第4章-弯曲内力课件

CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例 受弯杆件的简化受弯杆件的简化受弯杆件的简化受弯杆件的简化 剪力与弯矩剪力与弯矩剪力与弯矩剪力与弯矩 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系基本内容：基本内容：基本内容：基本内容：剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图本章要点：本章要点：本章要点：本章要点：平面曲杆的弯曲内力平面曲杆的弯曲内力平面曲杆的弯曲内力平面曲杆的弯曲内力CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力4-1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例一、弯曲变形的实例一、弯曲变形的实例一、弯曲变形的实例一、弯曲变形的实例CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力qP1.1.受力特点：受力特点：外力垂直于杆件的轴线。外力垂直于杆件的轴线。2.2.变形特点：变形特点：杆件的轴线由直线变成曲线杆件的轴线由直线变成曲线以弯曲变形为主的杆件以弯曲变形为主的杆件梁梁CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力纵向对称面纵向对称面变形前的轴线变形前的轴线变形后的轴线变形后的轴线横截面对称轴横截面对称轴梁的横截面对称轴与轴线构成的平面梁的横截面对称轴与轴线构成的平面纵向对称平面：纵向对称平面：若梁上的外载荷若梁上的外载荷都作用在此对称平面内都作用在此对称平面内，则梁弯曲变形后则梁弯曲变形后的轴线为纵向对称平面内的的轴线为纵向对称平面内的平面曲线平面曲线。这种弯曲称为这种弯曲称为平面弯曲平面弯曲或或对称弯曲对称弯曲。二、平面弯曲的概念二、平面弯曲的概念CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力发生平面弯曲的条件：发生平面弯曲的条件：(1)(1)截面有对称轴（梁有纵向对称面）；截面有对称轴（梁有纵向对称面）；(2)(2)外力作用于纵向对称平面内。外力作用于纵向对称平面内。材料力学材料力学 主要研究平面弯曲的情形。主要研究平面弯曲的情形。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力4-24-2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化受弯杆件的简化受弯杆件的简化梁的支座按它对梁的约束情况，可简化为三种基本形式梁的支座按它对梁的约束情况，可简化为三种基本形式1 1、固定端、固定端 限制梁端截面沿水平和垂直方向移动和绕某一轴移动。限制梁端截面沿水平和垂直方向移动和绕某一轴移动。一、一、支座的几种基本形式支座的几种基本形式3 3个约束，个约束，0 0个自由度个自由度2 2、固定铰支座、固定铰支座 限制支承的横截面沿水平和垂直方向移动。限制支承的横截面沿水平和垂直方向移动。2 2个约束，个约束，1 1个自由度个自由度3 3、活动铰支座、活动铰支座 使杆件与沿支承面方向移动亦可绕支承点转动。使杆件与沿支承面方向移动亦可绕支承点转动。1 1个约束，个约束，2 2个自由度个自由度CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力1 1、集中载荷、集中载荷2 2、分布载荷、分布载荷3 3、集中力偶、集中力偶特例：均布载荷，线性分布载荷，如水对坝的压力。特例：均布载荷，线性分布载荷，如水对坝的压力。集中载荷集中载荷集中载荷集中载荷分布载荷分布载荷分布载荷分布载荷集中力偶集中力偶集中力偶集中力偶二、梁的载荷分类二、梁的载荷分类 沿轴向连续分布在杆件上的载荷，常用沿轴向连续分布在杆件上的载荷，常用q 表示单位长度上表示单位长度上的载荷的载荷,称为载荷集度。称为载荷集度。如风力如风力,水力水力,重力。重力。载荷的作用范围远小于杆件轴向尺寸。载荷的作用范围远小于杆件轴向尺寸。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力三、静定梁的基本形式三、静定梁的基本形式1.1.简支梁简支梁:一端为固定铰支座一端为活动铰支座一端为固定铰支座一端为活动铰支座FqFCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力F2.2.