第6章结构的位移计算讲解课件

结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算6.1 6.1 概概 述述6.2 6.2 虚功原理虚功原理6.4 6.4 荷载作用下静定结构的位移计算荷载作用下静定结构的位移计算6.3 6.3 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 单位荷载法单位荷载法6.5 6.5 图乘法图乘法6.7 6.7 静定结构支座移动时的位移计算静定结构支座移动时的位移计算6.6 6.6 静定结构温度改变时的位移计算静定结构温度改变时的位移计算6.8 6.8 线弹性结构的互等定理线弹性结构的互等定理2024/7/12北京科技大学天津学院1结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算qADA一、结构的变形与位移变形结构在外荷载作用下，产生形状和尺寸的改变。位移由于变形，结构上截面各点存在移动和截面转动。线位移、角位移、相对线位移、相对角位移线位移、角位移、相对线位移、相对角位移统称为统称为广义位移广义位移线位移角位移CDFPAD相对角位移6.1 概 述相对线位移2024/7/12北京科技大学天津学院2结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算二、位移产生的原因 刚度校核的需要-变形不得超过规范规定的容许值吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；高层建筑的最大位移 1/1000 高度。施工的要求 （拼装、架设过程中施加反向位移）荷载作用、温度变化、支座移动等各种外部因素作用。三、结构位移计算的目的 6.1 概 述 结构动力分析、稳定分析也需计算结构的位移2024/7/12北京科技大学天津学院3 为超静定结构的内力分析打基础 为什么要计算为什么要计算为什么要计算为什么要计算位移位移位移位移?结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算四、本章位移计算的基本假设 线弹性 小变形 无摩擦线性变形体系在计算位移时荷载的影响可应用叠加原理线性变形体系结构力学中计算位移时的理论基础虚功原理虚功原理6.1 概 述本章所研究的就是线性变形体系位移的计算2024/7/12北京科技大学天津学院4结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算五、实功与虚功 a功力与沿力的方向上的位移的乘积。虚功广义力与广义位移无关时所作的功。实功广义力在自身所产生的位移上所作的功。在功的表达式中，广义力与广义位移相对应。2024/7/12北京科技大学天津学院5结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算六、结构的外力虚功 作功的力所处的状态静力状态（k状态）作功的位移所处的状态位移状态（m状态）结构的外力虚功静力状态中结构的所有外力（包括荷载与支座反力）在位移状态中相应位移上所作的功。FPk静力状态下结构中K处所受的广义力。Dkm位移状态下结构中与FPk相应的广义位移。2024/7/12北京科技大学天津学院6结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算1）集中力的虚功2）集中力偶的虚功2024/7/12北京科技大学天津学院7结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算3）分布力的虚功q为均布荷载2024/7/12北京科技大学天津学院8结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算4）等量反向共面两力偶的虚功2024/7/12北京科技大学天津学院9相对角位移结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算5）等量反向共线两集中力的虚功2024/7/12北京科技大学天津学院10相对线位移结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算七、结构的虚变形功 截面内力分解2024/7/12北京科技大学天津学院11结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算七、结构的虚变形功 微段变形分解微段轴向变形微段剪切变形微段弯曲变形微段变形图2024/7/12北京科技大学天津学院12结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算七、结构的虚变形功 微段静力状态下截面内力在位移状态下变形分量上所作的虚功：静力状态k位移状态m2024/7/12北京科技大学天津学院13结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算七、结构的虚变形功 静力状态k位移状态m略去二阶微量得2024/7/12北京科技大学天津学院14结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算 静力状态下微段横截面上的结构内力在位移状态下相应变形分量上所作的虚功总和虚功总和。