集)说明说明:在不同数学分支中有不同的惯用在不同数学分支中有不同的惯用 X()Y(数集数集)f 称为称为X 上的上的泛函泛函X()X f 称为称为X 上的上的变换变换 R f 称为定义在称为定义在 X 上的上的为为函数函数.映射又称为映射又称为算子算子.名称名称.例如例如,2.2.逆映射与复合映射逆映射与复合映射(1)逆映射的定义逆映射的定义 定义定义:若映射若映射为单射为单射,则存在一新映射则存在一新映射使使习惯上习惯上,的逆映射记成的逆映射记成例如例如,映射映射其逆映射为其逆映射为其中其中称此映射称此映射为为 f 的逆映射的逆映射.3.3.常量与变量常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为常量常量,注意注意常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程”而言的而言的.通常用字母通常用字母a,b,ca,b,c等表示常量等表示常量,而数值变化的量称为而数值变化的量称为变量变量.常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法：用字母用字母x,y,tx,y,t等表示等表示变变量量.4.4.绝对值绝对值:运算性质运算性质:绝对值不等式绝对值不等式:三、函数概念三、函数概念例例 圆内接正多边形的周长圆内接正多边形的周长圆内接正圆内接正n 边形边形Or)因变量因变量自变量自变量数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素:定义域定义域与与对应法则对应法则.约定约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值.定义定义:如果自变量在定如果自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时，对应的函数值总时，对应的函数值总是只有一个，这种函是只有一个，这种函数叫做单值函数，否数叫做单值函数，否则叫与多值函数则叫与多值函数 (1)符号函数符号函数几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyo(2)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3)狄利克雷函数狄利克雷函数(4)取最值函数取最值函数yxoyxo在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.例例1.1.已知函数已知函数求求 及及解解:函数无定义函数无定义并写出定义域及值域并写出定义域及值域 .定义域定义域 值域值域 例例2 2解解故故三、函数的特性三、函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX1函数的有界性函数的有界性:2函数的单调性函数的单调性:xyoxyo3函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数yxox-x例如例如,偶函数偶函数双曲余弦双曲余弦 记记奇函数奇函数yxox-x又如又如,奇函数奇函数双曲正弦双曲正弦 记记再如再如,奇函数奇函数双曲正切双曲正切 记记4函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.周期为周期为 周期为周期为注注:周期函数不一定存在最小正周期周期函数不一定存在最小正周期.例如例如,常量函数常量函数狄里克雷函数狄里克雷函数x 为有理数为有理数x 为无理数为无理数例如例如,四、反函数四、反函数DWDW 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.例如例如 ,对数函数对数函数互为反函数互为反函数 ,它们都单调递增它们都单调递增,其图形关于直线其图形关于直线对称对称 .指数函数指数函数五、小结五、小结基本概念基本概念集合集合,区间区间,邻域邻域,常量与变量常量与变量,绝对值绝对值.函数的概念函数的概念自变量，因变量，定义域，值域自变量，因变量，定义域，值域.函数的特性函数的特性有界性有界性,单调性单调性,奇偶性奇偶性,周期性周期性.反函数反函数思考题思考题思考题解答思考题解答设设则则故故且且练练 习习 题题 一一证明证明证证:令令则则由由消去消去得得时时其中其中a,b,c 为常数为常数,且且为奇函数为奇函数.为奇函数为奇函数.1.设设 2.设函数设函数的图形与的图形与均对称均对称,求证求证是周期函数是周期函数.证证:由由的对称性知的对称性知于是于是故故是周期函数是周期函数,周期为周期为练练 习习 题题 二二练习题答案练习题答案写在最后写在最后成功的基成功的基础在于好的学在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habits50谢谢聆听 学习就是为了达到一定目的而努力去干,是为一个目标去战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard,Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
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