第4章-热传导问题的数值解法资料课件

第4章热传导问题的数值解法n导热问题数值求解的基本原理n内节点离散方程的建立方法n边界节点离散方程的建立及代数方程的求解n非稳态导热问题的数值解法1.求解导热问题的三种基本方法：2.三种方法的基本求解过程 (1)理论分析法；(2)数值计算法；(3)实验法 (1)所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解称之为分析解，或叫理论解；导热问题的求解 (3)实验法：就是在传热学基本理论的指导下，采用对所研究对象的传热过程进行实验而求得所求量的方法。(2)数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值，并称之为数值解；(1)分析法 a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据；b 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见；c 局限性很大，对复杂的问题无法求解。3.三种方法的特点 (2)数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低。(3)实验法:是传热学的基本研究方法a适应性不好；b费用昂贵数值解法：有限差分法（finite-difference）有限元法（finite-element）边界元法（boundary-element）4.1导热问题数值求解基本思想1.基本思想 对物理问题进行数值求解的基本思想可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场（如导热物体的温度场）用有限个离散点上的值的集合来代替通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值2.数值求解的步骤（1）建立控制方程及定解条件 控制方程：定解条件：二维矩形域内稳态无内热二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题源，常物性的导热问题（2）区域离散化如图步长网格线的交点为节（结）点 元体：把节点代表的小区域称为元体，又叫控制容积。（3）建立节点物理量的代数方程（离散方程）对节点（,）的代数方程，当时，有：（4）设立迭代初场代数方程的求解方法有两大类：直接解法、迭代解法。采用迭代解法时，需要对被求的物理场预先假定一个解，称为初场，并在求解的过程中不断改进（5）求解代数方程组求解时遇到的问题：线性；非线性；收敛性等。线性方程组：代数方程中各项系数在整个求解过程中不再变化；非线性方程组：代数方程中各项系数在整个求解过程中不断更新。是否收敛判断：是指用迭代法求解代数方程是否收敛，即本次迭代计算所得之解与上一次迭代计算所得之解的偏差是否小于允许值。（6）解的分析热流量热应力热变形框图改进初场改进初场否否若：若：、，则求，则求 收敛否收敛否解的分析解的分析是是建立控制方程及定解条件建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散化）确定节点（区域离散化）建立节点物理量的代数方程建立节点物理量的代数方程设立温度场的迭代初值设立温度场的迭代初值求解代数方程求解代数方程1.区域离散化区域的划分取决于几何上的方便、所要求的计算精度节点，网格密，计算精度，但计算时间长4.2内节点离散方程的建立方法 称为节点，代表了这一单元（温度、物性）。2.建立离散方程常用的方法（1）Taylor（泰勒）级数展开法（2）控制容积平衡法（也称为热平衡法）(1)泰勒级数展开法根据泰勒级数展开式，用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m+1,n)的温度tm+1,n用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m-1,n)的温度tm-1,n将上两式相加截断误差截断误差移项整理即得二阶导数的中心差分：其节点方程为：=若 ，则对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热微分方程为：(2)热平衡法基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。能量守恒：流入控制体的总热流量控制体内热源生成热流出控制体的总热流量控制体内能的增量即：即：从所有方向流入控制体的总热流量 控制体内热源生成热 控制体内能的增量注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用稳态、无内热源时：从所有方向流入控制体的总热流量0内部节点：(m,n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)x x y y(m,n+1)以二维、稳态、有内热源的导热问题为例，此时：可见：当温度场还没有求出来之前，并不知道 所以，必须假设相邻节点间的温度分布形式，这里假定温度呈分段线性分布。(m,n)(m-1,n)(m+1,n)tm,ntm-1,ntm+1,n内热源：时：则有：无内热源时变为：重要说明：重要说明：所求节点的温度前的系数一定等于其他所有所求节点的温度前的系数一定等于其他所有相邻节点温度前的系数之和。这一结论也适用于边界节相邻节点温度前的系数之和。这一结论也适用于边界节点。但这里不包括热流点。