第3讲-光线传输矩阵课件

激光原理与技术激光原理与技术原理部分原理部分第第3讲讲光线传输矩阵光线传输矩阵激光原理与技术原理部分第3讲3.0 光线的传播光线的传播光线？光线？几个前提几个前提几何光学意义上的光线几何光学意义上的光线几何光学意义上的光线几何光学意义上的光线00近轴光线近似近轴光线近似近轴光线近似近轴光线近似光学元件绕光轴旋转对称光学元件绕光轴旋转对称光学元件绕光轴旋转对称光学元件绕光轴旋转对称均匀介质均匀介质均匀介质均匀介质3.0 光线的传播光线？3.0 光线的传播光线的传播坐标系及方向的规定坐标系及方向的规定坐标系及方向的规定坐标系及方向的规定光线在光轴上方，光线在光轴上方，光线在光轴上方，光线在光轴上方，r0r0；反之，；反之，；反之，；反之，r0;r0000；反之，；反之，；反之，；反之，r r r r0000，相对于凸透镜，相对于凸透镜f0，相对于凸透镜3.1 简单光学元件光线传输矩阵2.通过3.1 简单光学元件光线传输矩阵简单光学元件光线传输矩阵3.不同介质介面（平面）不同介质介面（平面）3.1 简单光学元件光线传输矩阵3.不同介质介面（平面）3.1 简单光学元件光线传输矩阵简单光学元件光线传输矩阵4.不同介质介面不同介质介面(球面球面)3.1 简单光学元件光线传输矩阵4.不同介质介面(球面)（1）R0,凹反射镜凹反射镜（2）R0,凹反射镜 一个曲率半径为R的球面反射镜对光线的3.2 复杂光学系统光线传输矩阵复杂光学系统光线传输矩阵 例：求解通过长度为例：求解通过长度为例：求解通过长度为例：求解通过长度为d d的均匀介质后，的均匀介质后，的均匀介质后，的均匀介质后，再透过一个薄透镜的光线传输情况。再透过一个薄透镜的光线传输情况。再透过一个薄透镜的光线传输情况。再透过一个薄透镜的光线传输情况。3.2 复杂光学系统光线传输矩阵例：求解通过长度为d的均匀介习题习题试推导厚透镜光线传输矩阵试推导厚透镜光线传输矩阵习题试推导厚透镜光线传输矩阵激光原理与技术激光原理与技术原理部分原理部分第第4讲讲光线稳定条件光线稳定条件光线稳定条件光线稳定条件类透镜介质中的光线方程与波动方程类透镜介质中的光线方程与波动方程类透镜介质中的光线方程与波动方程类透镜介质中的光线方程与波动方程激光原理与技术原理部分第4讲4.1 透镜波导光线稳定条件透镜波导光线稳定条件透镜波导透镜波导透镜波导透镜波导:由焦距为由焦距为由焦距为由焦距为f1f1和和和和f2f2的透镜相互间隔的透镜相互间隔的透镜相互间隔的透镜相互间隔d d周周周周期性排列而成，称为双周期透镜波导。期性排列而成，称为双周期透镜波导。期性排列而成，称为双周期透镜波导。期性排列而成，称为双周期透镜波导。f1f2SS+1MNf1d4.1 透镜波导光线稳定条件透镜波导:由焦距为f1和f2的透同理，从同理，从N面到面到S面的光线传播情况面的光线传播情况4.1 透镜波导光线稳定条件透镜波导光线稳定条件从从S面到面到N面的光线传播情况面的光线传播情况同理，从N面到S面的光线传播情况4.1 透镜波导光线稳定条件4.1 透镜波导光线稳定条件透镜波导光线稳定条件综合可得到从综合可得到从S面到面到S+1面的光线传播情况面的光线传播情况4.1 透镜波导光线稳定条件综合可得到从S面到S+1面的光线将矩阵形式的传播方程写成方程组的形式将矩阵形式的传播方程写成方程组的形式将矩阵形式的传播方程写成方程组的形式将矩阵形式的传播方程写成方程组的形式可得到递推关系可得到递推关系可得到递推关系可得到递推关系4.1 透镜波导光线稳定条件透镜波导光线稳定条件将矩阵形式的传播方程写成方程组的形式4.1 透镜波导光线稳定 