外伸梁外伸梁:一端或两端向外伸出的简支梁一端或两端向外伸出的简支梁FFFCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力3.3.悬臂梁悬臂梁:一端固定支座一端自由一端固定支座一端自由FFCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力4-3 4-3 剪力与弯矩剪力与弯矩剪力与弯矩剪力与弯矩F2F3m mxFBF1F2F3xyAB一、剪力和弯矩一、剪力和弯矩m mxm m截面形心截面形心O步骤：步骤：（1）先求约束反力）先求约束反力FA 、FB ；（2）由截面法求横截面上的内力；）由截面法求横截面上的内力；FAFByxFAF1axA（如：求（如：求 m m 截面的内力）截面的内力）a与横截面相切的分布内力系的合力与横截面相切的分布内力系的合力与横截面垂直的分布内力系的合力与横截面垂直的分布内力系的合力CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力m m截面形心截面形心OyxFAF1axA剪力、弯矩的数值：剪力、弯矩的数值：剪力剪力 在数值上等于截面以左（或以右）所有外力在在数值上等于截面以左（或以右）所有外力在y轴上轴上 投影的代数和；投影的代数和；弯矩弯矩 在数值上等于截面以左（或以右）所有外力对在数值上等于截面以左（或以右）所有外力对截面截面 形心形心矩的代数和；矩的代数和；m m 截面的内力截面的内力:CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力二、剪力和弯矩的正负号规定二、剪力和弯矩的正负号规定二、剪力和弯矩的正负号规定二、剪力和弯矩的正负号规定1.1.剪力剪力剪力剪力 按截面处的梁微段的变形规定按截面处的梁微段的变形规定按截面处的梁微段的变形规定按截面处的梁微段的变形规定 绕绕绕绕梁微段顺时针转动梁微段顺时针转动梁微段顺时针转动梁微段顺时针转动的的的的剪力剪力剪力剪力F Fs s为为为为正正正正，反之为负。，反之为负。，反之为负。，反之为负。截面左侧截面左侧截面左侧截面左侧：向下的：向下的：向下的：向下的F Fs s为正，为正，为正，为正，向上的向上的向上的向上的F Fs s为负；为负；为负；为负；截面右侧截面右侧截面右侧截面右侧：向上的：向上的：向上的：向上的F Fs s为正，为正，为正，为正，向下的向下的向下的向下的F Fs s为负。为负。为负。为负。FsFsFsFs（）（）（）（）（）（）（）（）CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力2.2.弯矩弯矩弯矩弯矩 使使使使梁微段发生上凹下凸变形梁微段发生上凹下凸变形梁微段发生上凹下凸变形梁微段发生上凹下凸变形的的的的弯矩弯矩弯矩弯矩 M M 为正，反之为负。为正，反之为负。为正，反之为负。为正，反之为负。截面左侧截面左侧截面左侧截面左侧：逆时针逆时针逆时针逆时针转向的弯矩转向的弯矩转向的弯矩转向的弯矩MM为为为为正正正正 顺时针顺时针顺时针顺时针转向的弯矩转向的弯矩转向的弯矩转向的弯矩MM为为为为负负负负截面右侧：截面右侧：截面右侧：截面右侧：顺时针顺时针顺时针顺时针转向的弯矩转向的弯矩转向的弯矩转向的弯矩MM为为为为正正正正 逆时针逆时针逆时针逆时针转向的弯矩转向的弯矩转向的弯矩转向的弯矩MM为为为为负负负负（）（）（）（）CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力AB11221.5 m1.5 m3 m1.5 m2 m8 kN12 kN/m例例例例 1 1：图示简支梁，试求指定截面的剪力图示简支梁，试求指定截面的剪力图示简支梁，试求指定截面的剪力图示简支梁，试求指定截面的剪力F Fs s和弯矩和弯矩和弯矩和弯矩M M 。解：解：解：解：（1 1）先求约束反力；）先求约束反力；）先求约束反力；）先求约束反力；FAFB（2 2）由截面法求）由截面法求）由截面法求）由截面法求F Fs s、MM1 11 1截面：截面：截面：截面：8 kN11AFA2 m1.5 mO截面形心截面形心截面形心截面形心22FB12 kN/m1.5 mBCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力2 22 2截面：截面：截面：截面：说明：说明：说明：说明：取左段时：取左段时：取左段时：取左段时：F Fs s向下假设为正；向下假设为正；向下假设为正；向下假设为正；MM逆时针假设为正。逆时针假设为正。逆时针假设为正。逆时针假设为正。取右段时：取右段时：取右段时：取右段时：F Fs s向上假设为正；向上假设为正；向上假设为正；向上假设为正；MM顺时针假设为正。