七、结构的虚变形功 对任一杆件，此虚变形功为：对整个杆系结构，该虚功为：结构的虚变形功2024/7/12北京科技大学天津学院15结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算 结构的虚变形功静力状态下微段横截面上的结构内力在位移状态下相应变形分量上所作的虚功总和虚功总和。结构的外力虚功静力状态中结构的所有外力（包括荷载与支座反力）在位移状态中相应位移上所作的功。2024/7/12北京科技大学天津学院166.1 概 述结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算一、虚功原理 虚功原理：假设一线性变形体系，存在两个独立无关的静力状态k和位移状态m，让静力状态k中的力在位移状态m中的位移上作功，则体系的外力虚功恒等于恒等于虚变形功。W=U外力虚功虚变形功虚功方程6.2 虚功原理2024/7/12北京科技大学天津学院17刚体虚功原理结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算杆系结构的虚功方程一、虚功原理FPk、FNk、FQk、Mk静力状态k中的全部外力和内力。Dkm、em、gm、位移状态m中的全部位移与变形。其中：6.2 虚功原理2024/7/12北京科技大学天津学院18结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算二、虚功原理的应用(1)虚功原理实际上综合反映了静力平衡条件（平衡方程）和变形协调条件（几何方程）。(2)虚功原理的应用只要求静力状态是平衡的，位移状态是小变形的；适用线性、非线性、弹性、非弹性变形体系。(3)静力状态和位移状态是彼此独立无关的。应用二：应用二：求未知位移，虚设静力状态k，利用虚功原理解决真实位移状态的几何问题。应用一：求未知力，虚设位移状态m。利用虚功原理解决真实静力状态的平衡问题。虚位移原理虚力原理虚力原理2024/7/12北京科技大学天津学院196.2 虚功原理结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算杆系结构的虚功方程三、虚位移原理静力状态真实的位移状态虚设的 虚位移原理：线性变形体系在任意外在因素作用下有一静力平衡状态，那么对任意虚拟的位移状态(即虚位移)，让静力状态中的力在位移状态中的位移上作功，则变形体系的外力虚功恒等于恒等于虚变形功。6.2 虚功原理教材P1112024/7/12北京科技大学天津学院20结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算 求解步骤：(1)解除所求力的约束，代之以约束力，得k状态；(2)在需求力的方向加上施加对应的单位虚位移单位虚位移，得m状态；(3)由虚位移原理建立虚功方程，求解约束力。单位位移法杆系结构的虚功方程三、虚位移原理的单位位移法静力状态真实的位移状态虚设的单位位移法是利用虚位移之间的几何关系来求解静力平衡问题的方法单位位移法是利用虚位移之间的几何关系来求解静力平衡问题的方法2024/7/12北京科技大学天津学院21结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算杆系结构的虚功方程四、虚力原理 虚力原理：线性变形体系在任意外在因素作用下有一实际位移状态，那么对任意虚拟的静力状态(即虚力)，让静力状态中的力在位移状态中的位移上作功，则变形体系的外力虚功恒等于恒等于虚变形功。位移状态真实的静力状态虚设的6.2 虚功原理教材P1112024/7/12北京科技大学天津学院22结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算 求解步骤：(1)在需求位移的方向加上施加对应的单单位位虚虚力力，得虚拟静力状态k；(2)根据虚拟静力状态k与实际位移状态m，由虚力原理建立虚功方程，计算所需求解的位移。单位荷载法杆系结构的虚功方程四、虚力原理的单位荷载法位移状态真实的静力状态虚设的单位荷载法是用静力平衡的方法来求解位移之间的几何关系2024/7/12北京科技大学天津学院23结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算解：虚力状态k位移状态m （1）虚设一竖向单位力FPC=1 作用于铰C，得虚力状态k。（2）建立虚功方程U0例：用单位荷载法求图示两跨静定梁由于支座B向下移动 时，中间铰结点C的竖向位移 。单位荷载法实际上是用静力平衡的方法来求解位移之间的几何关系单位荷载法实际上是用静力平衡的方法来求解位移之间的几何关系2024/7/12北京科技大学天津学院24板书作图结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算KK虚功方程为：c2mKKKt2t1c1m位移状态m虚力状态k6.3 平面杆件结构位移计算的一般公式2024/7/12北京科技大学天津学院25结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算一般公式的普遍性表现在：2.结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；静定和超静定结构；1.