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2-12.1 支路电流分析法支路电流分析法2.2 等效变换等效变换 第二章第二章 简单电阻电路分析简单电阻电路分析2.3 入端电阻入端电阻 2-22.1.1支路的基本方程支路的基本方程对于有对于有n个节点、个节点、b条支路的条支路的电路，要求解支路电流和电压，电路，要求解支路电流和电压，未知量共有未知量共有2b个。只要列出个。只要列出2b个个独立的电路方程，便可以求解这独立的电路方程，便可以求解这2b个变量。个变量。举例说明：举例说明：b=6n=4独立方程数应为独立方程数应为2b=12个。个。支路电流法支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路方程分析电以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。路的方法。2.1 支路电流分析法支路电流分析法(branch current method)R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS12342-3(1)标定各支路电流、电压的参考方向标定各支路电流、电压的参考方向u1=R1i1，u2=R2i2，u3=R3i3，u4=R4i4，u5=R5i5，u6=uS+R6i6(1)(b=6，6个方程，关联参考方向个方程，关联参考方向)(2)对节点，根据对节点，根据KCL列方程列方程节点节点 1：i1+i2 i6=0节点节点 2：i2+i3+i4=0节点节点 3：i4 i5+i6=0节点节点 4：i1 i3+i5=0(2)式式(2)中中的的4个个方方程程相相加加，将将得得到到0=0的的结结果果，即即4个个方方程程是是不不独独立立的的，因因每每个个支支路路电电流流总总是是从从一一个个节节点点流流入入，而而从从另另一一个个节节点点流流出出。但但任任取取其其中中3个个方方程程都都是是独独立立的的，所所以以，独立方程数为独立方程数为n1=41=3个。个。(出为正，进为负出为正，进为负)R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS12342-4 对对有有n个个节节点点的的电电路路，就就有有n个个KCL方方程程。每每条条支支路路对对应应于于两两个个节节点点,支支路路电电流流一一个个流流进进,一一个个流流出出。如如果果将将n个个节节点点电电流流方方程程式式相相加加必必得得0=0，所所以以独独立立节节点点数数最最多多为为(n1)（等等于于树树支支数数）。可可以以证证明明：此此数数目目恰恰为为(n1)个个。即即 n个个方方程程中中的任何一个方程都可以从其余的任何一个方程都可以从其余(n1)个方程推出个方程推出 来。来。一般情况：一般情况：独立节点：独立节点：与独立方程对应的节点。与独立方程对应的节点。任选任选(n1)个节点即为独立节点。个节点即为独立节点。对上例，尚缺对上例，尚缺2b-b b-(-(n n-1)=-1)=b b-(-(n n-1)=6-(4-1)=3-1)=6-(4-1)=3个独立个独立方程。可由方程。可由KVLKVL，对回路列支路电压方程得到。对回路列支路电压方程得到。独立节点数等于树支数独立节点数等于树支数2-53(3)选选定定图图示示的的3个个网网孔孔为为独独立立回回路路，列写列写KVL方程。方程。回路回路1：u1+u2+u3=0回路回路2：u3+u4 u5=0回路回路3：u1+u5+u6=0(3)可以检验，式可以检验，式(3)的的3个方程是独个方程是独立的，即所选的回路是独立的。立的，即所选的回路是独立的。独立回路独立回路：独立方程所对应的回路。：独立方程所对应的回路。12R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS12342-6 i1+i2 i6=0 i2+i3+i4=0 i4 i5+i6=0R1 i1+R2 i2+R3 i3=0R3 i3+R4 i4 R5 i5=0 R1 i1+R5 i5+R6 i6 uS=0KCLKVL*支路电压支路电压？综综合合式式(1)、(2)和和(3)，便便得得到到所所需需的的6+3+3=6=2b个个独独立立方方程程。将将式式(1)的的6个个支支路路方方程程代代入入式式(3)，消消去去6个个支支路路电电压压，便得到关于支路电流的方程如下：便得到关于支路电流的方程如下：*支路电压支路电压？