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巴甫洛维奇巴甫洛维奇契诃夫是契诃夫是19世纪末世纪末俄国现实主义代表作家之一，是杰出俄国现实主义代表作家之一，是杰出的短篇小说家与戏剧家他在上大学的短篇小说家与戏剧家他在上大学期间，就为当时的幽默杂志撰写短篇期间，就为当时的幽默杂志撰写短篇小说契诃夫的作品对俄国文学和戏小说契诃夫的作品对俄国文学和戏剧的发展有重大影响他对数学也很剧的发展有重大影响他对数学也很感兴趣，在短篇小说家庭教师中感兴趣，在短篇小说家庭教师中就有下面一道趣题：就有下面一道趣题：新课导入新课导入 巴甫洛维奇契诃夫是19世纪末俄国现实主义1某商人花某商人花540卢布买了黑布料和蓝布料卢布买了黑布料和蓝布料共共138俄尺，已知蓝布料每俄尺俄尺，已知蓝布料每俄尺5卢布，黑布卢布，黑布料每俄尺料每俄尺3卢布请问商人买来黑布料、蓝卢布请问商人买来黑布料、蓝布料各有几俄尺？布料各有几俄尺？如何解决这个问题呢？如何解决这个问题呢？（卢布和俄尺分别是俄罗斯的货币单（卢布和俄尺分别是俄罗斯的货币单位和长度单位）位和长度单位）某商人花540卢布买了黑布料和蓝布料共138俄尺，已知蓝2 解：设买了蓝布料解：设买了蓝布料x俄尺，那么买黑布俄尺，那么买黑布料（料（138x）俄尺；因而买蓝布料花了）俄尺；因而买蓝布料花了3x卢卢布，买黑布料花了布，买黑布料花了5（138x）卢布，根据）卢布，根据买两种布料共用买两种布料共用540卢布，列得方程卢布，列得方程3x5（138x）=540怎样使这个方程转化为x=a的形式？解：设买了蓝布料x俄尺，那么买黑布33.3解一元一次方程（二）4知识与能力知识与能力 1掌握解一元一次方程中掌握解一元一次方程中“去分母去分母”、“去括号去括号”的方法，并能解此类型的方程的方法，并能解此类型的方程2了解一元一次方程解法的一般步骤了解一元一次方程解法的一般步骤教学目标教学目标知识与能力教学目标5过程与方法过程与方法 1通过运用算术和列方程两种方法解决通过运用算术和列方程两种方法解决实际问题的过程，体会到列方程解应用题更为实际问题的过程，体会到列方程解应用题更为简捷明了；掌握去括号解方程的方法，会用去简捷明了；掌握去括号解方程的方法，会用去分母的方法解一元一次方程分母的方法解一元一次方程2培养分析问题，解决问题的能力培养分析问题，解决问题的能力教学目标教学目标过程与方法教学目标6情感态度与价值观情感态度与价值观通过列方程解决实际问题，感受数学的应通过列方程解决实际问题，感受数学的应用价值，激发学习数学的信心用价值，激发学习数学的信心教学目标教学目标情感态度与价值观教学目标7重点重点 解含有括号、分母的一元一次方程的解法解含有括号、分母的一元一次方程的解法难点难点 1弄清列方程解应用题的思想方法；弄清列方程解应用题的思想方法；2会用去括号、去分母解一元一次方程会用去括号、去分母解一元一次方程教学重难点教学重难点重点 教学重难点8化简下列各式：化简下列各式：（1）3a2b（6a4b）（2）（）（3a2b）3（ab）（3）5a4b（3ab）9a2bb2a3b想一想去括想一想去括号时符号变号时符号变化规律化规律化简下列各式：（1）3a2b（6a4b）（2）（3a9去括号法则去括号法则1括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同2括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反知识回顾去括号法则知识回顾10问题：王大伯承包了问题：王大伯承包了25亩土地，今年春季亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了44000元，其中种茄子每亩用了元，其中种茄子每亩用了1700元，种西红柿元，种西红柿每亩用了每亩用了1800元问两蔬菜各种了多少亩？元问两蔬菜各种了多少亩？