顺时针假设为正。顺时针假设为正。顺时针假设为正。22FB12 kN/m1.5 mBAB11221.5 m1.5 m3 m1.5 m2 m8 kN12 kN/mFAFB8 kN11AFA2 m1.5 mO截面形心截面形心截面形心截面形心CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力取左半部分取左半部分向上的外力向上的外力在截面上引起在截面上引起正的剪力正的剪力；向下的外力向下的外力在截面上引起在截面上引起负的剪力负的剪力。取右半部分取右半部分向下的外力向下的外力在截面上引起在截面上引起正的剪力正的剪力；向上的外力向上的外力在截面上引起在截面上引起负的剪力。负的剪力。3.剪力、弯矩的正负与横向外力的关系剪力、弯矩的正负与横向外力的关系（1）剪力：）剪力：8 kN11AFA2 m1.5 mO截面形心截面形心截面形心截面形心22FB12 kN/m1.5 mBCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力（2）弯矩：）弯矩：取左半部分取左半部分向上的外力向上的外力在截面上引起在截面上引起正的弯矩正的弯矩；向下的外力向下的外力在截面上引起在截面上引起负的弯矩负的弯矩。取右半部分取右半部分向上的外力向上的外力在截面上引起在截面上引起正的弯矩正的弯矩；向下的外力向下的外力在截面上引起在截面上引起负的弯矩负的弯矩。8 kN11AFA2 m1.5 mO截面形心截面形心截面形心截面形心22FB12 kN/m1.5 mBCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力例例 2：图示简支梁，试求指定截面的剪力图示简支梁，试求指定截面的剪力Fs和弯矩和弯矩M 。解：解：（1）先求约束反力；）先求约束反力；FA、FB（2）求指定截面）求指定截面Fs和和M2 2截面：截面：FAAB11F22FBFAA11F22oCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力1 1截面：截面：FBB1122oFAAB11F22FBFAA11F22oCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力4.剪力、弯矩的正负与横向外力偶的关系剪力、弯矩的正负与横向外力偶的关系弯矩：弯矩：取左半部分取左半部分顺时针转向顺时针转向的外力偶引起的外力偶引起正的弯矩正的弯矩逆时针转向逆时针转向的外力偶引起的外力偶引起负的弯矩负的弯矩取右半部分取右半部分逆时针转向逆时针转向的外力偶引起的外力偶引起正的弯矩正的弯矩顺时针转向顺时针转向的外力偶引起的外力偶引起负的弯矩负的弯矩FAA11F22oFBB1122oCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力例：求图示梁例：求图示梁1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力和弯矩。截面上的剪力和弯矩。F=qa1 ABFAFB1 2 2 3 3 4 4 qaaaa解解:AFAFs1M1AFAFs2M2FAFs3M3FFABFBqFs4M4CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力m m截面形心截面形心OyxFAF1axA1 剪力、弯矩的数值剪力、弯矩的数值剪力剪力 在数值上等于截面以左（或以右）所有外力在在数值上等于截面以左（或以右）所有外力在y轴上轴上 投影的代数和；投影的代数和；弯矩弯矩 在数值上等于截面以左（或以右）所有外力对在数值上等于截面以左（或以右）所有外力对截面截面 形心形心矩的代数和；矩的代数和；m m 截面的内力截面的内力:内内 容容 回回 顾顾CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力2、剪力和弯矩的正负号规定、剪力和弯矩的正负号规定(1)剪力剪力 按截面处的梁微段的变形规定按截面处的梁微段的变形规定按截面处的梁微段的变形规定按截面处的梁微段的变形规定 绕绕绕绕梁微段顺时针转动梁微段顺时针转动梁微段顺时针转动梁微段顺时针转动的的的的剪力剪力剪力剪力F Fs s为为为为正正正正，反之为负。，反之为负。，反之为负。，反之为负。截面左侧截面左侧截面左侧截面左侧：向下的：向下的：向下的：向下的F Fs s为正，为正，为正，为正，向上的向上的向上的向上的F Fs s为负；为负；为负；为负；截面右侧截面右侧截面右侧截面右侧：向上的：向上的：向上的：向上的F Fs s为正，为正，为正，为正，向下的向下的向下的向下的F Fs s为负。