线性空间及其子空间课件

应用数学基础 主讲人 谢 政工程硕士研究生课程7/12/20241应用数学基础 主讲人 谢 政工程硕士研究生课程8/1第第 1 章章 线性空间线性空间1.1 线性空间及其子空间线性空间及其子空间 1.2 线性算子线性算子 1.3 赋范线性空间赋范线性空间 1.4 内积空间内积空间 7/12/20242第 1 章 线性空间1.1 线性空间及其子空间 1.2 1.1 线性空间及其子空间线性空间及其子空间 1.1.1 集合集合 1.1.2 线性空间的定义与例子线性空间的定义与例子 1.1.3 线性空间的子空间线性空间的子空间 1.1.4 线性空间的基和维数线性空间的基和维数 7/12/202431.1 线性空间及其子空间 1.1.1 集合 1.1.1.1.1 集合集合 集合集合 由具有某种性质所确定的事物的全体称为集合由具有某种性质所确定的事物的全体称为集合.常用大写字母表示常用大写字母表示,如如 A,B,C 等等元素元素 集合中的个体事物称为该集合的元素集合中的个体事物称为该集合的元素.常用小写字母表示常用小写字母表示,如如 a,b,c 等等集合与元素的关系集合与元素的关系:集合的表示法集合的表示法把一个集合的所有元素都列举出来把一个集合的所有元素都列举出来,如如 (1)列举法列举法;(2)描述描述法法把一个集合的元素所具有的特征性质表示出来把一个集合的元素所具有的特征性质表示出来,如如 7/12/202441.1.1 集合 集合 由具有某种性质所确定的事1.1.1 集合集合 几种数集几种数集 表示自然数的集合表示自然数的集合 表示整数的集合表示整数的集合 表示有理数的集合表示有理数的集合 表示实数的集合表示实数的集合 表示复数的集合表示复数的集合 7/12/202451.1.1 集合 几种数集 表示自然数的集合 表示整数的1.1.1 集合集合 几个符号几个符号 表示表示“蕴涵蕴涵”表示表示“当且仅当当且仅当”表示表示“对任意的对任意的”或或“对一切的对一切的”表示表示“存在一个存在一个”或或“至少有一个至少有一个”s.t.表示表示“使得使得”或或“满足满足”subject to Exist Any 7/12/202461.1.1 集合 几个符号 表示“蕴涵”表示“当且仅当1.1.1 集合集合 集合之间的关系集合之间的关系若若 ,称称 A 是是 B 的的子子集集,若若 且且 ,称称 A 与与 B 相等相等,记为记为若若 且且 ,称称 A 是是 B 的的真子集真子集,记为记为记为记为也称也称 A 包含于包含于 B(或或 B 包含包含 A),7/12/202471.1.1 集合 集合之间的关系若 1.1.1 集合集合 由无限个元素组成的集合称为由无限个元素组成的集合称为无限集无限集.由有限个元素组成的集合称为由有限个元素组成的集合称为有限集有限集.用记号用记号|A|表示有限集表示有限集 A 中的元素的个数中的元素的个数,称称|A|为为集合集合 A 的的基数基数.不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集,记作记作规定空集是一切集合的子集规定空集是一切集合的子集.7/12/202481.1.1 集合 由无限个元素组成的集合称为无限集.由有1.1.1 集合集合 交交并并差差定义定义1.1 设设 A,B 是两个集合是两个集合,则定义它们的则定义它们的 集合之间的运算集合之间的运算7/12/202491.1.1 集合 交并差定义1.1 设 A,B 是1.1.1 集合集合(3)结合律结合律 (4)分配律分配律 定理定理1.1 设设 A,B,C 均为集合均为集合,则有则有(1)幂等性幂等性 (2)交换律交换律 7/12/2024101.1.1 集合(3)结合律 (4)分配律 定1.1.1 集合集合 1.n 个集合个集合 的的直积直积定义为定义为1.例例如如这里这里 n 和和 n 中的元素用中的元素用列向量列向量的形式表示的形式表示.