分析：设王大伯共种了分析：设王大伯共种了x亩茄子，则他种亩茄子，则他种西红柿西红柿_亩种茄子每亩用了亩种茄子每亩用了1700元那么种茄子一共用去了元那么种茄子一共用去了_元；元；种种西红柿每亩用了西红柿每亩用了1800元，则他种西红柿共用元，则他种西红柿共用去了去了_元根据王大伯种这两元根据王大伯种这两种蔬菜共用去了种蔬菜共用去了44000元，可列方程元，可列方程（25x）1700 x1800（25x）1700 x1800（25x）44000怎样解这怎样解这个方程？个方程？问题：王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄11解这个方程：解这个方程：3x5（138x）=5403x6905x5403x5x5406902x150 x75解：解：去括号去括号移项移项合并同类项合并同类项系数化为系数化为1去括号法则去括号法则由上可知，顾客由上可知，顾客买蓝布料买蓝布料75俄尺所俄尺所以买黑布料：以买黑布料：1387563（俄尺）（俄尺）解这个方程：3x5（138x）=5403x690121700 x1800（25x）44000 x10100 x10001700 x450001800 x440001700 x1800 x4400045000去括号去括号移项移项合并同类项合并同类项系数化为系数化为1去括号是解去括号是解方程时常用方程时常用的变形的变形解：解：1 700 x 1 800（25x）44 000 x13由上可知，种茄子由上可知，种茄子10亩亩所以种西红柿：所以种西红柿：251015（亩）（亩）答：种茄子答：种茄子10亩，种西红柿亩，种西红柿15亩亩由上可知，种茄子10亩14 例例1解方程解方程 （1 1）x x5 5（2x2x1 1）=3=32 2（x x5）解：去括号，得解：去括号，得x10 x532x10移项，得移项，得x10 x2x3105合并同类项，得合并同类项，得9x18系数化为系数化为1,得得x2 例1 解方程 解：去括号，得15（2）4x3（15x）6x7（11x）解：去括号，得解：去括号，得4x453x6x777x移项，得移项，得4x3x6x7x7745合并同类项，得合并同类项，得6x32系数化成系数化成1，得，得（2）4x3（15x）6x7（11x）解：去括号16 讨论：解一元一次方程的讨论：解一元一次方程的步骤是什么步骤是什么？（1）去括号（2）移项（3）合并同类项（4）系数化成 讨论：解一元一次方程的步骤是什么？（1）去括号17（1）3x5（x3）=9（x+4）（2）6x2（3x5）10（3）2（x5）=3（x5）6解下列方程解下列方程x10 x14练一练练一练（1）3x5（x3）=9（x+4）（2）6x18 1某校准备将某校准备将2000元奖金全部发给元奖金全部发给20名三好名三好生，其中市级三好生每人得奖金生，其中市级三好生每人得奖金200元，校级三元，校级三好生每人得奖金好生每人得奖金50元，请问全校市级三好生、校元，请问全校市级三好生、校级三好生各有多少人？级三好生各有多少人？解：高全校市级三好生解：高全校市级三好生x人，列方程人，列方程200 x50（20 x）2000解，得解，得x5所以校级三好生：所以校级三好生：20 x15（人）（人）答：市级三好生答：市级三好生5人；校级三好生人；校级三好生15人人练一练练一练 1某校准备将2000元奖金全部发给20名三好生，19 2一个笼中装有鸡、兔若干只，从上面一个笼中装有鸡、兔若干只，从上面看，共有看，共有21个头；从下面看，共有个头；从下面看，共有66只脚，问只脚，问鸡、兔各有多少只鸡、兔各有多少只解：设鸡解：设鸡x只，列方程只，列方程2x4（21-x）66解，得解，得x9所以兔的个数为：所以兔的个数为：21x12（只）（只）答：笼中有鸡答：笼中有鸡9只，兔只，兔12只只 2一个笼中装有鸡、兔若干只，从上面看，共有220 （3）李白街上走，提壶去买酒，遇）李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗店加一倍，见花喝一斗;三遇店和花，喝三遇店和花，喝光壶中酒，试问酒壶中原有多少酒光壶中酒，试问酒壶中原有多少酒?