第6节(弯曲变形)课件

材料力学材料力学材料力学材料力学Mechanics of MaterialsMechanics of Materials中南大学土木建筑学院力学系中南大学土木建筑学院力学系 Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University.第六章第六章 弯曲变形弯曲变形 第一节第一节 概述概述 一、梁的挠曲轴一、梁的挠曲轴 在外力作用下，受弯后梁的在外力作用下，受弯后梁的轴线变为一条连续光滑的曲线。轴线变为一条连续光滑的曲线。二、挠度、转角二、挠度、转角 1.1.挠度、转角挠度、转角 挠挠度度 梁横截面的形心在垂直于轴线方向的位移。梁横截面的形心在垂直于轴线方向的位移。转转角角 梁横截面绕其中性轴所转的角位移。梁横截面绕其中性轴所转的角位移。.2.2.挠度、转角正负规定挠度、转角正负规定 挠度正负规挠度正负规定定 挠度与坐标轴正向一致取正，反之取负。挠度与坐标轴正向一致取正，反之取负。转角正负规转角正负规定定 转角顺时针转向为正，逆时针转向为负。转角顺时针转向为正，逆时针转向为负。.三、挠度和转角的关系三、挠度和转角的关系 1.1.挠度方程挠度方程 2.2.转角方程转角方程 3.3.挠度和转角的关系挠度和转角的关系 挠曲线上任一点斜率挠曲线上任一点斜率 在小挠度情况下，在小挠度情况下，很小很小 挠曲轴是挠曲轴是挠度方程的函挠度方程的函数曲线数曲线 .第二节第二节 梁的挠曲线微分方程梁的挠曲线微分方程 平面弯曲时梁轴线的曲率平面弯曲时梁轴线的曲率 由微积分可知，挠曲线任一点曲率由微积分可知，挠曲线任一点曲率 梁的挠曲线微分方程梁的挠曲线微分方程 .在小挠度条件下在小挠度条件下 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程 近似微分方程适用近似微分方程适用于弹性范围内小挠度平于弹性范围内小挠度平面弯曲。面弯曲。梁的挠曲线微分方程梁的挠曲线微分方程 .第三节第三节 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程 梁的转角方程梁的转角方程 梁的挠度方程梁的挠度方程 积分常数由支承条件（边界的转角和挠度已知）积分常数由支承条件（边界的转角和挠度已知）和连续条件（挠曲线连续光滑）确定。和连续条件（挠曲线连续光滑）确定。.例：图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷例：图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F 作用，梁的作用，梁的弯曲刚度为弯曲刚度为EI。求梁的挠曲轴方程和转角方程，并确定最大。求梁的挠曲轴方程和转角方程，并确定最大挠度和最大转角。挠度和最大转角。解：解：列弯矩方程，建立如图坐标系列弯矩方程，建立如图坐标系 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程 转角方程转角方程 挠度方程挠度方程 .确定积分常数确定积分常数 解得：解得：.转角方程转角方程 挠度方程挠度方程 确定最大挠度和最大转角确定最大挠度和最大转角 .例：图所示简支梁，左端支座处受集中力偶例：图所示简支梁，左端支座处受集中力偶 M=Fl 作用，作用，梁的弯曲刚度为梁的弯曲刚度为EI。求此梁的挠曲轴方程和转角方程，并确。求此梁的挠曲轴方程和转角方程，并确定最大挠度和最大转角。定最大挠度和最大转角。解：解：列弯矩方程，建立如图坐标系列弯矩方程，建立如图坐标系 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程 转角方程转角方程 挠度方程挠度方程 .确定积分常数确定积分常数 解得：解得：.转角方程转角方程 挠度方程挠度方程 确定最大挠度和最大转角确定最大挠度和最大转角 .例：简支梁例：简支梁AB如图所示（图中如图所示（图中a b），承受集中载荷），承受集中载荷F作用，梁的弯曲刚度为作用，梁的弯曲刚度为EI。求此梁的挠曲轴方程和转角方程，。求此梁的挠曲轴方程和转角方程，并确定挠度的最大值。并确定挠度的最大值。解：解：列弯矩方程，建立如图坐标系列弯矩方程，建立如图坐标系 AC段（段（0 xa）CB段（段（a xl）.转角方程转角方程 挠度方程挠度方程 AC段（段（0 xa）CB段（段（a xl）挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程 弯矩方程弯矩方程 .确定积分常数确定积分常数 解得：解得：.挠度方程挠度方程 AC段（段（0 xa）CB段（段（a xl）转角方程转角方程 挠度方程挠度方程 转角方程转角方程 .