为负。为负。为负。FsFsFsFs（）（）（）（）（）（）（）（）CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力(2)弯矩弯矩 使使使使梁微段发生上凹下凸变形梁微段发生上凹下凸变形梁微段发生上凹下凸变形梁微段发生上凹下凸变形的的的的弯矩弯矩弯矩弯矩 M M 为正，反之为负。为正，反之为负。为正，反之为负。为正，反之为负。截面左侧截面左侧截面左侧截面左侧：逆时针逆时针逆时针逆时针转向的弯矩转向的弯矩转向的弯矩转向的弯矩MM为为为为正正正正 顺时针顺时针顺时针顺时针转向的弯矩转向的弯矩转向的弯矩转向的弯矩MM为为为为负负负负截面右侧：截面右侧：截面右侧：截面右侧：顺时针顺时针顺时针顺时针转向的弯矩转向的弯矩转向的弯矩转向的弯矩MM为为为为正正正正 逆时针逆时针逆时针逆时针转向的弯矩转向的弯矩转向的弯矩转向的弯矩MM为为为为负负负负（）（）（）（）CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力取左半部分取左半部分向上的外力向上的外力在截面上引起在截面上引起正的剪力正的剪力；向下的外力向下的外力在截面上引起在截面上引起负的剪力负的剪力。取右半部分取右半部分向下的外力向下的外力在截面上引起在截面上引起正的剪力正的剪力；向上的外力向上的外力在截面上引起在截面上引起负的剪力。负的剪力。3.剪力、弯矩的正负与横向外力的关系剪力、弯矩的正负与横向外力的关系（1）剪力：）剪力：8 kN11AFA2 m1.5 mO截面形心截面形心截面形心截面形心22FB12 kN/m1.5 mBCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力（2）弯矩：）弯矩：取左半部分取左半部分向上的外力向上的外力在截面上引起在截面上引起正的弯矩正的弯矩；向下的外力向下的外力在截面上引起在截面上引起负的弯矩负的弯矩。取右半部分取右半部分向上的外力向上的外力在截面上引起在截面上引起正的弯矩正的弯矩；向下的外力向下的外力在截面上引起在截面上引起负的弯矩负的弯矩。8 kN11AFA2 m1.5 mO截面形心截面形心截面形心截面形心22FB12 kN/m1.5 mBCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力4.剪力、弯矩的正负与横向外力偶的关系剪力、弯矩的正负与横向外力偶的关系弯矩：弯矩：取左半部分取左半部分顺时针转向顺时针转向的外力偶引起的外力偶引起正的弯矩正的弯矩逆时针转向逆时针转向的外力偶引起的外力偶引起负的弯矩负的弯矩取右半部分取右半部分逆时针转向逆时针转向的外力偶引起的外力偶引起正的弯矩正的弯矩顺时针转向顺时针转向的外力偶引起的外力偶引起负的弯矩负的弯矩FAA11F22oFBB1122oCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力例例:已知已知:F、M=Fl、l 求：求：横截面横截面D-、E、A+的剪力和弯矩。的剪力和弯矩。解：解：（1）计算支反力）计算支反力（2）计算截面）计算截面 E 的剪力和弯矩的剪力和弯矩解得：解得：解得：解得：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力（3）计算截面）计算截面A+和和D-的剪力和弯矩的剪力和弯矩解得：解得：同理：同理：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力mmFsMFsMCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力FBFD11223344例：图示外伸梁，试求指定截面的内力。例：图示外伸梁，试求指定截面的内力。解：解：解：解：（1 1）先求约束反力）先求约束反力）先求约束反力）先求约束反力（2 2）求剪力）求剪力）求剪力）求剪力M=3qa2ADBCaaaCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力（3 3）求弯矩）求弯矩）求弯矩）求弯矩或或或或FBFD11223344M=3qa2ADBCaaaCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力4-4 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图一、剪力方程与弯矩方程一、剪力方程与弯矩方程x 表示梁横截面的位置表示梁横截面的位置 以纵坐标表示剪力以纵坐标表示剪力(Fs)与弯矩与弯矩(M)，横坐标，横坐标x表示梁横截面的位表示梁横截面的位置，得到的剪力和弯矩的变化曲线，称为剪力和弯矩图。