但这里不包括热流(或热流密度或热流密度)前的系数前的系数。4.3边界节点离散方程的建立及代数方程的求解对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因为已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。对于第二类边界条件或第三类边界条件的热传导问题，就必须用热平衡的方法，建立边界节点的离散方程，边界节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组，才能求解。为了求解方便，这里将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用 表示边界上的热流密度或热流密度表达式。用 表示内热源强度。1.边界节点离散方程的建立(1)平直边界上的节点xy(2)外部角点xy(3)内部角点xy(3)辐射边界条件：或其他 的情况：(1)第二类边界条件：将，代入上面各式即可 (2)第三类边界条件：将，代入上面各式即可2.节点方程组的求解写出所有内节点和边界节点的温度差分方程,n个未知节点温度，n个代数方程式：代数方程组的求解方法：直接解法直接解法、迭代解法迭代解法直接解法：直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解;矩阵求逆、高斯消元法迭代解法：迭代解法：先对要计算的场作出假设,在迭代计算过程中不断予以改进,直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。称迭代计算已经收敛。缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题。迭代解法有多种：简单迭代（Jacobi迭代）、高斯-赛德尔迭代等迭代解法求解步骤（1）构建迭代方程（2）迭代求解假设迭代初场，记为t1(0)、t2(0)、tn(0)，由上式逐一计算出改进值t1(1)、t2(1)、tn(1)。注意注意：每次迭代均用温度的最新值代入。（3）以计算所得之值作为初场，重复上述计算，直到相邻两次迭代值之差小于允许值，此时称为已经达到迭代收敛，迭代计算终止。判断迭代是否收敛的准则k及k+1表示迭代次数；第k次迭代得到的最大值迭代过程能够收敛的判据对于常物性导热问题所组成的差分方程组，迭代公式的选择应使每一个迭代变量的系数总是大于或等于该式中其他变量系数绝对值之和，此时用迭代法求解代数方程一定收敛。数学上称为主对角线占优。在用热平衡法导出差分方程时，若每一个方程都选用导出该方程的中心节点的温度作为迭代变量，则上述条件必满足，迭代一定收敛。4.4非稳态导热问题的数值解法1.一维非稳态导热时间空间区域的离散化 非稳态项的离散 向前差分：向后差分：中心差分：2.一维非稳态导热微分方程的离散方法（1）泰勒级数展开法（内部节点）中心中心差分差分向前向前差分差分显式差显式差分格式分格式优点：计算工作量小；缺点：受时间及空间步长的限制。优点：不受网格是否均匀限制；不受物性是否为常数限制。（2）热平衡法（边界节点）3.一维平板非稳态导热离散方程有的差分格式的计算结果与真值十分相近。有的差分格式的计算结果严重偏离真值，甚至发生上下震荡，得不到结果。4.讨论一维导热问题显式差分格式稳定性限制的物理意义当计算从一个时层向下一个时层推进时，任何一个时层的解取决于前一个时层的计算结果，而每次计算时，四舍五入总是难免的如果舍入误差在以后各时层的计算中逐渐减小，或总是一个有限值，则可求得与真值相近的结果，否则计算结果将严重偏离真值。能保证舍入误差不被放大的差分格式称为稳定的差分格式，否则为不稳定的差分格式。注意：稳定性问题与微分方程无关，它只是差分方程本身内在性质，它反映了差分方程进行计算时，误差积累（或传播）的性质。上式表明：点n上i+1时刻的温度是在该点i时刻温度的基础上计及了左右两邻点温度的影响后得出的。如果两邻点的影响保持不变，合理的情况是：时刻时刻 高高 低低 时刻时刻 也高也高 也低也低要满足这种合理性，必须要求前的系数大于或等于零，即也就是说，在时间与空间离散时，和 的选取是相互制约的。举例说明 一无限大平板，厚 ，两侧表面温度突然升高至 ，试用数值法求平板内温度变化。解：初始条件：边界条件：将平板按步长 分成10 份，并取因边界温度已知，故只需用中间节点计算式，此时有结果出现了 和 。从物理意义上分析，可知 。因此，上述计算结果是荒谬的，原因是以较小的为依据确定所允许采用的时间步长以较小的为依据确定所允许采用的时间步长内部节点内部节点：边界节点边界节点：有时为了提高计算精度，需要令。但在显格式中，令，必须同时令，且下降速率大于。这就使得计算量大大增加。如何解决？采用隐格式。注意，扩散项用时层上的值来表示。扩散项取中心差分，非稳态项取向后差分。中心中心差分差分向向后后差差分分优点：不受时间及空间的步长影响；缺点：计算工作量大。隐式差隐式差分格式分格式4.数值解法的求解步骤（1）首先选择空间坐标间隔 ，即距离步长。对二维问题一般使 ；（2）对显式格式差分方程，根据方程的稳定性条件选择允许的最大时间步长；在稳定性条件允许范围内，越大，计算工作量越小，但精度较差；对一维问题，一般取，即可满足工程精度要求；对于隐式差分方程，可任意选取，不必进行稳定性条件校核；（3）按题意给定的初始温度分布，确定各节点上的温度初值;（4）根椐建立的差分方程组，求时刻各节点的温度;（5）再由为初值，重复计算得出，如此反复，最后得到i时刻的。作业n习题4-9