该式为决定光线在双周期透镜波导内传播规律的差分方程，该式为决定光线在双周期透镜波导内传播规律的差分方程，该式为决定光线在双周期透镜波导内传播规律的差分方程，该式为决定光线在双周期透镜波导内传播规律的差分方程，等价于微分方程：等价于微分方程：等价于微分方程：等价于微分方程：该方程具有该方程具有该方程具有该方程具有 的解，用的解，用的解，用的解，用 作为试探解对差分方程进行试探，可得到：作为试探解对差分方程进行试探，可得到：作为试探解对差分方程进行试探，可得到：作为试探解对差分方程进行试探，可得到：4.1 透镜波导光线稳定条件透镜波导光线稳定条件4.1 透镜波导光线稳定条件4.1 透镜波导光线稳定条件透镜波导光线稳定条件 双周期透镜波导的光线稳定条件双周期透镜波导的光线稳定条件双周期透镜波导的光线稳定条件双周期透镜波导的光线稳定条件 当当当当为实数时，光线与光轴的距离在为实数时，光线与光轴的距离在为实数时，光线与光轴的距离在为实数时，光线与光轴的距离在r r r rmaxmaxmaxmax和和和和-r r r rmaxmaxmaxmax之间振荡；之间振荡；之间振荡；之间振荡；即光线传播被约束在透镜孔径形成的波导之中，不会发生即光线传播被约束在透镜孔径形成的波导之中，不会发生即光线传播被约束在透镜孔径形成的波导之中，不会发生即光线传播被约束在透镜孔径形成的波导之中，不会发生溢出。溢出。溢出。溢出。为实数等价于为实数等价于为实数等价于为实数等价于|b|b|b|b|11，即：，即：，即：，即：由相同焦距的薄透镜构成的周期透镜波导称为由相同焦距的薄透镜构成的周期透镜波导称为由相同焦距的薄透镜构成的周期透镜波导称为由相同焦距的薄透镜构成的周期透镜波导称为相同周期透相同周期透相同周期透相同周期透镜波导镜波导镜波导镜波导，即，即，即，即f1=f2=ff1=f2=f；相同周期透镜波导的稳定条件为：相同周期透镜波导的稳定条件为：相同周期透镜波导的稳定条件为：相同周期透镜波导的稳定条件为：4.1 透镜波导光线稳定条件双周期透镜波导的光线稳定条件4.1 球面反射镜腔光线稳定条件球面反射镜腔光线稳定条件 光线在球面反射镜之间的传播光线在球面反射镜之间的传播光线在球面反射镜之间的传播光线在球面反射镜之间的传播 根据光线传播矩阵可以写出第根据光线传播矩阵可以写出第根据光线传播矩阵可以写出第根据光线传播矩阵可以写出第2 2次次次次反射后的光线状态为：反射后的光线状态为：反射后的光线状态为：反射后的光线状态为：4.1 球面反射镜腔光线稳定条件光线在球面反射镜之间的传播4.1 球面反射镜腔光线稳定条件球面反射镜腔光线稳定条件 在腔内经过在腔内经过在腔内经过在腔内经过N N次往返之后的光线参数为：次往返之后的光线参数为：次往返之后的光线参数为：次往返之后的光线参数为：其中其中其中其中T Tn n为光线矩阵，可以按照矩阵理论求出：为光线矩阵，可以按照矩阵理论求出：为光线矩阵，可以按照矩阵理论求出：为光线矩阵，可以按照矩阵理论求出：其中：其中：其中：其中：从推导过程可以看出，近轴光线在两个反射镜间从推导过程可以看出，近轴光线在两个反射镜间从推导过程可以看出，近轴光线在两个反射镜间从推导过程可以看出，近轴光线在两个反射镜间传输的传输矩阵与光线的初始位置无关，因此可传输的传输矩阵与光线的初始位置无关，因此可传输的传输矩阵与光线的初始位置无关，因此可传输的传输矩阵与光线的初始位置无关，因此可以用传输矩阵来描述任意近轴光线的传输特性。以用传输矩阵来描述任意近轴光线的传输特性。以用传输矩阵来描述任意近轴光线的传输特性。以用传输矩阵来描述任意近轴光线的传输特性。