定义定义1.2(Descartes 乘积乘积、直积直积)当集合当集合A 和和B 有一个为空集时有一个为空集时,规定规定 7/12/2024111.1.1 集合 n 个集合 的直积定义为例如这里 1.1.1 集合集合 数域数域定义定义1.3 设设 是含是含1的数集的数集,如果如果 对于四则运算对于四则运算是封闭的是封闭的,即即则称则称 是一个是一个数域数域.,是数域是数域,不是数域不是数域.的子集称为的子集称为数集数集.7/12/2024121.1.1 集合 数域定义1.3 设 是含1的数集,1.1.1 集合集合 实数集的确界实数集的确界定义定义1.4 设设(1)若存若存在在满足满足(a)有有(b)则称则称 是是 A 的的上确界上确界,记为记为 .superemum7/12/2024131.1.1 集合 实数集的确界定义1.4 设(1)1.1.1 集合集合 当当 和和 存在时存在时,和和 必定是惟一的必定是惟一的.(2)若存若存在在满足满足(a)有有(b)则称则称 是是 A 的的下确界下确界,记为记为 .infimum7/12/2024141.1.1 集合 当 和 1.1.1 集合集合 如果非空实数集如果非空实数集 A 有最大有最大(小小)值值,那么它就是那么它就是 A 的的上上(下下)确界确界.反之不真反之不真.确界存在公理确界存在公理 任何有上任何有上(下下)界的非空实数集必有上界的非空实数集必有上(下下)确界确界.非空实数集非空实数集 A 的的最大值最大值(或或最小值最小值)是指是指 A 中所有实数中所有实数的最大者的最大者(或最小者或最小者),记为记为 (或或 ).).maximumminimum7/12/2024151.1.1 集合 如果非空实数集 A 有最大(小)值,1.1.2 线性空间的定义及例子线性空间的定义及例子 定义定义1.5 设设 X 是是非空非空集合集合,是数域是数域(=或或).在在 X 上定义上定义加法加法“+”:在在 和和 X 上定义上定义数乘数乘“”(算式中的算式中的“”可省略可省略):并且满足并且满足 交换律交换律 结合律结合律7/12/2024161.1.2 线性空间的定义及例子 定义1.5 设 X 1.1.2 线性空间的定义及例子线性空间的定义及例子 零元素零元素负元素负元素 结合律结合律 分配律分配律 分配律分配律则称则称 X 是数域是数域 上的上的线性空间线性空间.7/12/2024171.1.2 线性空间的定义及例子 零元素负元素 结合律 分1.1.2 线性空间的定义及例子线性空间的定义及例子 上述加法运算和数乘运算统称为上述加法运算和数乘运算统称为线性运算线性运算 当当 时时,称称X 是为是为实线性空间实线性空间;当当 时时,称称X 是为是为复线性空间复线性空间.在一个线性空间中在一个线性空间中,零元素零元素 0 是惟一的是惟一的;任何一个元素任何一个元素 x 的负元素也是惟一的的负元素也是惟一的,记之为记之为x.7/12/2024181.1.2 线性空间的定义及例子 上述加法运算和数乘运算统1.1.2 线性空间的定义及例子线性空间的定义及例子 例例1.1定义加法和数乘定义加法和数乘:则则 n 是数域是数域 上的线性空间上的线性空间.按照同样的加法和数乘按照同样的加法和数乘,n 是数域是数域 上的线性空间上的线性空间.线性空间线性空间 n 和和 n 称为称为向量空间向量空间.7/12/2024191.1.2 线性空间的定义及例子 例1.1定义加法和数乘:1.1.2 线性空间的定义及例子线性空间的定义及例子 例例1.2 设设 是全体是全体 实矩阵的集合实矩阵的集合,在在 上定义加法和数乘上定义加法和数乘:7/12/2024201.1.2 线性空间的定义及例子 例1.2 设 1.1.2 线性空间的定义及例子线性空间的定义及例子 则则 是数域是数域 上的线性空间上的线性空间.同样可以定义全体同样可以定义全体 复矩阵的集合复矩阵的集合 上定义上定义矩矩 阵的加法和数乘阵的加法和数乘,使使 是数域是数域 上的线性空间上的线性空间.线性空间线性空间 和和 称为称为矩阵空间矩阵空间.