位移原因：荷载、温度改变、支座移动等；3.材料性质：线弹性、非线弹性；4.变形类型：弯曲变形、拉(压)变形、剪切变形；5.位移种类：线位移、角位移；相对线位移、相对角位移。6.3 平面杆件结构位移计算的一般公式2024/7/12北京科技大学天津学院26结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算拟求结构某点沿某方向的位移 ，计算步骤如下：（1）在某点沿拟求位移 的方向施加一个虚设的单位荷载FP=1；（2）在单位荷载作用下，根据结构的平衡条件，计算结构的内力 和支座反力；（3）用一般公式计算位移 。6.3 平面杆件结构位移计算的一般公式2024/7/12北京科技大学天津学院27结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算例例:1)求求A点水平位移点水平位移 所加单位广义力与所求广义位移相对应，该单位广所加单位广义力与所求广义位移相对应，该单位广义力在所求广义位移上做功。义力在所求广义位移上做功。讨论：虚力状态（单位力状态）的确定2)求求A截面转角截面转角3)求求AB两点相对水平位移两点相对水平位移4)求求AB两截面相对转角两截面相对转角2024/7/12北京科技大学天津学院28结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算试确定与指定广义位移相对应的单位广义力。试确定与指定广义位移相对应的单位广义力。A(a)FPk=1FPk=1FPk=1BA(b)讨论：虚力状态（单位力状态）的确定2024/7/12北京科技大学天津学院29结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算FPk=1FPk=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。讨论：虚力状态（单位力状态）的确定ABCd(d)2024/7/12北京科技大学天津学院30结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。讨论：虚力状态（单位力状态）的确定ABCd(c)2024/7/12北京科技大学天津学院31结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算C(e)FPk=1FPk=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。讨论：虚力状态（单位力状态）的确定2024/7/12北京科技大学天津学院32结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算(f)ABFPk=1FPk=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。讨论：虚力状态（单位力状态）的确定2024/7/12北京科技大学天津学院33结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算6.4 荷载作用下结构的位移计算 本节讨论静定结构在荷载作用下的位移计算。仅限于研究线弹性结构，即结构的位移与荷载是成正比的，因而计算位移时荷载的影响可以叠加，当荷载全部撤除后位移也完全消失，而且结构的位移是微小的，应力与应变的关系也符合胡克定律。2024/7/12北京科技大学天津学院34结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算6.4 荷载作用下结构的位移计算实际荷载作用下产生的位移对线弹性线弹性结构，有轴力项剪力项弯矩项其中l是截面切应力分布不均匀修正系数，它只与截面形状有关。对矩形截面l=6/5；圆形截面l=10/92024/7/12北京科技大学天津学院35结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算例1 求刚架A点的竖向位移。位移状态m6.4 荷载作用下结构的位移计算2024/7/12北京科技大学天津学院36结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算解：（解：（1 1）构造虚力状态）构造虚力状态k k，在，在A A点施加单位力，弯矩表达式为点施加单位力，弯矩表达式为ABAB段：段：BCBC段：段：虚力状态k1xxlx1单位内力图2024/7/12北京科技大学天津学院37结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算荷载内力图qxxqlqlx轴力 以拉力为正；剪力 使微段顺时针转动者为正；弯矩 使杆件同侧纤维受拉时，正负号相同。（2 2）荷载作用下的弯矩表达式）荷载作用下的弯矩表达式ABAB段：段：BCBC段：段：2024/7/12北京科技大学天津学院38结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算轴力项剪力项弯矩项引入符号将内力方程代入公式，得：讨论：讨论：记 ，2024/7/12北京科技大学天津学院39结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算问题：的取值范围是什么？