R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS12342-7独立回路的选取：独立回路的选取：每每增增选选一一个个回回路路使使这这个个回回路路至至少少具具有有一一条条新新支支路路。因因这这样样所所建建立立的的方方程程不不可可能能由由原原来来方方程程导导出出，所所以以，肯肯定定是是独独立立的的(充充分分条条件件)。以以后后可可以以证证明明:用用KVL只只能能列列出出b(n1)个独立回路电压方程（等于连支数）。个独立回路电压方程（等于连支数）。对对平面电路平面电路，b(n1)个网孔即是一组独立回路。个网孔即是一组独立回路。1435253241平面电路。平面电路。b=12n=8KCL：7KVL：5与一条新支路有矛盾与一条新支路有矛盾是是充充分分条条件件非必要条件非必要条件2-8平面电路平面电路：可以画在平面上：可以画在平面上,不出现支路交叉的电路。不出现支路交叉的电路。非平面电路非平面电路：在平面上无论将电路怎样画，总有支：在平面上无论将电路怎样画，总有支路相互交叉。路相互交叉。是平面电路是平面电路 总有支路相互交叉总有支路相互交叉是非平面电路是非平面电路2-92.1.2支路电流法支路电流法(1)标定各支路电流、电压的参考方向；标定各支路电流、电压的参考方向；(2)选定选定(n1)个节点个节点，列写其，列写其KCL方程；方程；(3)选定选定b(n1)个独立回路，列写其个独立回路，列写其KVL方程；方程；(元件特性代入元件特性代入)(4)求解上述方程，得到求解上述方程，得到b个支路电流；个支路电流；(5)其它分析。其它分析。支路电流法的特点：支路电流法的特点：支支路路电电流流法法是是最最基基本本的的方方法法，在在方方程程数数目目不不多多的的情情况况下下可可以以使使用用。由由于于支支路路电电流流法法要要同同时时列列写写 KCL和和KVL方方程程，所所以以方方程程数数较较多多，且且规规律律性性不不强强(相相对对于于后后面面的的方方法法)，手工求解比较繁琐，也不便于计算机编程求解。，手工求解比较繁琐，也不便于计算机编程求解。支路电流法的一般步骤：支路电流法的一般步骤：2-10123例例2-1-1列写支路电流方程。列写支路电流方程。b=5,n=3KCL方程：方程：-i1+i2+i3=0 (1)-i3+i4-i5=0 (2)R1 i1+R2i2 =uS1 (3)-R2 i2+R3i3+R4 i4=0 (4)-R4 i4-R5 i5=uS5 (5)KVL方程：方程：选网孔为独立回路选网孔为独立回路解解:i1i3uS1R1R2R3ba+i2i5i4cR4uS5+R52-11解解:含受控源电路的支路电流方程的列写含受控源电路的支路电流方程的列写方程列写分两步：方程列写分两步：(1)先先将将受受控控源源看看作作独独立立源源列方程；列方程；(2)将将控控制制量量用用未未知知量量表表示示，并并代代入入(1)中中所所列列的的方方程程，消去中间变量。消去中间变量。KCL方程：方程：-i1-i2+i3+i4=0 (1)-i3-i4+i5 i6=0 (2)例例3.R4 u2i1i3uS i1R1R2R3ba+i2i6i5uci4+R5+u22-12KVL方程：方程：R1i1-R2i2=uS (3)R2i2+R3i3+R5i5=0 (4)R3i3-R4i4=u2 (5)R5i5=u (6)补充方程：补充方程：i6=i1 (7)u2=-R2i2 (8)另一方法：去掉方程另一方法：去掉方程(6)。3214i1i3uS i1R1R2R3ba+i2i6i5uci4+R5+u2R4 u22-13例例2-1-2用支路电流法计算各支路电流及各电源提供的功率。用支路电流法计算各支路电流及各电源提供的功率。KCL方程：方程：i1+i2+i3=0解解:KVL方程：方程：2i3-i2 =-10+2u3-2i1+2i3=-10+20 u3=-2 i3解之得解之得i1=5.625 Ai3=0.625 Ai2=6.25 AP10V =10(0.625)=6.25WP20V =20(5.625)=112.5WP受控源受控源 =2(2)(0.625)(6.25)=15.625Wi1i320V2u32 10V+i22 1+u3122-14123例例2.含理想电流源支路时支路电流方程的列写。含理想电流源支路时支路电流方程的列写。b=5,n=3KCL方程：方程：-i1-i2+i3=0 (1)-i3+i4-i5=0 (2)R1 i1-R2i2 =uS (3)R2 i2+R3i3+R4 i4=0 (4)-R4 i4+u=0 (5)i5=iS (6)KVL方程：方程：*理理想想电电流流源源的的处处理理：由由于于i5=iS，所所以以在在选选择择独独立立回回路路时时，可可不不选含此支路的回路。