置，得到的剪力和弯矩的变化曲线，称为剪力和弯矩图。二、剪力图与弯矩图二、剪力图与弯矩图方法：方法：方法：方法：（1）由剪力和弯矩方程）由剪力和弯矩方程求梁的求梁的Q、M 图；图；（2 2）由剪力、弯矩与横向分布载荷之间的微分关系）由剪力、弯矩与横向分布载荷之间的微分关系求梁的求梁的Q、M图图；表示剪力和弯矩沿梁轴线变化规律的代数方程。表示剪力和弯矩沿梁轴线变化规律的代数方程。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力例例例例1 1 已知已知:F、l求：梁的剪力图和弯矩图。求：梁的剪力图和弯矩图。解：解：解：解：(1)剪力方程和弯矩方程：剪力方程和弯矩方程：Fs(x)为一常量为一常量(2)剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图xy水平直线水平直线水平直线水平直线斜直线斜直线斜直线斜直线小结：小结：小结：小结：（1 1）对悬臂梁，不必求反力；）对悬臂梁，不必求反力；）对悬臂梁，不必求反力；）对悬臂梁，不必求反力；（2 2）悬臂梁自由端，无力偶作用时，）悬臂梁自由端，无力偶作用时，）悬臂梁自由端，无力偶作用时，）悬臂梁自由端，无力偶作用时，M M=0=0；(3)剪力、弯矩极值剪力、弯矩极值CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力例例2解：解：(1)先求约束反力：先求约束反力：已知已知:q、l 求：求：梁的梁的FS图和图和M图。图。(2)列剪力方程和弯矩方程：列剪力方程和弯矩方程：xy(3)画剪力、弯矩图画剪力、弯矩图斜直线斜直线二次抛物线二次抛物线CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力求弯矩的极值点（抛物线顶点）：求弯矩的极值点（抛物线顶点）：l/2xyCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力小结：小结：Fs：均匀分布载荷区域，均匀分布载荷区域，Fs为斜直线，为斜直线，斜率为载荷集度斜率为载荷集度 q ；M：(1)均匀分布载荷区域，均匀分布载荷区域，M为二次抛为二次抛 物线，曲线三点的物线，曲线三点的 M 值确定；值确定；(2)端部铰链处，端部铰链处，M=0；Fs、M 的最大值：的最大值：(3)M 为极值点处，为极值点处，Fs=0。l/2xyCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力例例3画出图示梁的画出图示梁的FS图和图和M图。图。解：解：(1)列剪力方程和弯矩方程：列剪力方程和弯矩方程：xy(2)画剪力、弯矩图画剪力、弯矩图 斜直线斜直线 二次抛物线二次抛物线(3)剪力、弯矩的极值剪力、弯矩的极值CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力例例4解：解：（1）先求出约束反力：）先求出约束反力：（2）剪力方程和弯矩方程：）剪力方程和弯矩方程：（3）画剪力图和弯矩图）画剪力图和弯矩图CB段：段：xy画出图示梁的画出图示梁的Fs图和图和M图。图。AC段：段：（4）求剪力图和弯矩极值）求剪力图和弯矩极值CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力例例5解：解：画出图示梁的画出图示梁的Fs图和图和M图。图。（1）先求出约束反力：）先求出约束反力：（2）剪力和弯矩方程：）剪力和弯矩方程：AC段：段：CB段：段：（3）画出剪力、弯矩图）画出剪力、弯矩图xyFAFBxaABblCMxFsxMCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力小结：小结：(1)集中力偶作用处集中力偶作用处集中力偶作用处集中力偶作用处F Fs s不变；不变；不变；不变；MM有突变，突变值为有突变，突变值为有突变，突变值为有突变，突变值为 M 的值。的值。的值。的值。