线性空间线性空间 和和 称为称为方阵空间方阵空间.7/12/2024211.1.2 线性空间的定义及例子 则 是数域1.1.2 线性空间的定义及例子线性空间的定义及例子 例例1.3 设设Ca,b是闭区间是闭区间a,b上所有连续实函数上所有连续实函数(包包括零函数括零函数)的集合的集合,函数的加函数的加法和数与函数的乘法为法和数与函数的乘法为则则Ca,b是数域是数域 上的线性空间上的线性空间.7/12/2024221.1.2 线性空间的定义及例子 例1.3 设Ca,1.1.2 线性空间的定义及例子线性空间的定义及例子 闭区间闭区间a,b 上全体多项式的集合上全体多项式的集合P a,b,所有所有 n 次多项式的集合次多项式的集合,按照按照 Ca,b上的线性运算上的线性运算不构成线性空间不构成线性空间.注注以及以及a,b 按照按照 Ca,b上的线性运算分别成为数域上的线性运算分别成为数域 上的线性空间上的线性空间.上所有次数不超过上所有次数不超过 n 的多项式的集合的多项式的集合Pn a,b,7/12/2024231.1.2 线性空间的定义及例子 闭区间a,b 上全1.1.3 线性空间的子空间线性空间的子空间定义定义1.6 设设 X 是数域是数域 上的线性空间上的线性空间,Y 是是 X 的一个的一个非空子集非空子集,如果如果 Y 对对 X 的线性运算是封闭的的线性运算是封闭的,即即则称则称 Y 是是 X 的的线性子空间线性子空间,简称为简称为 X 的的子空间子空间.1.在线性空间在线性空间 X 的线性运算下的线性运算下,Y 本身是线性空间本身是线性空间.2.2.仅含零元素的集合仅含零元素的集合0 以及以及 X 本身都是本身都是 X 的子空的子空间间.3.Pa,b 和和Pna,b 都是线性空间都是线性空间Ca,b 的子空间的子空间.注注7/12/2024241.1.3 线性空间的子空间定义1.6 设 X 是数域1.1.3 线性空间的子空间线性空间的子空间例例1.4 在线性空间在线性空间 3 中中,过原点过原点(0,0,0)的平的平面面是是 3 的一个线性子空间的一个线性子空间,其中其中a,b,c 是三个给定实数是三个给定实数.7/12/2024251.1.3 线性空间的子空间例1.4 在线性空间 31.1.3 线性空间的子空间线性空间的子空间例例1.5 设设 A mn,b m,b 0,则齐次线性方程组则齐次线性方程组Ax 0 的解的集合的解的集合 是是 n 的一个线性子空间的一个线性子空间.非齐次线性方程组非齐次线性方程组 Ax b 的解的集合的解的集合 是是 n 的一个子集的一个子集,但但不是不是 n 的子空间的子空间.7/12/2024261.1.3 线性空间的子空间例1.5 设 A m1.1.3 线性空间的子空间线性空间的子空间定义定义1.7 设设 X 是数域是数域 上的线性空间上的线性空间,称称 X 中的元素中的元素(1.1)是是 x1,x2,xn 的一个的一个线性组合线性组合;如果如果 ,且且则称则称(1.1)式中式中 x 是是 x1,x2,xn 的的凸组合凸组合;则称则称(1.1)式中式中 x 是是 x1,x2,xn 的的严格凸组合严格凸组合.如果如果 ,且且7/12/2024271.1.3 线性空间的子空间定义1.7 设 X 是数域1.1.3 线性空间的子空间线性空间的子空间例例1.6 设设 X 是是 上的线性空间上的线性空间,M 是是 X 的非空子集的非空子集,令令即即 spanM 是由是由M 中任何中任何有限个有限个元素的任意线性组合的元素的任意线性组合的全体组成的集合全体组成的集合,则则 spanM 是包含是包含 M 的最小线性空间的最小线性空间,亦即是亦即是 X 中一切包含中一切包含 M 的子空间的交的子空间的交,称称 spanM 为为由由M 生成的子空间生成的子空间.7/12/2024281.1.3 线性空间的子空间例1.6 设 X 是 上1.1.3 线性空间的子空间线性空间的子空间例例1.7 考虑向量空间考虑向量空间 n 中的向量组中的向量组(1.2)则则 n 中的任何一个向量中的任何一个向量 x (x1,x2,xn)T 都可由向量都可由向量组组 e1,e2,en 线性表示线性表示,即即7/12/2024291.1.3 线性空间的子空间例1.7 考虑向量空间 n1.1.3 线性空间的子空间线性空间的子空间并且并且 n spane1,e2,en.