选含此支路的回路。对对此此例例，可可不不选选回回路路3，即即去去掉掉方程方程(5)，而只列，而只列(1)(4)及及(6)。解解:i1i3uSiSR1R2R3ba+i2i5i4ucR42-15KCL：i1+i2+9=0方法方法(1)增设未知量增设未知量u求支路电流求支路电流i1和和i2。解解:例例2-1-3i1+12i2+对两个网孔列写对两个网孔列写KVL：方法方法(2)KCL：i1+i2+9=0对外回路列写对外回路列写KVL：联立求解得联立求解得2-16(1)端口端口(port)端端口口指指电电路路引引出出的的一一对对端端钮钮，其其中中从从一一个个端端钮钮(如如a)流流入入的的电电流流一一定定等等于于从从另另一一端钮端钮(如如b)流出的电流。流出的电流。Nabii(2)一端口电路一端口电路(亦称二端电路亦称二端电路)电路与外部电路只有一对端钮电路与外部电路只有一对端钮(或一个端口或一个端口)联接。联接。(3)含源含源(active)与无源与无源(passive)一端口电路一端口电路内部含有独立电源的一端口电路称为内部含有独立电源的一端口电路称为含源一端口电路。含源一端口电路。内部内部不不含有独立电源的一端口电路称为含有独立电源的一端口电路称为无源一端口。无源一端口。2.2 等效变换等效变换2.2.1等效电路的概念等效电路的概念2-17(4)等效的概念等效的概念若若i1=i2、u1=u2，则则N1与与N2电路等效。电路等效。N1(a)i1任意任意外电路外电路N+_u1N2(b)i2任意任意外电路外电路N+_u2推广：若推广：若N1与与N2电路等效，电路等效，N2与与N3电路等效，则电路等效，则N1与与N3电路也等效。电路也等效。应用等效变换，可将结构复杂的电路变换成结构简应用等效变换，可将结构复杂的电路变换成结构简单的电路，从而简化分析。单的电路，从而简化分析。2-18 一个无源二端电阻网络可以用端口的入端电阻来一个无源二端电阻网络可以用端口的入端电阻来等效等效。无无源源+U_IR等效等效+U_IR等效等效=U/I2.2.2 电阻的串联和并联电阻的串联和并联2-19一、一、电阻串联电阻串联(Series Connection of Resistors)1.电路特点电路特点:+_R1Rn+_uki+_u1+_unuRk(a)各电阻顺序连接，流过同一电流各电阻顺序连接，流过同一电流(KCL)；(b)总电压等于各串联电阻的电压之和总电压等于各串联电阻的电压之和(KVL)。2-202.等效电阻等效电阻Req等效等效u+_ReqiKVL u=u1+u2+uk+unuk=Rk i(k=1,2,n)结论结论：Req=(R1+R2+Rn)=Rku=(R1+R2+Rk+Rn)i=Reqi串联串联电路的电路的总电阻总电阻等于各等于各分电阻之和。分电阻之和。+_R1Rn+_uki+_u1+_unuRk2-213.串联电阻上电压的分配串联电阻上电压的分配+_uR1R2+_u1+_u2i由由即即电压与电阻成正比电压与电阻成正比故有故有例例：两个电阻分压：两个电阻分压,如下图如下图(注意方向注意方向!)2-22二、电阻并联二、电阻并联(Parallel Connection)inR1R2RkRni+ui1i2ik_1.电路特点电路特点:(a)各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压(KVL)；(b)总电流等于流过各并联电阻的电流之和总电流等于流过各并联电阻的电流之和(KCL)。2-232.等效电阻等效电阻Req等效等效+u_iReq由由KCL:i=i1+i2+ik+in=u/Req故有故有即即1/Req=1/R1+1/R2+1/Rn令令 G=1/R,称为称为电导电导Geq=G1+G2+Gk+Gn=Gk=1/RkinR1R2RkRni+ui1i2ik_2-24Rin=1.36.513故故 R=1/G=113 1.3 6.5 Rin=?3.并联电阻的电流分配并联电阻的电流分配由由即即 电流分配与电导成正比电流分配与电导成正比知知 对于两电阻并联，对于两电阻并联，R1R2i1i2i有有2-25三、三、电阻的混联电阻的混联要求要求：弄清楚串、并联的概念。：弄清楚串、并联的概念。