第4机械能守恒定律课件

1 力的功力的功 动能定理动能定理 一、力的功一、力的功 二、二、质点运动的动能定理质点运动的动能定理 三、三、质点系的动能定理质点系的动能定理1一、力的功一、力的功 1.恒力作用恒力作用 直线运动直线运动作用物体的位移作用物体的位移22.一般运动一般运动 （变力作用（变力作用 曲线运动）曲线运动）元功元功讨论讨论1）A是标量是标量 反映了能量的变化反映了能量的变化正负正负：取决于力与位移的：取决于力与位移的夹角夹角 摩擦力作功一定是负的吗？摩擦力作功一定是负的吗？3(1)功的正、负功的正、负讨论讨论(2)作作功的图示功的图示4（3）功是一个过程量，与路径有关功是一个过程量，与路径有关（4）合力的功，等于各分力的功的代数和合力的功，等于各分力的功的代数和52019一质点在几个力同时作用下位移为一质点在几个力同时作用下位移为r=4i-5j+6k,其中一个其中一个力为恒力力为恒力F=-3i-5j+9k,则此力在该位移中所作的功则此力在该位移中所作的功（A）-67J （B）17J（C）67J （D）91J6 功的单位功的单位（焦耳）焦耳）平均功率平均功率 瞬时功率瞬时功率 功率的单位功率的单位（瓦特）瓦特）72）功是过程量功是过程量 3）功的计算中应注意的问题功的计算中应注意的问题1)质点问题质点问题对对质点质点:各力各力作功之作功之和和等于等于合力合力作的功作的功中学时中学时似乎似乎熟视无睹熟视无睹思考思考：写这个写这个等号等号的的条件条件？82)质点系问题质点系问题?对问号的解释：对问号的解释：一般的讨论：一般的讨论：如图，两个质点走的路径不同。如图，两个质点走的路径不同。则，各质点的元位移则，各质点的元位移故不能用一个共同的元位移故不能用一个共同的元位移来代替。来代替。9所以在所以在计算功的过程中特别要计算功的过程中特别要分清分清研究对象研究对象对质点有：对质点有：即，即，各力各力作功之作功之和和等于等于合力合力作的功。作的功。但但对质点系对质点系：写不出像质点那样的简单式子，：写不出像质点那样的简单式子，即，即，各力各力作功之作功之和和不一定不一定等于等于合力合力的功。的功。105.一质点在几个力同时作用下位移为一质点在几个力同时作用下位移为r=4i-5j+6k,其中一个力为其中一个力为恒力恒力F=-3i-4j+5k,则此力在该位移中所作的功则此力在该位移中所作的功（A）-67J （B）17J（C）67J （D）91J11 例例 1一质量为一质量为 m 的小球的小球竖直落入水中，竖直落入水中，刚接触水面时刚接触水面时其速率为其速率为 设此球在水中所设此球在水中所受的浮力与重力相等，水的阻受的浮力与重力相等，水的阻力为力为 ,b 为一常量为一常量.求阻力对球作的功与时间的函求阻力对球作的功与时间的函数关系数关系12解解建立如右图所示的坐标系建立如右图所示的坐标系又由又由 2-4 节例节例 5 知知13例例1 如图，水平桌面上有质点如图，水平桌面上有质点 m，桌面的摩，桌面的摩擦系数为擦系数为 求：两种情况下摩擦力作的功求：两种情况下摩擦力作的功 1）沿圆弧；）沿圆弧；2）沿直径）沿直径解：解：14二、二、质点运动的动能定理质点运动的动能定理思路：思路：与推导动量定理和角动量定理相同，与推导动量定理和角动量定理相同，仍然由牛顿第二定律出发。仍然由牛顿第二定律出发。牛顿力学中定义质点动能为牛顿力学中定义质点动能为一种推导：一种推导：元功元功将牛顿第二将牛顿第二定律代入定律代入15推导推导质点运动的动能定理质点运动的动能定理我们应该学会我们应该学会或说或说习惯习惯于这种一般性的推导。