4.1 球面反射镜腔光线稳定条件在腔内经过N次往返之后的光线4.1 球面反射镜腔光线稳定条件球面反射镜腔光线稳定条件 由前述可知一个半径为由前述可知一个半径为由前述可知一个半径为由前述可知一个半径为R R的球面反射镜等效于一个焦距为的球面反射镜等效于一个焦距为的球面反射镜等效于一个焦距为的球面反射镜等效于一个焦距为F=R/2F=R/2的透镜的透镜的透镜的透镜,则上述的两个球面反射镜可以等效为由两个则上述的两个球面反射镜可以等效为由两个则上述的两个球面反射镜可以等效为由两个则上述的两个球面反射镜可以等效为由两个焦距分别为焦距分别为焦距分别为焦距分别为R R1 1/2/2和和和和R R2 2/2/2，距离为，距离为，距离为，距离为L L的透镜构成的双周期透的透镜构成的双周期透的透镜构成的双周期透的透镜构成的双周期透镜波导，由双周期透镜波导的光线稳定性条件可以得到反镜波导，由双周期透镜波导的光线稳定性条件可以得到反镜波导，由双周期透镜波导的光线稳定性条件可以得到反镜波导，由双周期透镜波导的光线稳定性条件可以得到反射镜系统的稳定条件：射镜系统的稳定条件：射镜系统的稳定条件：射镜系统的稳定条件：4.1 球面反射镜腔光线稳定条件由前述可知一个半径为R的球面 1.1.薄透镜的聚焦机理薄透镜的聚焦机理薄透镜的聚焦机理薄透镜的聚焦机理 一单色平面波，经过薄透镜后，产生一个与离轴距离一单色平面波，经过薄透镜后，产生一个与离轴距离一单色平面波，经过薄透镜后，产生一个与离轴距离一单色平面波，经过薄透镜后，产生一个与离轴距离r r2 2成正比的相成正比的相成正比的相成正比的相位超前量，补偿了到达焦点几何路径的不同所引起的相位不同滞位超前量，补偿了到达焦点几何路径的不同所引起的相位不同滞位超前量，补偿了到达焦点几何路径的不同所引起的相位不同滞位超前量，补偿了到达焦点几何路径的不同所引起的相位不同滞后量。到达焦点时间、相位相同，实现聚焦，此时的薄透镜相当后量。到达焦点时间、相位相同，实现聚焦，此时的薄透镜相当后量。到达焦点时间、相位相同，实现聚焦，此时的薄透镜相当后量。到达焦点时间、相位相同，实现聚焦，此时的薄透镜相当于一个平面的相位变换器。于一个平面的相位变换器。于一个平面的相位变换器。于一个平面的相位变换器。离轴距离为离轴距离为离轴距离为离轴距离为r r的相位提前量为的相位提前量为的相位提前量为的相位提前量为 经过透镜后的光场经过透镜后的光场经过透镜后的光场经过透镜后的光场4.2 类透镜介质类透镜介质1.薄透镜的聚焦机理 4.2 类透镜介质4.2 类透镜介质类透镜介质 2.2.类透镜介质类透镜介质类透镜介质类透镜介质 折射率满足折射率满足折射率满足折射率满足 的介质称为类透镜介质。的介质称为类透镜介质。的介质称为类透镜介质。的介质称为类透镜介质。其中其中其中其中 0 0为介质轴线上的折射率；为介质轴线上的折射率；为介质轴线上的折射率；为介质轴线上的折射率；k k0 0是轴线上的波数；是轴线上的波数；是轴线上的波数；是轴线上的波数；k k2 2是与介质、工作状是与介质、工作状是与介质、工作状是与介质、工作状态以及外界泵浦能量有关的常数。态以及外界泵浦能量有关的常数。态以及外界泵浦能量有关的常数。态以及外界泵浦能量有关的常数。