(2)端部铰链处端部铰链处端部铰链处端部铰链处(3)左右两段直线斜率相等左右两段直线斜率相等左右两段直线斜率相等左右两段直线斜率相等(4)该处的反力值该处的反力值xyFAFBxaABblCMxFsxMCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力m m截面形心截面形心OyxFAF1axA2 剪力、弯矩的数值剪力、弯矩的数值剪力剪力 在数值上等于截面以左（或以右）所有外力在在数值上等于截面以左（或以右）所有外力在y轴上轴上 投影的代数和；投影的代数和；弯矩弯矩 在数值上等于截面以左（或以右）所有外力对在数值上等于截面以左（或以右）所有外力对截面截面 形心形心矩的代数和；矩的代数和；m m 截面的内力截面的内力:若梁上的外载荷都作用在纵向对称平面内，则梁弯曲变形若梁上的外载荷都作用在纵向对称平面内，则梁弯曲变形若梁上的外载荷都作用在纵向对称平面内，则梁弯曲变形若梁上的外载荷都作用在纵向对称平面内，则梁弯曲变形后的轴线为纵向对称平面内的平面曲线。后的轴线为纵向对称平面内的平面曲线。后的轴线为纵向对称平面内的平面曲线。后的轴线为纵向对称平面内的平面曲线。这种弯曲称为平面弯曲或对称弯曲。这种弯曲称为平面弯曲或对称弯曲。这种弯曲称为平面弯曲或对称弯曲。这种弯曲称为平面弯曲或对称弯曲。1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念内容回顾内容回顾内容回顾内容回顾CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力3 剪力和弯矩的正负号规定剪力和弯矩的正负号规定(1)剪力剪力 按截面处的梁微段的变形规定按截面处的梁微段的变形规定按截面处的梁微段的变形规定按截面处的梁微段的变形规定 绕绕绕绕梁微段顺时针转动梁微段顺时针转动梁微段顺时针转动梁微段顺时针转动的的的的剪力剪力剪力剪力F Fs s为为为为正正正正，反之为负。，反之为负。，反之为负。，反之为负。截面左侧截面左侧截面左侧截面左侧：向下的：向下的：向下的：向下的F Fs s为正，为正，为正，为正，向上的向上的向上的向上的F Fs s为负；为负；为负；为负；截面右侧截面右侧截面右侧截面右侧：向上的：向上的：向上的：向上的F Fs s为正，为正，为正，为正，向下的向下的向下的向下的F Fs s为负。为负。为负。为负。FsFsFsFs（）（）（）（）（）（）（）（）CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力(2)弯矩弯矩 使使使使梁微段发生上凹下凸变形梁微段发生上凹下凸变形梁微段发生上凹下凸变形梁微段发生上凹下凸变形的的的的弯矩弯矩弯矩弯矩 M M 为正，反之为负。为正，反之为负。为正，反之为负。为正，反之为负。截面左侧截面左侧截面左侧截面左侧：逆时针逆时针逆时针逆时针转向的弯矩转向的弯矩转向的弯矩转向的弯矩MM为为为为正正正正 顺时针顺时针顺时针顺时针转向的弯矩转向的弯矩转向的弯矩转向的弯矩MM为为为为负负负负截面右侧：截面右侧：截面右侧：截面右侧：顺时针顺时针顺时针顺时针转向的弯矩转向的弯矩转向的弯矩转向的弯矩MM为为为为正正正正 逆时针逆时针逆时针逆时针转向的弯矩转向的弯矩转向的弯矩转向的弯矩MM为为为为负负负负（）（）（）（）CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力取左半部分取左半部分向上的外力向上的外力在截面上引起在截面上引起正的剪力正的剪力；向下的外力向下的外力在截面上引起在截面上引起负的剪力负的剪力。取右半部分取右半部分向下的外力向下的外力在截面上引起在截面上引起正的剪力正的剪力；向上的外力向上的外力在截面上引起在截面上引起负的剪力。负的剪力。4 剪力、弯矩的正负与横向外力的关系剪力、弯矩的正负与横向外力的关系（1）剪力：）剪力：8 kN11AFA2 m1.5 mO截面形心截面形心截面形心截面形心22FB12 kN/m1.5 mBCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力（2）弯矩：）弯矩：取左半部分取左半部分向上的外力向上的外力在截面上引起在截面上引起正的弯矩正的弯矩；向下的外力向下的外力在截面上引起在截面上引起负的弯矩负的弯矩。取右半部分取右半部分向上的外力向上的外力在截面上引起在截面上引起正的弯矩正的弯矩；向下的外力向下的外力在截面上引起在截面上引起负的弯矩负的弯矩。8 kN11AFA2 m1.5 mO截面形心截面形心截面形心截面形心22FB12 kN/m1.5 mBCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力5 剪力、弯矩的正负与横向外力偶的关系剪力、弯矩的正负与横向外力偶的关系弯矩：弯矩：取左半部分取左半部分顺时针转向顺时针转向的外力偶引起的外力偶引起正的弯矩正的弯矩逆时针转向逆时针转向的外力偶引起的外力偶引起负的弯矩负的弯矩取右半部分取右半部分逆时针转向逆时针转向的外力偶引起的外力偶引起正的弯矩正的弯矩顺时针转向顺时针转向的外力偶引起的外力偶引起负的弯矩负的弯矩FAA11F22oFBB1122oCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力mmFsMFsMCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力ABCFq3m1m例例6 图示外伸梁。