斗：斗：古代的一个计量单位；古代的一个计量单位；1斗斗=10升升 （3）李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见21解：设：设酒壶中原有解：设：设酒壶中原有x斗酒斗酒第一次遇店：第一次遇店：第一次遇花：第一次遇花：第二次遇店：第二次遇店：第二次遇花：第二次遇花：第三次遇店：第三次遇店：第三次遇花：第三次遇花：2x2x12x12（2x1）4x24x214x32（4x3）8x68x618x7列方程，得列方程，得8x70解，得解，得x0.875答：酒壶中原有答：酒壶中原有0.875斗酒斗酒解：设：设酒壶中原有x斗酒2x2x12x12（2x22例例2：一艘轮船在两个码头之间航行，顺：一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行需要水航行需要4小时，逆水行驶需要小时，逆水行驶需要5小时，水小时，水流的速度是流的速度是2千米千米/时，求轮船在静水中的行时，求轮船在静水中的行驶速度驶速度分析：已知两个码头之间的距离相等分析：已知两个码头之间的距离相等所以：顺流速度所以：顺流速度顺流时间逆流速度顺流时间逆流速度逆流时间逆流时间 例2：一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行需23去括号，得去括号，得4x85x10移项及合并同类项，得移项及合并同类项，得x18系数化为系数化为1，得，得x18答：船在静水中的行驶速度为答：船在静水中的行驶速度为18千米千米/时时解：设轮船在静水中的行驶速度为解：设轮船在静水中的行驶速度为x千米千米/时，时，则顺流速度为（则顺流速度为（x2）千米）千米/时，逆流速时，逆流速度为（度为（x2）千米）千米/时时可列方程可列方程4（x2）5（x2）去括号，得解：设轮船在静水中的行驶速度为x千米/时，24 常用的关系式 顺流时的速度=静水中的速度+水流的速度 逆流时的速度=静水中的速度-水流的速度 常用的关系式归纳25 （1）一艘轮船从一码头逆流而上，再顺流一艘轮船从一码头逆流而上，再顺流而下如果轮船在静水中的速度为每小时而下如果轮船在静水中的速度为每小时15千千米，水流速度为每小时米，水流速度为每小时3千米，那么这艘轮船最千米，那么这艘轮船最多开出多远然后返回才能保证在多开出多远然后返回才能保证在75小时内回小时内回到原码头？到原码头？解：设这艘轮船开出解：设这艘轮船开出x小时后多返回，才能小时后多返回，才能保证在保证在7.5小时内回到原码头小时内回到原码头列方程列方程（153）x（153）（7.5x）解，得：解，得：x4.5即轮船开出后：即轮船开出后：（153）x54（千米）（千米）后，返回才能保证在后，返回才能保证在7.5小时内回到原码头小时内回到原码头练一练练一练 （1）一艘轮船从一码头逆流而上，再顺流而下26 （2）甲、乙两人在一条长甲、乙两人在一条长400米的环形跑米的环形跑道上跑步甲的速度是道上跑步甲的速度是360米米/分，乙的速度是分，乙的速度是240米米/分分1.两人同时同地同向跑，多长时间两人第两人同时同地同向跑，多长时间两人第一次相遇，此时两人一共跑了几圈？一次相遇，此时两人一共跑了几圈？2.两人同时同地反向跑，几秒后两人第一两人同时同地反向跑，几秒后两人第一次相遇？次相遇？3.两人同时同向跑，甲先跑两人同时同向跑，甲先跑30秒，问还要秒，问还要多长时间两人第一次相遇？多长时间两人第一次相遇？4.两人同时同向跑，乙先跑两人同时同向跑，乙先跑30秒，问还要秒，问还要多长时间两人第一次相遇？多长时间两人第一次相遇？