于这种一般性的推导。16 例例 2 一质量为一质量为1.0 kg 的小的小球系在长为球系在长为1.0 m 细绳下端，绳细绳下端，绳的上端固定在天花板上起初的上端固定在天花板上起初把绳子放在与竖直线成把绳子放在与竖直线成 角角处，然后放手使小球沿圆弧下处，然后放手使小球沿圆弧下落试求绳与竖直线成落试求绳与竖直线成 角角时小球的速率时小球的速率17解解 18由动能定理由动能定理得得194、长为1 m的细线，上端固定，下端悬挂质量为2 kg的小球今将小球拉到悬线与竖直方向成45角的位置，然后无初速地把小球释放求悬线与竖直方向成10角时，小球的速度v解：重力的功：Wmgl(cosfcos45),根据动能定理有：所以当f10时，v2.33 m/s(亦可用功能原理求解)20一链条总长为L，质量为m放在桌面上并使其下垂，下垂的长度为a，设链条与桌面的滑动摩擦因数为，令链条从静止开始运动，求：（1）到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？（2）链条离开桌面时的速率是多少？例l-xxOx解链条与桌面摩擦摩擦力做功1）坐标选取如图2）整个链条的动能定理21桌面外部分链条重力做功代入功能原理得到明确区分问题中a与x表达的含义；绳离开桌面时，下端坐标为l。注22一个弹簧下端挂质量为0.1 kg的砝码时长度为0.07 m，挂0.2 kg的砝码时长度为0.09 m现在把此弹簧平放在光滑桌面上，并要沿水平方向从长度 l1=0.10 m缓慢拉长到l2=0.14 m，外力需作功多少？解：设弹簧的原长为l0，弹簧的劲度系数为k，根据胡克定律：0.1gk(0.07l0)，0.2gk(0.09l0)解得：l00.05 m，k49 N/m拉力所作的功等于弹性势能的增量：2一链条总长为l，质量为m，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一段的长度为a设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为令链条由静止开始运动，则(1)到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？(2)链条刚离开桌面时的速率是多少？23质点系质点系 N个质点组成的系统个质点组成的系统-研究对象研究对象内力内力 internal force 系统系统内部内部各质点间的相互作用力各质点间的相互作用力质点系质点系 特点：特点：成对出现；成对出现；大小相等方向相反大小相等方向相反结论：结论：质点系的内力之和质点系的内力之和为零为零质点系中的重要结论之一质点系中的重要结论之一24三、三、质点系的动能定理质点系的动能定理思考：思考：为什么为什么内力内力之和之和一定一定为零，而为零，而 内力作功内力作功之和之和不一定不一定为零呢？为零呢？