设杆件截面为 bh 的矩形截面杆，有：取 （高跨比），有：2024/7/12北京科技大学天津学院40结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算因此，对受弯细长杆件，通常略去FN、FQ的影响。取 ，则：即：2024/7/12北京科技大学天津学院41结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算高跨较大的梁剪切变形和轴向变形影响很小，可忽略不计。1.对梁和刚架：2.对桁架：3.对组合结构：受弯杆拉压杆6.4 荷载作用下结构的位移计算2024/7/12北京科技大学天津学院42结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算（3 3）将以上弯矩表达式代入求位移公式：）将以上弯矩表达式代入求位移公式：1xxlx1单位内力图荷载内力图qxxqlqlx2024/7/12北京科技大学天津学院43结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算例2：求DVPPP4m3=12m3mABDC5P8PP=15/34/3000000000013P2024/7/12北京科技大学天津学院44结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算解：解：练习题练习题:求图示桁架结构求图示桁架结构(各杆各杆EAEA相同相同)A点水平位移点水平位移。常例7-2结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算 练习题：试求图示连续梁练习题：试求图示连续梁C C点的竖向位移点的竖向位移 和和A A截面截面的转角的转角A A，截面抗弯刚度为截面抗弯刚度为EIEI。PCBAl/2l/2答案：答案：CBAl/2l/2M答案：答案：(1)(2)2024/7/12北京科技大学天津学院466.4 荷载作用下结构的位移计算结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算高跨比较大的梁剪切变形轴向变形影响很小，可忽略不计。1.对梁和刚架：2.对桁架：3.对组合结构：受弯杆拉压杆6.4 荷载作用下结构的位移计算2024/7/12北京科技大学天津学院48结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算Pl/2l/2EIABx1x2例：求图示等截面梁例：求图示等截面梁B端转角。端转角。解：解：1）虚拟单位荷载状态）虚拟单位荷载状态；m=1积分常可用图形相乘来代替2）求求M，求实际荷载状态下求实际荷载状态下MP；2024/7/12北京科技大学天津学院49结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算6.5 图乘法计算结构的位移1、均质等截面直杆；2、位移状态内力图（荷载内力图）与静力状态内力图 （单位内力图）中，至少有一个图形是直线变化。若满足以下两个条件，则可将位移计算公式中的积分计算换成用内力图的一些相关量相乘来计算。图乘法2024/7/12北京科技大学天津学院50结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算SyMPMP图dWAB2024/7/12北京科技大学天津学院51结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算荷载作用下梁和刚架的位移计算公式必须注意必须注意适用条件适用条件1、均质等截面直杆；、均质等截面直杆；2、荷载内力图与单位内力图中，至少有一个图形是、荷载内力图与单位内力图中，至少有一个图形是 直线变化，竖标直线变化，竖标yc必须取自直线图形。必须取自直线图形。6.5 图乘法计算结构的位移2024/7/12北京科技大学天津学院52结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算几种常见图形的面积与形心位置（熟记）6.5 图乘法计算结构的位移2024/7/12北京科技大学天津学院53结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算几种常见图形的面积与形心位置（熟记）切点切点切点切点指曲线在该点的切指曲线在该点的切线与基线重合或平行线与基线重合或平行“标准抛物线标准抛物线标准抛物线标准抛物线”6.5 图乘法计算结构的位移2024/7/12北京科技大学天津学院54结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算简单图形相乘结果（熟记）ycycyc6.5 图乘法计算结构的位移1/2 x 底 x 高 x 2/3 x高2024/7/12北京科技大学天津学院55结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算简单图形相乘结果（熟记）ycycyc6.5 图乘法计算结构的位移1/2 x 底 x 高 x 1/3 x高1/3 x 底 x 高 x 3/4 x高2/3 x 底 x 高 x 5/8 