54011秒秒26秒秒 （2）甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上27 （3）一小船由）一小船由A港到港到B港顺流行驶航行港顺流行驶航行需需6h，由，由B港到港到A港逆流航行需要港逆流航行需要8h，一天，一天,小船从早晨小船从早晨6时由时由A港出发顺流到达港出发顺流到达B港时，港时，发现救生圈在途中掉落了水中，立即返回发现救生圈在途中掉落了水中，立即返回,1h后找到救生圈后找到救生圈1.若小船按水流速度由若小船按水流速度由A港漂流到港漂流到B港港,需要多长时间需要多长时间?2.救生圈是在什么时候掉入水中的救生圈是在什么时候掉入水中的?48小时小时11时时 （3）一小船由A港到B港顺流行驶航行需6h，28 例例3：（1）某工厂计划用某工厂计划用26小时生产小时生产一批零件，后因每小时多生产一批零件，后因每小时多生产5件，用件，用24小小时不但完成了任务，而且比原计划多生产时不但完成了任务，而且比原计划多生产了了60件，问原计划生产多少件零件？件，问原计划生产多少件零件？分析：原计划生产分析：原计划生产x件零件，所以件零件，所以计划每小时生产零件数计划每小时生产零件数26实际每小时生产实际每小时生产零件数零件数2460 例3：（1）某工厂计划用26小时生产一批零件29解：设原计划每小时生产解：设原计划每小时生产x件零件，列方程件零件，列方程24x（x+5）6026x去括号，得去括号，得24x+120-6026x移项及合并同类项，得移项及合并同类项，得2x60系数化成系数化成1,得得x30所以原计划所以原计划2630780（件）（件）答：原计划生产答：原计划生产780件零件件零件解：设原计划每小时生产x件零件，列方程30 （2）一个服装车间，共有）一个服装车间，共有90人，每人每人，每人每小时加工小时加工1件衣服或件衣服或2条裤子，问怎样安排工条裤子，问怎样安排工作才能使衣服和裤子正好配套？（一件衣服作才能使衣服和裤子正好配套？（一件衣服配一条裤子）配一条裤子）分析：为了使分析：为了使每天生产的衣服和每天生产的衣服和裤子正好配套，应裤子正好配套，应使生产的衣服和裤使生产的衣服和裤子数量相等子数量相等 （2）一个服装车间，共有90人，每人每小时加31解：设做衣服人数为解：设做衣服人数为x人，则做裤子的人数人，则做裤子的人数为（为（90 x）人列方程）人列方程x=2（90 x）去括号，得去括号，得x1802x移项及合并同类项，得移项及合并同类项，得3x180系数化为系数化为1,得得x60所以做裤子的人数为：所以做裤子的人数为：60 x20（人）（人）答：做衣服人的人数为答：做衣服人的人数为40人，做裤子的人人，做裤子的人为为20人人 解：设做衣服人数为x人，则做裤子的人数为（932 （1）某车间每天能生产甲种零件）某车间每天能生产甲种零件100个，或个，或者乙种零件者乙种零件100个甲、乙两种零件分别取个甲、乙两种零件分别取3个、个、2个才能配成一套要在个才能配成一套要在30天内生产最多的成套产天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？解：设生产甲种零件解：设生产甲种零件x天，列方程：天，列方程：2100 x3100（30 x）解，得：解，得：x18则生产乙种零件的天数为：则生产乙种零件的天数为：30 x12（天）（天）答：应安排生产甲种零件答：应安排生产甲种零件18天，乙种零天，乙种零件件12天天练一练练一练 （1）某车间每天能生产甲种零件100个，或者乙33 （2）某水利工地派）某水利工地派40人去挖土和运土，如人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土果每人每天平均挖土5方或运土方或运土3方，那么应怎方，那么应怎样安排人员，正好能使挖出的土及时运走？样安排人员，正好能使挖出的土及时运走？