在在在在NdNd：YAGYAG固体激光器中，当激光其处于运行状态时，由于发热造成工固体激光器中，当激光其处于运行状态时，由于发热造成工固体激光器中，当激光其处于运行状态时，由于发热造成工固体激光器中，当激光其处于运行状态时，由于发热造成工作物质内部沿径向产生温度分布：作物质内部沿径向产生温度分布：作物质内部沿径向产生温度分布：作物质内部沿径向产生温度分布：在实验上和理论上都证实了工作物质的在实验上和理论上都证实了工作物质的在实验上和理论上都证实了工作物质的在实验上和理论上都证实了工作物质的折射率随温度发生变化：折射率随温度发生变化：折射率随温度发生变化：折射率随温度发生变化：可见工作状态下的可见工作状态下的可见工作状态下的可见工作状态下的NdNd：YAGYAG工作物质是一种二次折射率介质。工作物质是一种二次折射率介质。工作物质是一种二次折射率介质。工作物质是一种二次折射率介质。4.2 类透镜介质2.类透镜介质 3.3.光线在均匀和非均匀各向同性介质中的传播光线在均匀和非均匀各向同性介质中的传播光线在均匀和非均匀各向同性介质中的传播光线在均匀和非均匀各向同性介质中的传播 程函程函程函程函(eikonal)(eikonal)方程：方程：方程：方程：光线的传播方向，就是程函光线的传播方向，就是程函光线的传播方向，就是程函光线的传播方向，就是程函 变化最快的方向变化最快的方向变化最快的方向变化最快的方向 在讨论光线和几何光学的强度时，可以推导出光线的微分方程（光线方在讨论光线和几何光学的强度时，可以推导出光线的微分方程（光线方在讨论光线和几何光学的强度时，可以推导出光线的微分方程（光线方在讨论光线和几何光学的强度时，可以推导出光线的微分方程（光线方程），其中程），其中程），其中程），其中 为光线上某点到另外一点的长度，而为光线上某点到另外一点的长度，而为光线上某点到另外一点的长度，而为光线上某点到另外一点的长度，而 是该点的位置矢量是该点的位置矢量是该点的位置矢量是该点的位置矢量 ：（1 1）均匀介质）均匀介质）均匀介质）均匀介质 解方程得：解方程得：上式代表一个矢量直线方程，即直线沿着上式代表一个矢量直线方程，即直线沿着 的方向并的方向并通过通过 点，因此，在均匀通行介质中，光线是直点，因此，在均匀通行介质中，光线是直线传播的线传播的4.3 光线的传播：光线方程光线的传播：光线方程3.光线在均匀和非均匀各向同性介质中的传播4.3 光线的传4.3 光线的传播：光线方程光线的传播：光线方程（2 2）类透镜介质）类透镜介质）类透镜介质）类透镜介质 当考虑近轴光线近似当考虑近轴光线近似当考虑近轴光线近似当考虑近轴光线近似 光线方程可以写成：光线方程可以写成：光线方程可以写成：光线方程可以写成：在二次折射率介质中，由于在二次折射率介质中，由于在二次折射率介质中，由于在二次折射率介质中，由于(x,y)(x,y)没有轴向分布，只有径向分布，因此没有轴向分布，只有径向分布，因此没有轴向分布，只有径向分布，因此没有轴向分布，只有径向分布，因此 ，而由，而由，而由，而由类透镜介质的折射率表达式类透镜介质的折射率表达式类透镜介质的折射率表达式类透镜介质的折射率表达式可得到：可得到：可得到：可得到：x,yx,y都是独立变量，因此有：都是独立变量，因此有：都是独立变量，因此有：都是独立变量，因此有：为了简化讨论，取为了简化讨论，取为了简化讨论，取为了简化讨论，取y-zy-z平面上的光线平面上的光线平面上的光线平面上的光线讨论，并以讨论，并以讨论，并以讨论，并以r r代替代替代替代替y y，得到近轴光线的，得到近轴光线的，得到近轴光线的，得到近轴光线的微分方程微分方程微分方程微分方程4.3 光线的传播：光线方程（2）类透镜介质（1 1）k k2 200微分方程的解为微分方程的解为微分方程的解为微分方程的解为 若考虑光线入射初始条件若考虑光线入射初始条件若考虑光线入射初始条件若考虑光线入射初始条件为为为为 ，则可以求出，则可以求出，则可以求出，则可以求出 ，因此微分方程的解可以写成：，因此微分方程的解可以写成：，因此微分方程的解可以写成：，因此微分方程的解可以写成：4.3 光线的传播：光线方程光线的传播：光线方程如右图的曲线可以代表在类透镜如右图的曲线可以代表在类透镜介质中传播的光线，只是在幅度介质中传播的光线，只是在幅度上作了夸大。