x高2024/7/12北京科技大学天津学院56结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算6.5 图乘法计算结构的位移使用图乘法时应注意的问题小结：使用图乘法时应注意的问题小结：1 1、y yc c必须取自直线图形；必须取自直线图形；2 2、当、当 M Mk k图为折线图形时，需分段计算；图为折线图形时，需分段计算；3 3、当杆件为变截面时，需分段计算；、当杆件为变截面时，需分段计算；4 4、图乘结果有正负之分，两弯矩图同侧时结果为正；、图乘结果有正负之分，两弯矩图同侧时结果为正；5 5、若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意分、若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意分 别取自两图形；别取自两图形；6 6、复杂图形图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠、复杂图形图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠 加法分别进行图乘；加法分别进行图乘；7 7、三角形、标准二次抛物线的面积、形心公式必须牢记。、三角形、标准二次抛物线的面积、形心公式必须牢记。2024/7/12北京科技大学天津学院57结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算W1y1W2y2W3y3MP6.5 图乘法计算结构的位移2024/7/12北京科技大学天津学院58结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算W1y1W2y2MP6.5 图乘法计算结构的位移教材P1202024/7/12北京科技大学天津学院59结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算6.6 温度改变时静定结构位移计算 静定结构中温度改变不产生内力，但材料的自由膨胀或收缩将引起变形和位移。已知杆件上、下边缘的温度变化为t1、t2，设温度沿杆件截面高度按设温度沿杆件截面高度按线性分布线性分布，则上、下边缘的温差为：杆轴温度为：矩形横截面矩形横截面2024/7/12北京科技大学天津学院61结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算温度变化时，微段的形变位移为：线膨胀系数由于温度变化时不引起切应变，故：代入公式，可得2024/7/12北京科技大学天津学院62结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算 图面积图面积 图面积图面积等截面等截面直杆直杆沿杆长沿杆长温度变温度变化相同化相同2024/7/12北京科技大学天津学院63结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算正、负号规定：正、负号规定：1、温度变化t1、t2以升高为正；对梁和刚架：对 桁 架：几种情况：几种情况：2、轴力 以拉为正；3、弯矩 以使t2侧受拉为正。温度引起的轴向变温度引起的轴向变形影响不能少。形影响不能少。2024/7/12北京科技大学天津学院64结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算例：图示结构，外侧温度升高t1=+10，内侧温度升高t2=+20 ，线膨胀系数a=12010-7/，矩形截面高度h=20cm，求C点的竖向位移。解：（1）建立虚力状态（2）作 、图2024/7/12北京科技大学天津学院65结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算解：（1）建立虚力状态（3）计算位移（2）作 、图t0=15，Dt=10（）2024/7/12北京科技大学天津学院66结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算 静定结构中支座移动不产生内力和变形，只有刚体位移。6.7 支座移动时静定结构位移计算即：所以其中，为虚力状态的支座反力，以与cim方向相同为正。2024/7/12北京科技大学天津学院67结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算例：图示结构，若支座B发生水平移动，即B点向右移动一间距a，试求铰C左、右两截面的相对转角j。解：（2）求虚力状态的支座反力（3）计算位移位移状态m虚力状态k()（1）建立虚力状态6.7 支座移动时静定结构位移计算2024/7/12北京科技大学天津学院68结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算6.8 线性变形体系的互等定理2第 II 状态第 状态状态：内力FN1、FQ1、M1，变形状态：内力FN2、FQ2、M2，变形以 状态为静力状态，状态为位移状态，由虚功原理1、虚功互等定理2024/7/12北京科技大学天津学院69结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算以 状态为静力状态，状态 为位移状态对线性变形体，有W12=W212024/7/12北京科技大学天津学院70结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算W12=W21 在线性变形体系中，在线性变形体系中，在线性变形体系中，在线性变形体系中，I I I I 状态的外力在状态的外力在状态的外力在状态的外力在 II II II II 状态位移上状态位移上状态位移上状态位移上所做虚功，恒等于所做虚功，恒等于所做虚功，恒等于所做虚功，恒等于 II II II II 状态外力在状态外力在状态外力在状态外力在 I I I I 状态位移上所做虚状态位移上所做虚状态位移上所做虚状态位移上所做虚功。