251）内力也会改变系统的总动能内力也会改变系统的总动能 2）质点系质点系的三个运动定理的三个运动定理各司其职各司其职 动量定理动量定理 角动量定理角动量定理 动能定理动能定理讨论讨论灵活灵活的头脑的头脑 应应 灵活灵活地使用地使用 运动定理运动定理?263 保守保守(内内)力的功与相应的势能力的功与相应的势能 一、保守力的定义一、保守力的定义 二、势能二、势能27(1)万有引力作功万有引力作功一一 万有引力和弹性力作功的特点万有引力和弹性力作功的特点 对对 的万有引力为的万有引力为移动移动 时，时，作元功为作元功为 28m从从A到到B的过程中的过程中 作功：作功：29(2)弹性力作功弹性力作功30 xFdxdWx2x1O31 重力作功重力作功地面地面弹性力的功弹性力的功 万有引力的功万有引力的功32共同特征：共同特征：作功与相对路径无关，作功与相对路径无关，只与始末只与始末(相对相对)位置有关位置有关 具有这种特征的具有这种特征的力力（严格说是（严格说是一对力一对力）称为保守力称为保守力 33保守力（保守力（conservative force）定义有两种表述）定义有两种表述 表述一（文字叙述）：表述一（文字叙述）：作功与路径无关作功与路径无关,只与始末位置有关的力只与始末位置有关的力 称为保守力称为保守力 表述二（数学表示）表述二（数学表示）：保守力的环流为零。保守力的环流为零。描述矢量场基本性质的方程形式描述矢量场基本性质的方程形式34=0通常：通常：普遍意义：普遍意义：环流为零的力场是保守场，环流为零的力场是保守场，如静电场力的环流也是零，如静电场力的环流也是零，所以静电场也是保守场。所以静电场也是保守场。证明第二种表述：证明第二种表述：环流不为零的环流不为零的矢量场是非保矢量场是非保守场，如磁场。守场，如磁场。35二、势能二、势能1.定义定义 令令若选末态为势能零点若选末态为势能零点即即362.常见的势能函数常见的势能函数地面为势能零点地面为势能零点末态为势能零点末态为势能零点1)重力势能重力势能2)弹性势能弹性势能以弹簧原长为以弹簧原长为势能零点势能零点3)万有引力势能万有引力势能以无限远为以无限远为势能零点势能零点37 3.势能曲线势能曲线弹性弹性势能曲线势能曲线重力重力势能曲线势能曲线引力引力势能曲线势能曲线381）只有保守力才有相应的势能只有保守力才有相应的势能2）势能属于有保守力作用的体系（质点系）势能属于有保守力作用的体系（质点系）(对应一对内力作功之和对应一对内力作功之和)3）势能与参考系无关势能与参考系无关(相对位移相对位移)4）质点系的内力质点系的内力 保守内力保守内力 (作功与路径无关作功与路径无关)非保守内力非保守内力 (作功与路径有关作功与路径有关)耗散力耗散力讨论讨论394 机械能守恒定律机械能守恒定律一、质点系的功能关系一、质点系的功能关系二、机械能守恒定律二、机械能守恒定律40一、质点系的功能关系一、质点系的功能关系 （质点系动能定理的变形）（质点系动能定理的变形）质点系的动能定理质点系的动能定理机械能机械能功能关系功能关系二、二、机械能守恒定律机械能守恒定律41质点系重力势能的计算质点系重力势能的计算势能零点势能零点例：均质细棒的重力势能例：均质细棒的重力势能总长总长总质量总质量势能零点势能零点 时势能？时势能？（地面附近）（地面附近）42介绍逃逸速度与黑洞介绍逃逸速度与黑洞逃逸速度：物体脱离引力所需要的最小速率逃逸速度：物体脱离引力所需要的最小速率以脱离地球的引力为例以脱离地球的引力为例43以无限远作为势能零点以无限远作为势能零点若若黑洞黑洞引力作用下塌陷引力作用下塌陷当当m一定时一定时收缩到收缩到视界半径视界半径广义相对论广义相对论44设想设想1)把地球变成黑洞把地球变成黑洞2)把太阳变成黑洞把太阳变成黑洞3)引力理论：引力理论：转化为黑洞的只能是质转化为黑洞的只能是质量满足一定条件的恒星量满足一定条件的恒星太阳的太阳的质量质量白矮星白矮星遗憾遗憾？