同样复向量空间同样复向量空间 n 中的任何一个向量都可由向量组中的任何一个向量都可由向量组e1,e2,en 线性表示线性表示,且且 n spane1,e2,en.定义定义1.8 设设 X 是是实实线性空间线性空间,S X,若若x1,x2 S,有有则称则称 S 为为 X 中的中的凸集凸集.7/12/2024301.1.3 线性空间的子空间并且 1.1.3 线性空间的子空间线性空间的子空间连接其中任意两点间的线段上的所有点都属于此集合连接其中任意两点间的线段上的所有点都属于此集合.凸集的几何特征凸集的几何特征(a)凸集x1(b)非凸集x2x1实线性空间实线性空间 X 的每一个子空间都是的每一个子空间都是 X 的凸集的凸集2 中的圆或凸多边形所围成的区域都是中的圆或凸多边形所围成的区域都是 2 的凸集的凸集 7/12/2024311.1.3 线性空间的子空间连接其中任意两点间的线段上的所1.1.4 线性空间的基和维数线性空间的基和维数定义定义1.9 设设 X 是数域是数域 上的线性空间上的线性空间,M 是是 X 的的非空非空 子集子集,当当M x1,x2,xr 为有限集时为有限集时,如果如果 则称则称 M 线性无关线性无关;当当M 为无限集时为无限集时,如果如果 M 的每一个的每一个非空有限子集都是线性无关的非空有限子集都是线性无关的,则称则称M 是是线性无关的线性无关的.如果集合如果集合 M 不是线性无关的不是线性无关的,则称则称 M 是是线性相关的线性相关的.7/12/2024321.1.4 线性空间的基和维数定义1.9 设 X 是1.1.4 线性空间的基和维数线性空间的基和维数无关集无关集,定义定义1.10 设设 X 是数域是数域 上的线性空间上的线性空间,B X 是线性是线性如果如果 spanB X,即即 X 的每一个元素都可以的每一个元素都可以由由B 中中有限个有限个元素线性表示元素线性表示,则称则称 B 是是 X 的一个的一个基基.当基当基 B 为有限集时为有限集时,称称 X 为为有限维有限维线性空间线性空间,称称|B|为为线性空间线性空间 X 的的维数维数,记为记为 dim X|B|;否则称否则称 X 为为无无限维限维线性空间线性空间.7/12/2024331.1.4 线性空间的基和维数无关集,定义1.10 1.1.4 线性空间的基和维数线性空间的基和维数2.有限维线性空间有限维线性空间 X 的基是不惟一的的基是不惟一的,但是但是 X 的每一的每一个基所含元素的个数必定是相同的个基所含元素的个数必定是相同的.3.向量集向量集e1,e2,en是是 n(或或n)的一个基的一个基,从而从而 dim n dim n n.向量集向量集也是也是 n(或或 n)的一个基的一个基.注注1.因线性空间因线性空间0 没有基没有基,故故规定规定 dim0 0.7/12/2024341.1.4 线性空间的基和维数 有限维线性空间 X 的基是1.1.4 线性空间的基和维数线性空间的基和维数例例1.8 考虑函数考虑函数则则(1)是是Ca,b中一个线性无关集中一个线性无关集;(4)B 不是不是Ca,b的基的基.(2)B 是是 Pa,b 的一个基的一个基;是是Pna,b 的一个基的一个基,故故(3)7/12/2024351.1.4 线性空间的基和维数例1.8 考虑函数则(11.1.4 线性空间的基和维数线性空间的基和维数例例1.9 mn 和和 mn 都是都是 mn 维线性空维线性空间间.第第 i 行第行第 j 列元素为列元素为 1 其余元素全为其余元素全为 0 的矩阵的矩阵,则则是是 mn 和和 mn 的一个基的一个基,且且 dim mn dim mn mn.用用Eij 表示表示7/12/2024361.1.4 线性空间的基和维数例1.9 mn 和