功。功。功。虚功互等定理虚功互等定理2第 II 状态第 状态2024/7/12北京科技大学天津学院71结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算2第 II 状态状态、状态都只受一个单位力作用由虚功互等定理，得2、位移互等定理第 状态 在线性变形体系中，第一个单位力引起的与第二个单在线性变形体系中，第一个单位力引起的与第二个单在线性变形体系中，第一个单位力引起的与第二个单在线性变形体系中，第一个单位力引起的与第二个单位力相应的位移，恒等于第二个单位力引起的与第一个单位力相应的位移，恒等于第二个单位力引起的与第一个单位力相应的位移，恒等于第二个单位力引起的与第一个单位力相应的位移，恒等于第二个单位力引起的与第一个单位力相应的位移。位力相应的位移。位力相应的位移。位力相应的位移。位移互等定理位移互等定理2024/7/12北京科技大学天津学院72结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算由虚功互等定理，得状态：支座1发生单位位移3、反力互等定理 在线性变形体系中，支座在线性变形体系中，支座在线性变形体系中，支座在线性变形体系中，支座1 1 1 1由于支座由于支座由于支座由于支座2 2 2 2发生单位位移所发生单位位移所发生单位位移所发生单位位移所引起的反力，恒等于支座引起的反力，恒等于支座引起的反力，恒等于支座引起的反力，恒等于支座2 2 2 2由于支座由于支座由于支座由于支座1 1 1 1发生单位位移所引起发生单位位移所引起发生单位位移所引起发生单位位移所引起的反力。的反力。的反力。的反力。反力互等定理反力互等定理k21k12状态：支座2发生单位位移2024/7/12北京科技大学天津学院73结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算状态：只受单位力FP2=1作用，设在支座1引起约束反力k12由虚功互等定理，得4、反力位移互等定理 在线性变形体系中，由于单位荷载引起的某一支座的在线性变形体系中，由于单位荷载引起的某一支座的在线性变形体系中，由于单位荷载引起的某一支座的在线性变形体系中，由于单位荷载引起的某一支座的反力，恒等于该支座发生单位位移所引起的与单位荷载相反力，恒等于该支座发生单位位移所引起的与单位荷载相反力，恒等于该支座发生单位位移所引起的与单位荷载相反力，恒等于该支座发生单位位移所引起的与单位荷载相应的位移，但符号相反。应的位移，但符号相反。应的位移，但符号相反。应的位移，但符号相反。反力位移互等定理反力位移互等定理状态：支座1发生与k12相应的单位位移，设产生与FP2相应的位移d21FP2=1k122024/7/12北京科技大学天津学院74结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算荷载作用下梁和刚架的位移计算公式必须注意必须注意适用条件适用条件1、均质等截面直杆；、均质等截面直杆；2、荷载内力图与单位内力图中，至少有一个图形是、荷载内力图与单位内力图中，至少有一个图形是 直线变化，竖标直线变化，竖标yc必须取自直线图形。必须取自直线图形。6.5 图乘法计算结构的位移2024/7/12北京科技大学天津学院76结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算几种常见图形的面积与形心位置（熟记）“标准抛物线标准抛物线标准抛物线标准抛物线”6.5 图乘法计算结构的位移2024/7/12北京科技大学天津学院77结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算简单图形相乘结果（熟记）ycycyc6.5 图乘法计算结构的位移2024/7/12北京科技大学天津学院78结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算简单图形相乘结果（熟记）ycycyc6.5 图乘法计算结构的位移1/3 x 底 x 高 x 3/4 x高2/3 x 底 x 高 x 5/8 x高2024/7/12北京科技大学天津学院79结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算6.5 图乘法计算结构的位移使用图乘法时应注意的问题小结：使用图乘法时应注意的问题小结：1 1、y yc c必须取自直线图形；必须取自直线图形；2 2、当、当 M Mk k图为折线图形时，需分段计算；图为折线图形时，需分段计算；3 3、当杆件为变截面时，需分段计算；、当杆件为变截面时，需分段计算；4 4、复杂图形图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠复杂图形图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠 加法分别进行图乘；加法分别进行图乘；5 5、图乘结果有正负之分，两弯矩图同侧时结果为正；图乘结果有正负之分，两弯矩图同侧时结果为正；2024/7/12北京科技大学天津学院80结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算图图图图解：1、求DCyCABFP=1例 1.