45 由于引力特大，由于引力特大，以至于其发出的光子及掠过其旁的任以至于其发出的光子及掠过其旁的任何物质都被吸收回去，所以看不到它何物质都被吸收回去，所以看不到它发出的光，顾名思义称其为黑洞。发出的光，顾名思义称其为黑洞。黑洞黑洞(black hole)：掉入黑洞的所有信息掉入黑洞的所有信息都丢失了，唯有质量、电荷（或磁荷）都丢失了，唯有质量、电荷（或磁荷）、角动量没有被吃掉。、角动量没有被吃掉。黑洞无毛定理：黑洞无毛定理：黑洞上黑洞上黑洞下黑洞下463-4 碰碰 撞撞一、碰撞现象一、碰撞现象 碰撞可分为两类碰撞可分为两类:一类是总动能不变的碰撞一类是总动能不变的碰撞,称为称为完全弹性碰撞完全弹性碰撞；一类是总动能改变的碰撞；一类是总动能改变的碰撞,称为称为非完全弹性碰撞非完全弹性碰撞。若两个物体碰撞之后结。若两个物体碰撞之后结合为一体了合为一体了,这种碰撞称为这种碰撞称为完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞。二、完全弹性碰撞二、完全弹性碰撞两小球质量分别为两小球质量分别为m1和和m2,碰前速度为碰前速度为 和和 ,碰后速度为碰后速度为 和和 。根据动量守恒定律得根据动量守恒定律得47根据能量守恒定律得根据能量守恒定律得若碰撞为正碰若碰撞为正碰,则有则有式除以式除以得得由由、解得解得若若则有则有（两物体速度交换）（两物体速度交换）48三、完全非弹性碰撞三、完全非弹性碰撞根据动量守恒定律得根据动量守恒定律得所以所以 例例：如图所示的装置称为冲击摆：如图所示的装置称为冲击摆,可用它来测定可用它来测定子弹的速度。质量为子弹的速度。质量为M的木块被悬挂在长度为的木块被悬挂在长度为l的细的细绳下端绳下端,一质量为一质量为m的子弹沿水平方向以速度的子弹沿水平方向以速度v射中射中木块木块,并停留在其中。木块受到冲击而向斜上方摆并停留在其中。木块受到冲击而向斜上方摆动动,当到达最高位置时当到达最高位置时,木块的水平位移为木块的水平位移为s。试确定。试确定子弹的速度。子弹的速度。49解：根据动量守恒定律得解：根据动量守恒定律得根据机械能守恒定律得根据机械能守恒定律得由图知由图知解以上三方程的联立方程组得解以上三方程的联立方程组得50 例例 2 一轻弹簧一轻弹簧,其一其一端系在铅直放置的圆环的端系在铅直放置的圆环的顶点顶点P，另一端系一质量为，另一端系一质量为m 的小球的小球,小球穿过圆环并小球穿过圆环并在环上运动在环上运动(=0)开始开始球静止于点球静止于点 A,弹簧处于自弹簧处于自然状态，其长为环半径然状态，其长为环半径R;当球运动到环的底端点当球运动到环的底端点B时，球对环没有压时，球对环没有压力求弹簧的劲度系数力求弹簧的劲度系数51 解解 以弹簧、小球和以弹簧、小球和地球为一系统地球为一系统只有保守内力做功只有保守内力做功系统系统即即又又所以所以取点取点B为重力势能零点为重力势能零点525一质量为m的子弹，水平射入悬挂着的静止砂袋中，如图所示砂袋质量为M，悬线长为l，为使砂袋能在竖直平面内完成整个圆周运动，子弹至少应以多大的速度射入？3、在光滑的水平面上，有一根原长l0=0.6 m，劲度系数k=8 N/m的弹性绳，绳的一端系着一个质量m=0.2 kg的小球B，另一端固定在水平面上的A点最初弹性绳是松弛的，小球B的位置及速度如图所示在以后的运动中当小球B的速率为v时，它与A点的距离最大，且弹性绳长l=0.8 m，求此时的速率v及初速率v0。