解：设每天派解：设每天派x人挖土，列方程人挖土，列方程5x3（40 x）解，得解，得x15所以每天运土人数为所以每天运土人数为:40 x25（人）（人）答：每天派答：每天派15人挖土，人挖土，25人运土，正好人运土，正好能使挖出的土及时运走能使挖出的土及时运走 （2）某水利工地派40人去挖土和运土，如果每人每34 （3）用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒）用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身身16个或制盒底个或制盒底45个一个盒身与两个盒底配成一个一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒现有套罐头盒现有100张白铁皮，用多少张制盒身，张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以既使做出的盒身和盒底配套，多少张制盒底，可以既使做出的盒身和盒底配套，又能充分地利用白铁皮？又能充分地利用白铁皮？解：设解：设x张白铁皮做盒身张白铁皮做盒身,列方程列方程216x45（100 x）解，得解，得x60则做盒底的铁皮为：则做盒底的铁皮为：100 x40（张）（张）答：用答：用60张白铁皮做盒身，张白铁皮做盒身，40张白铁皮做张白铁皮做盒底盒底 （3）用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身16个35 目前初中数学主要分成代数与几何两大部分，其中代数学的最大特点是引人了未知数，建立方程，对未知数加以运算而最早提出这一思想并加以举例论述的，是古代数学名著算术一书，其作者是古希腊后期数学家一“代数学之父”丢番图 目前初中数学主要分成代数与几何两大部分，其中代36 丢番图是希腊数学家，他的13卷巨著算术在代数符号、数论、代数方程解法等方面均有重要贡献，其不定方程理论对后世产生了巨大影响，以至后人把整系数不定方程称为“丢番图方程”关于丢番图的生平，我们仅能从其墓志铭中略知梗概，这篇墓志铭本身就是一个有趣的数学问题，因为被4世纪数学家麦特劳德尔收入一部数学问题集中，得以流传至今：丢番图的生平丢番图的生平读一读读一读 丢番图是希腊数学家，他的13卷巨著算37 这是一座石墓，里面安葬着丢番图请你告诉我，丢番图寿数几何？他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭五年之后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲一半的年龄晚年丧子老人真可怜，悲痛之中渡过风烛残年请你告诉我，丢番图寿数几何？这是一座石墓，38解：设丢番图去世时的年龄为解：设丢番图去世时的年龄为x岁，由题意岁，由题意可列方程可列方程怎样使这个方程转化为x=a的形式？请你列出方程算一算，丢番图去世请你列出方程算一算，丢番图去世时的年龄？时的年龄？解：设丢番图去世时的年龄为x岁，由题意可列方程怎样使这39 分析：分析：为使方程变为整系数方程，方程两边为使方程变为整系数方程，方程两边应该同乘以什么数？应该同乘以什么数？各分母的最小公倍数各分母的最小公倍数84.分析：各分母的最小公倍数84.40去分母（方程两边同乘各去分母（方程两边同乘各分母的最小分倍数）分母的最小分倍数）移项移项系数化为系数化为1答：丢番图去世时的年龄为答：丢番图去世时的年龄为84岁岁合并同类项合并同类项14x7x12x42042x33684x14x7x12x42x84x42033621x756x84解：解：去分母（方程两边同乘各分母的最小分倍数）移项 系数化为1 41这件珍贵的文物是纸莎草文书，是古代埃这件珍贵的文物是纸莎草文书，是古代埃及人用象形文字写在一种特殊的草上的著作，及人用象形文字写在一种特殊的草上的著作，至今已有至今已有37003700多年的历史了，在文书中记载了多年的历史了，在文书中记载了许多有关数学的问题许多有关数学的问题问题：问题：一个数，它的一个数，它的三分之二，它的一半，它三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，的七分之一，它的全部，加起来总共是加起来总共是33 这件珍贵的文物是纸莎草文书，是古代埃及人用42解：设这个数为解：设这个数为x，可得方程：，可得方程：为使方程变为整系数方程，方程为使方程变为整系数方程，方程两边应该同乘以什么数？