图示外伸梁。q=2kN/m，F=3kN。试列出剪力方程。试列出剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：解：（1）求约束反力；）求约束反力；FAFB（2）列剪力和弯矩方程；）列剪力和弯矩方程；xAB段：段：BC段：段：x（3）作剪力和弯矩图；）作剪力和弯矩图；极值点极值点1mxyCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系一、载荷集度、剪力和弯矩的微分关系一、载荷集度、剪力和弯矩的微分关系Fs(x)M(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力一、载荷集度、剪力和弯矩的微分关系一、载荷集度、剪力和弯矩的微分关系M(x)+dM(x)Fs(x)M(x)Fs(x)+dFs(x)CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力二、载荷集度、剪力和弯矩的积分关系二、载荷集度、剪力和弯矩的积分关系CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力q0时，时，Fs图上扬图上扬q0时，时，M图上扬图上扬Fs 0时，时，Fs图上扬图上扬q0时，时，M图上扬图上扬Fs 0时，时，Fs图上扬图上扬q0时，时，M图上扬图上扬Fs 0时，时，M图下倾图下倾Fs =0时，时，M图水平图水平(1)(1)(1)Fs图为平行于图为平行于x轴的直线段。轴的直线段。(2)(2)(2)6.剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力(4)该截面上弯矩有极值（极大值或极小值）。该截面上弯矩有极值（极大值或极小值）。(5)在集中力作用处在集中力作用处Fs图有突变，图有突变，M图的斜率也发生突变，也就是出现尖角。图的斜率也发生突变，也就是出现尖角。(6)在集中力偶作用处在集中力偶作用处M图有突变，图有突变，Fs图无特殊变化。图无特殊变化。(3)(7)端部铰链和自由端处，若无集中力偶作用，端部铰链和自由端处，若无集中力偶作用，则则 M=0，|Fs|=端部的横向外力数值。端部的横向外力数值。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力7 刚架和平面曲杆的弯曲内力刚架和平面曲杆的弯曲内力(1)刚架的内力刚架的内力 连结点连结点C 处截面不能发生相对转动，这种节点称为刚节点。处截面不能发生相对转动，这种节点称为刚节点。由刚节点联接而成的框架结构称为由刚节点联接而成的框架结构称为刚架刚架。刚架的内力：刚架的内力：弯矩弯矩 M剪力剪力轴力轴力刚架内力正负号的约定：刚架内力正负号的约定：弯矩弯矩M 画在梁的受压侧。画在梁的受压侧。轴力轴力 拉为正，压为负；拉为正，压为负；剪力剪力 使杆件微段发生顺时针转动使杆件微段发生顺时针转动 的的 为正，反之为负；为正，反之为负；CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力（2 2）曲杆的内力）曲杆的内力）曲杆的内力）曲杆的内力F2FamnF2Fmn轴力、剪力、弯知方程：轴力、剪力、弯知方程：轴力、剪力、弯知方程：轴力、剪力、弯知方程：曲杆内力正负号的约定：曲杆内力正负号的约定：曲杆内力正负号的约定：曲杆内力正负号的约定：轴力轴力轴力轴力F FN N 拉为正，压为负；拉为正，压为负；拉为正，压为负；拉为正，压为负；剪力剪力剪力剪力F Fs s 使曲杆发生顺时针转动的使曲杆发生顺时针转动的使曲杆发生顺时针转动的使曲杆发生顺时针转动的F Fs s为正，反之为负；为正，反之为负；为正，反之为负；为正，反之为负；弯矩弯矩弯矩弯矩MM 使轴线曲率增加的使轴线曲率增加的使轴线曲率增加的使轴线曲率增加的MM为正为正为正为正;CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第第第第4 4章章章章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力作业：作业：41 (a)、(c)44 (a)、(b)、(e)、(g)、(j)47 (a)、(c)48