从该方程可以得出上作了夸大。从该方程可以得出结论：当结论：当k20时，类透镜介质对时，类透镜介质对光线起汇聚作用，相当于正透镜。光线起汇聚作用，相当于正透镜。（1）k204.3 光线的传播：光线方程如右图的曲线可以代4.3 光线的传播：光线方程光线的传播：光线方程(2)k20(2)k20当当当当k20k20时，光线微分方程的解可以表示为：时，光线微分方程的解可以表示为：时，光线微分方程的解可以表示为：时，光线微分方程的解可以表示为：从方程可以得出结论，随着从方程可以得出结论，随着从方程可以得出结论，随着从方程可以得出结论，随着z z的不断增加，的不断增加，的不断增加，的不断增加，r(z)r(z)不断增不断增不断增不断增大，当大，当大，当大，当 ，因此，因此，因此，因此k20k20的类透镜介质对的类透镜介质对的类透镜介质对的类透镜介质对光线具有发散性，类似于负透镜的作用。光线具有发散性，类似于负透镜的作用。光线具有发散性，类似于负透镜的作用。光线具有发散性，类似于负透镜的作用。4.3 光线的传播：光线方程(2)k20练习：证明练习：证明2-1-39式式练习：证明2-1-39式4.4 光束的传播：波动方程光束的传播：波动方程 类透镜介质中的波动方程类透镜介质中的波动方程类透镜介质中的波动方程类透镜介质中的波动方程 在各向同性、无电荷分布的介质中，在各向同性、无电荷分布的介质中，在各向同性、无电荷分布的介质中，在各向同性、无电荷分布的介质中，MaxwellMaxwell方程组的微分形式为：方程组的微分形式为：方程组的微分形式为：方程组的微分形式为：对对2式求旋度：式求旋度：且由且由3式：式：在各向同性介质中有介电常数不随位置而发生变化，即在各向同性介质中有介电常数不随位置而发生变化，即综合上三式可以得到综合上三式可以得到假设折射率假设折射率n的空间变化很小，即的空间变化很小，即n(r)满足慢变近似，此时可以将电磁场表示为：满足慢变近似，此时可以将电磁场表示为：代入代入(4)式式波动方程波动方程也称亥姆也称亥姆霍兹方程霍兹方程4.4 光束的传播：波动方程类透镜介质中的波动方程对2式求旋4.4 光束的传播：波动方程光束的传播：波动方程 当考虑到介质中存在增益和损耗的情况时，上式最后一项可以表示为：当考虑到介质中存在增益和损耗的情况时，上式最后一项可以表示为：当考虑到介质中存在增益和损耗的情况时，上式最后一项可以表示为：当考虑到介质中存在增益和损耗的情况时，上式最后一项可以表示为：当当 代表吸收介质，代表吸收介质，代表增益介质代表增益介质上式表示复数波数，我们考虑波数表示形式为上式表示复数波数，我们考虑波数表示形式为其中其中k0、k2都可以是复数，这个表达式可以理解为波数与位置都可以是复数，这个表达式可以理解为波数与位置r和介质的特和介质的特性性k2都有关系。由波数的定义：都有关系。由波数的定义：可以得到可以得到n(r)的表达式：的表达式：的情况的情况该表达式就是类透镜介质该表达式就是类透镜介质的折射率表达式，证明我的折射率表达式，证明我们考虑的们考虑的k(r)表达式代表表达式代表的正是在类透镜介质中的的正是在类透镜介质中的情况。情况。