设 EI 为常数，求 和 。（1）虚拟单位荷载状态；（2）作单位荷载内力图，作荷载内力图；（3）图乘BAqC6.5 图乘法计算结构的位移2024/7/12北京科技大学天津学院81结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算BAq图图（）图图1CAB12、求qB（1）虚拟单位荷载状态；（2）作单位荷载内力图，作荷载内力图；（3）图乘2024/7/12北京科技大学天津学院82结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算 练习题：试求图示连续梁练习题：试求图示连续梁C C点的竖向位移点的竖向位移 和和A A截面截面的转角的转角A A，截面抗弯刚度为截面抗弯刚度为EIEI。PCBAl/2l/2答案：答案：CBAl/2l/2M答案：答案：(1)(2)2024/7/12北京科技大学天津学院83崔6-5等结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算例2 已知AB和BC的截面惯性矩分别为I和1.2I，求图示刚架在荷载作用下C点的水平位移DCP。解：1、虚拟单位荷载状态；2、作MP图、图6.5 图乘法计算结构的位移2024/7/12北京科技大学天津学院84结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算 2、作MP图、图2024/7/12北京科技大学天津学院85结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算 2、作MP图、图3、图乘2024/7/12北京科技大学天津学院86结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算W4W3W1W2y3=4my4=3my1=4my2=3m2024/7/12北京科技大学天津学院87结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算例 3.已知 EI、EA为常数，求 。1mq=1kN/m2m2m2m2mGFEDCBAFk=1解：1、虚拟单位荷载状态；2.02.08.08.968.96-4.0-4.0MPFNP1.01.02.02.242.24-1.0-1.0 2、作MP、FNP 图及 、图 3、图乘6.5 图乘法计算结构的位移2024/7/12北京科技大学天津学院88结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算1mq=1kN/m2m2m2m2mGFEDCBAFk=1 3、图乘2.02.08.08.968.96-4.0-4.0MPFNP1.01.02.02.242.24-1.0-1.02024/7/12北京科技大学天津学院89结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算静定结构位移计算小结静定结构位移计算小结1.1.产生位移的原因产生位移的原因荷载作用；温度改变；支座移动等。荷载作用；温度改变；支座移动等。2.2.计算方法计算方法基本原理基本原理:变形体虚功原理；变形体虚功原理；基本方法基本方法:单位荷载法；单位荷载法；计算步骤计算步骤:(1)(1)虚设单位力状态；虚设单位力状态；(2)(2)判断是否符合图乘法应用条件判断是否符合图乘法应用条件；（3 3）选择合适的位移计算公式；）选择合适的位移计算公式；（4 4）具体位移计算。）具体位移计算。结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算（2）绘出荷载作用下的弯矩图（）绘出荷载作用下的弯矩图（Mp图）图）（Mp图）图）例题：试求左图所示刚架例题：试求左图所示刚架C点的竖向位移点的竖向位移 CV和转角和转角 C。各杆材料相同，截面抗弯模量为各杆材料相同，截面抗弯模量为:（M 图）图）解：解：（1）为求）为求C点的竖向位移，在点的竖向位移，在C处加一单位力，绘出（处加一单位力，绘出（M 图）图）习题6-8（b）、习题6-102024/7/12北京科技大学天津学院91结结构构力力学学虚功原理与结构位移计算（2）绘出荷载作用下的弯矩图（）绘出荷载作用下的弯矩图（Mp图）图）（Mp图）图）例题：试求左图所示刚架例题：试求左图所示刚架C点的竖向位移点的竖向位移 CV和转角和转角 C。各杆材料相同，截面抗弯模量为各杆材料相同，截面抗弯模量为:解：解：（1）为求）为求C点的转角，在点的转角，在C处加一单位力偶，绘出（处加一单位力偶，绘出（M 图）图）（M 图）图）2024/7/12北京科技大学天津学院92