确定最大挠度确定最大挠度所以转角为零的点在所以转角为零的点在AC 段段 .第四节第四节 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形 梁材料服从胡克定律下的小变形，几种载荷共同作用梁材料服从胡克定律下的小变形，几种载荷共同作用产生的变形等于各载荷单独作用产生变形的代数和。产生的变形等于各载荷单独作用产生变形的代数和。例：简支梁上作用均布载荷例：简支梁上作用均布载荷q 和集中力和集中力F，设弯曲刚度为常，设弯曲刚度为常数。试用叠加法求横截面的挠度。数。试用叠加法求横截面的挠度。解：解：.例：悬臂梁在段作用集度为例：悬臂梁在段作用集度为q 的均布载荷，设弯曲刚度的均布载荷，设弯曲刚度EI为常数。试用叠加法求自由端为常数。试用叠加法求自由端C 的挠度和转角。的挠度和转角。.例：图示等截面外伸梁，设弯曲刚度例：图示等截面外伸梁，设弯曲刚度EI 为常数。试用叠加为常数。试用叠加法求截面法求截面B 的转角和端点的转角和端点C 的挠度。的挠度。解：外伸梁可看作由简支梁和固定在解：外伸梁可看作由简支梁和固定在B处的悬臂梁组成处的悬臂梁组成 简支梁简支梁AB的变形，将均布载荷向的变形，将均布载荷向B处简化，得作用在处简化，得作用在B处的处的集中力集中力qa和力偶和力偶 M=qa2/2 .悬臂梁悬臂梁BC的变形，均布载荷的变形，均布载荷引起引起C有挠度，简支梁有挠度，简支梁AB在在B处可处可以转动，由于转动引起以转动，由于转动引起C有挠度有挠度 .第五节第五节 简单静不定梁简单静不定梁 例：图所示例：图所示AB梁端固定，梁端固定，B端活动铰，承受均布载荷，梁端活动铰，承受均布载荷，梁的弯曲刚度为的弯曲刚度为EI。求。求A、B 处的约束力。处的约束力。解：解除解：解除B 端约束，用自由端和约束力端约束，用自由端和约束力FBy 代替代替解得：解得：变形协调条件变形协调条件 .建立静力平衡方程建立静力平衡方程 解得：解得：.解除解除A端转动约束，用固定铰和约束力端转动约束，用固定铰和约束力MA代替。变形协调条件代替。变形协调条件 解得：解得：建立静力平衡方程建立静力平衡方程 解得：解得：.例：悬臂梁承受集中载荷例：悬臂梁承受集中载荷F 作用，因其刚度不够用杆作用，因其刚度不够用杆CB 加加固。试计算梁固。试计算梁AB 的最大挠度的减少量。设梁与杆的长度均为的最大挠度的减少量。设梁与杆的长度均为l，梁的弯曲刚度与杆的拉压刚度分别为，梁的弯曲刚度与杆的拉压刚度分别为EI与与EA，且，且A=3I/l2。解：解：将加固梁将加固梁B 处的约束解除，用相应的约束力处的约束解除，用相应的约束力FR 代替代替变形协调条件变形协调条件 .解得：解得：加固梁的最大挠度加固梁的最大挠度 未加固梁的最大挠度未加固梁的最大挠度 .第六节第六节 提高梁抗弯刚度的措施提高梁抗弯刚度的措施 一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件 一般轴一般轴 吊车梁吊车梁 架空管道架空管道 滑动轴承滑动轴承 .例：简支梁跨中承受集中载荷例：简支梁跨中承受集中载荷F=35kN。已知跨度。已知跨度l=4m，许，许用应力用应力=160MPa，许用挠度，许用挠度=l/500，弹性模量，弹性模量E=200GPa，试选择工字钢型号。试选择工字钢型号。解：解：按强度条件选择工字钢型号按强度条件选择工字钢型号 按刚度条件选择工字钢型号按刚度条件选择工字钢型号 查表选择查表选择No22a工字钢工字钢 .二、提高梁弯曲刚度的措施二、提高梁弯曲刚度的措施1.1.选择合理的截面形状选择合理的截面形状2.2.合理选择材料合理选择材料 影响梁刚度的截面几何性质是惯性矩，所以合理影响梁刚度的截面几何性质是惯性矩，所以合理截面形状是截面面积较小而惯性矩大的截面。截面形状是截面面积较小而惯性矩大的截面。影响梁刚度的材料性能是弹性模量，所以选择弹影响梁刚度的材料性能是弹性模量，所以选择弹性模量大的材料。性模量大的材料。3.3.梁的合理加强梁的合理加强 梁的位移与梁内所有微段的变形均有关，所以提梁的位移与梁内所有微段的变形均有关，所以提高梁的刚度必须在一定范围内提高梁的刚度。高梁的刚度必须在一定范围内提高梁的刚度。.4.4.梁跨度的选取梁跨度的选取5.5.合理安排梁的约束与加载方式合理安排梁的约束与加载方式 通过减小梁的跨度实现减小梁的弯矩，从而达通过减小梁的跨度实现减小梁的弯矩，从而达到降低梁弯曲变形的目的。到降低梁弯曲变形的目的。通过合理安排梁的约束与加载方式减小梁的弯通过合理安排梁的约束与加载方式减小梁的弯矩，从而达到降低梁弯曲变形的目的。矩，从而达到降低梁弯曲变形的目的。.