533解：重力、支持力、绳中张力对A点的力矩之和为零，故小球对A点的角动量守恒当B与A距离最大时，B的速度应与绳垂直故有 由机械能守恒有 由式(1)得v=v0/4 代入(2)式得 54(2)物体在平衡位置上方物体在平衡位置上方5cm（即（即0.05m），此时弹簧的净伸长为），此时弹簧的净伸长为 l=x0-0.05=0.196-0.05=0.146m 弹簧对物体的拉力弹簧对物体的拉力 F=kl=2000.146=29.2N(3)5cm是振幅之半，物体从平衡位置到振幅之半所需最短时间是是振幅之半，物体从平衡位置到振幅之半所需最短时间是 例例如图，劲度系数为如图，劲度系数为k的弹簧一端固定在墙上，另一端连接一质量为的弹簧一端固定在墙上，另一端连接一质量为M的的容器，容器可在光滑水平面上运动当弹簧未变形时容器位于容器，容器可在光滑水平面上运动当弹簧未变形时容器位于O处，处，今使容器自今使容器自O点左侧点左侧l0处从静止开始运动，每经过处从静止开始运动，每经过O点一次时，从上点一次时，从上方滴管中滴入一质量为方滴管中滴入一质量为m的油滴，求：的油滴，求：(1)容器中滴入容器中滴入n滴以后，容器运动到距滴以后，容器运动到距O点的最远距离；点的最远距离；(2)容器滴入第容器滴入第(n+1)滴与第滴与第n滴的时间间隔滴的时间间隔Mxl0O55解：解：(1)容器中每滴入一油滴的前后，水平方向动量值不变，而且在容器容器中每滴入一油滴的前后，水平方向动量值不变，而且在容器回到回到O点滴入下一油滴前，点滴入下一油滴前，水平方向动量的大小与刚滴入上一油滴后水平方向动量的大小与刚滴入上一油滴后的瞬间后的相同。依此，设容器第一次过的瞬间后的相同。依此，设容器第一次过O点油滴滴入前的速度为点油滴滴入前的速度为v，刚滴入第个油滴后的速度，刚滴入第个油滴后的速度 为为v,则有则有 系统机械能守恒系统机械能守恒 由由、解出、解出(2)时间间隔时间间隔(tn+1-tn)应等于第应等于第n滴油滴入容器后振动系统周期滴油滴入容器后振动系统周期Tn的一半的一半 562019一电子和一静止着的氢原子发生对心完全弹性碰撞。已知氢一电子和一静止着的氢原子发生对心完全弹性碰撞。已知氢原子质量是电子质量的原子质量是电子质量的1840倍。求碰撞过程中传给氢原子的能量倍。求碰撞过程中传给氢原子的能量与电子原来能量的比值。与电子原来能量的比值。57解：解：由由 由由 两者相比得两者相比得 代入代入，由此由此 动量守恒和能量守恒582019当一质子通过质量较大带电荷为Ze的原子核附近时，原子核可近似视为静止质子受到原子核的排斥力的作用，它运动的轨道为双曲线，如图所示设质子与原子相距很远时速度为，沿方向的直线与原子核的垂直距离为b试求质子与原子核最接近的距离rs（提示：电荷q1，q2距为r时，带电系统的电势能为 ，式中K为常数；略去质子受到的万有引力作用）59解：以原子核为坐标原点，作用在质子上的力为有心力，故质子对解：以原子核为坐标原点，作用在质子上的力为有心力，故质子对O点的角动量守点的角动量守恒恒 式中式中v vs s是质子离原子核最近时的速度，由能量守恒有是质子离原子核最近时的速度，由能量守恒有 由式由式和和联立求解得联立求解得 60 习题习题P18 3P18 3题题 p19 4 p19 4题题 p19 5 p19 5题题P21 1-2P21 1-2题题 61 Thank you拯畏怖汾关炉烹霉躲渠早膘岸缅兰辆坐蔬光膊列板哮瞥疹傻俘源拯割宜跟三叉神经痛-治疗三叉神经痛-治疗 拯畏怖汾关炉烹霉躲渠早膘岸缅兰辆坐蔬光膊列板哮瞥疹傻俘源拯割宜跟三叉神经痛-治疗三叉神经痛-治疗