两边应该同乘以什么数？各分母的最小公倍数各分母的最小公倍数42解：设这个数为x，可得方程：为使方程变43解：去分母，得解：去分母，得28x21x6x42x1386合并同类项，得合并同类项，得97x1386系数化为系数化为1，得，得解：去分母，得44去分母时须注意 1.确定各分母的最小公倍数；2.不要漏乘没有分母的项；3.去掉分母后，若分子是多项式，要加括号，视多项式为一整体 归纳去分母时须注意45解有分数系数的一元一次方程的步骤：1去分母；2去括号；3移项；4合并同类项；5系数化为1主要依据：等式的性质和运算律等以上步骤是不以上步骤是不是一定要顺序是一定要顺序进行，缺一不进行，缺一不可？可？解有分数系数的一元一次方程的步骤：主要依据：等式的性质和运算46 （1）碧空万里，一群大雁在飞翔，迎面又飞来）碧空万里，一群大雁在飞翔，迎面又飞来一只小灰雁，它对群雁说：一只小灰雁，它对群雁说：“你们好，百只雁！你你们好，百只雁！你们百雁齐飞，好气派！可怜我是孤雁独飞们百雁齐飞，好气派！可怜我是孤雁独飞”群雁群雁中一只领头的老雁说：中一只领头的老雁说：“不对！小朋友，我们远远不对！小朋友，我们远远不足不足100只将我们这一群加倍，再加上半群，又加只将我们这一群加倍，再加上半群，又加上四分之一群，最后还得请你也凑上，那才一共是上四分之一群，最后还得请你也凑上，那才一共是100只呢，请问这群大雁有多少只？只呢，请问这群大雁有多少只？解：设这群大雁有解：设这群大雁有x只，只，列方程列方程解方程，得解方程，得x36提示：提示：练一练练一练 （1）碧空万里，一群大雁在飞翔，迎面又飞来一只小47 （2）火车用）火车用26秒的时间通过一个长秒的时间通过一个长256米米的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口）的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以，这列火车又以16秒的时间通过了长秒的时间通过了长96米的米的隧道，求火车的长度隧道，求火车的长度解：设火车长度为解：设火车长度为x米，列方程米，列方程解，得解，得x160答：火车的长度为答：火车的长度为160米米 （2）火车用26秒的时间通过一个长256米的隧道48例例4：解方程：解方程解：去分母（方程两边同乘解：去分母（方程两边同乘12），得），得3（x1）4（2x5）312去括号，得去括号，得3x38x2036移项，得移项，得3x8x36320合并同类项，得合并同类项，得5x13系数化为系数化为1,得得例4：解方程 解：去分母（方程两边同乘12），得49解：去分母（方程两边同乘解：去分母（方程两边同乘12），得），得4（x4）12x5124（x3）3（x1）去括号，得去括号，得4x1612x604x123x3移项，得移项，得4x12x4x3x1231660合并同类项，得合并同类项，得17x53系数化为系数化为1,得得解：去分母（方程两边同乘12），得50解：去分母（两边同乘解：去分母（两边同乘12），得），得8（x6）3（2x3）2去括号，得去括号，得8x486x92移项，得移项，得8x6x9248合并同类项，得合并同类项，得14x37系数化为系数化为1,得得解：去分母（两边同乘12），得51解下列方程：解下列方程：练一练练一练解下列方程：练一练52
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