级数级数展开展开4.4 光束的传播：波动方程当考虑到介质中存在增益和损耗的情4.4 光束的传播：波动方程光束的传播：波动方程 下面我们研究类透镜介质中波动方程的解，考虑在介质中下面我们研究类透镜介质中波动方程的解，考虑在介质中下面我们研究类透镜介质中波动方程的解，考虑在介质中下面我们研究类透镜介质中波动方程的解，考虑在介质中传播的是一种近似平面波，即能量集中在光轴附近，沿光传播的是一种近似平面波，即能量集中在光轴附近，沿光传播的是一种近似平面波，即能量集中在光轴附近，沿光传播的是一种近似平面波，即能量集中在光轴附近，沿光轴方向传播。可以假设光场的横向分布只与轴方向传播。可以假设光场的横向分布只与轴方向传播。可以假设光场的横向分布只与轴方向传播。可以假设光场的横向分布只与 有关，因此波动方程中的算符有关，因此波动方程中的算符有关，因此波动方程中的算符有关，因此波动方程中的算符 可以表示为：可以表示为：可以表示为：可以表示为：我们假设我们假设我们假设我们假设 ，其中，其中，其中，其中a a为集中大部分能量的横截面半为集中大部分能量的横截面半为集中大部分能量的横截面半为集中大部分能量的横截面半径，这一假设说明衍射效应很弱，因此可以将推导局限于径，这一假设说明衍射效应很弱，因此可以将推导局限于径，这一假设说明衍射效应很弱，因此可以将推导局限于径，这一假设说明衍射效应很弱，因此可以将推导局限于单一的横向场分量，其单色平面波的表达式为：单一的横向场分量，其单色平面波的表达式为：单一的横向场分量，其单色平面波的表达式为：单一的横向场分量，其单色平面波的表达式为：其中其中其中其中e e-ikz-ikz表示波数为表示波数为表示波数为表示波数为k k的严格平面波；的严格平面波；的严格平面波；的严格平面波；4.4 光束的传播：波动方程下面我们研究类透镜介质中波动方程4.4 光束的传播：波动方程光束的传播：波动方程为了研究修正平面波，我们引入了修正因子为了研究修正平面波，我们引入了修正因子为了研究修正平面波，我们引入了修正因子为了研究修正平面波，我们引入了修正因子 ，它包含了相位和振幅修正两部分。，它包含了相位和振幅修正两部分。，它包含了相位和振幅修正两部分。，它包含了相位和振幅修正两部分。该修正因子满足慢变近似：该修正因子满足慢变近似：该修正因子满足慢变近似：该修正因子满足慢变近似：将这些相关假设带入波动方程可以得到：将这些相关假设带入波动方程可以得到：将这些相关假设带入波动方程可以得到：将这些相关假设带入波动方程可以得到：令修正因子取以下形式：令修正因子取以下形式：令修正因子取以下形式：令修正因子取以下形式：为什么取这种形式？这是对波动方程为什么取这种形式？这是对波动方程进行长期研究得到的解，既满足方程，进行长期研究得到的解，既满足方程，又有明确的、能够被实验证实的物理又有明确的、能够被实验证实的物理意义。意义。4.4 光束的传播：波动方程为了研究修正平面波，我们引入了修4.4 光束的传播：波动方程光束的传播：波动方程 通过将修正因子带入被假设修正过的波动方程，可以得到：通过将修正因子带入被假设修正过的波动方程，可以得到：通过将修正因子带入被假设修正过的波动方程，可以得到：通过将修正因子带入被假设修正过的波动方程，可以得到：该方程对不同该方程对不同该方程对不同该方程对不同r r都成立，因此都成立，因此都成立，因此都成立，因此r r的各次项系数应该为零，整理得到：的各次项系数应该为零，整理得到：的各次项系数应该为零，整理得到：的各次项系数应该为零，整理得到：该式称为类透镜介质中的简化的波动方程。该式称为类透镜介质中的简化的波动方程。该式称为类透镜介质中的简化的波动方程。该式称为类透镜介质中的简化的波动方程。4.4 光束的传播：波动方程通过将修正因子带入被假设修正过的