例例1.2 4 3 6 R 计算举例：计算举例：R=4(2+36)=2 2-26 R=(4040+303030)=30 40 30 30 40 30 R40 40 30 30 30 R例例2.2-27例例3.3 2 3 1 a3 Sb求开关求开关S闭合和断开时的等效电阻闭合和断开时的等效电阻Rab解：解：开关开关S闭合时，闭合时，3个个3 电阻电阻被短接。被短接。R ab=(12)=2/3 2 1 ab2-28开关开关S打开时，打开时，3个个3 电阻并联。电阻并联。R ab=2(1+1)=1 3 2 3 1 a3 Sbacc2 1 ab3 3 3 c1 2-29一、平衡电桥电路一、平衡电桥电路R5电桥平衡条件电桥平衡条件2.2.3 星形与三角形电阻网络的等效变换星形与三角形电阻网络的等效变换图图2-2-6 电桥电路电桥电路baR1R4R3R2cdi52-30图图2-2-7 平衡电桥的一种平衡电桥的一种等效电路等效电路图图2-2-8 平衡电桥的另一平衡电桥的另一种等效电路种等效电路baR1R4R3R2cdbaR1R4R3R2cd2-31例例4 求二端电路的等效电阻求二端电路的等效电阻Rab。ba(a)14 cd12 5 8 10 5 6 ba(b)12 cd6 8 5 10 5 14 ba(c)cd5 10 12 6 2-32二、星形与三角形电阻网络的等效变换二、星形与三角形电阻网络的等效变换无无源源三端无源网络三端无源网络:引出三个端钮的网络，引出三个端钮的网络，并且内部没有独立源。并且内部没有独立源。三端无源网络的两个例子：三端无源网络的两个例子：，Y网络：网络：Y型型网络网络 型型网络网络 i1 R12R31R23i3 i2 123+u12 u23 u31 R1R2R3i1Yi2Yi3Y123+u12Yu23Yu31Y2-33下面是下面是 ，Y 网络的变形：网络的变形：型电路型电路(型型)T 型电路型电路(Y 型型)这两种电路都可以用下面的这两种电路都可以用下面的 Y 变换方法来做。变换方法来做。下下面面要要证证明明：这这两两个个电电路路当当它它们们的的电电阻阻满满足足一一定定的的关关系系时时，是能够相互等效的。是能够相互等效的。等效的条件等效的条件:i1 =i1Y,i2 =i2Y,i3 =i3Y,且且 u12 =u12Y,u23 =u23Y,u31 =u31Y 2-34Y接接:用电流表示电压用电流表示电压u12Y=R1i1YR2i2Y 接接:用电压表示电流用电压表示电流i1Y+i2Y+i3Y=0 u31Y=R3i3Y R1i1Y u23Y=R2i2Y R3i3Y i3 =u31 /R31 u23 /R23i2 =u23 /R23 u12 /R12i1 =u12 /R12 u31 /R31(1)(2)i1 R12R31R23i3 i2 123+u12 u23 u31 R1R2R3i1Yi2Yi3Y123+u12Yu23Yu31Y2-35由式由式(2)解得：解得：i3 =u31 /R31 u23 /R23i2 =u23 /R23 u12 /R12i1 =u12 /R12 u31 /R31(1)(3)根据等效条件，比较式根据等效条件，比较式(3)与式与式(1)，得由，得由Y接接接的变换结果：接的变换结果：或2-36类似可得到由类似可得到由 接接 Y接的变换结果：接的变换结果：或上上述述结结果果可可从从原原始始方方程程出出发发导导出出，也也可可由由Y接接 接接的变换结果直接得到。的变换结果直接得到。2-37简记方法：简记方法：特例：若三个电阻相等特例：若三个电阻相等(对称对称)，则有，则有 R =3RY(外大内小外大内小)13或或注意注意：(1)等效对外部等效对外部(端钮以外端钮以外)有效，对内不成立。有效，对内不成立。(2)等效电路与外部电路无关。等效电路与外部电路无关。2-38应用：简化电路应用：简化电路例例5.桥桥 T 电路电路1k 1k 1k 1k RE1/3k 1/3k 1k RE1/3k 1k RE3k 3k 3k 2-39例例6.双双 T 网络网络2-40例例2-2-1 求求10欧电阻所在支路的电流欧电阻所在支路的电流I.图图2-2-11 例例2-2-1图图5485cd10(a)10V+IabRaRcd(b)Rdo48c10V+ab2-412.2.4 实际电源的两种模型及其等效变换实际电源的两种模型及其等效变换实际电压源（戴维南电路）、实际电流源（诺顿电路）实际电压源（戴维南电路）、实际电流源（诺顿电路）两种模型可以进行等效变换，所谓的两种模型可以进行等效变换，所谓的等效等效是指是指端口的电压、端口的电压、电流在转换过程中保持不变。电流在转换过程中保持不变。u=uS Rs ii=iS u/RPi=uS/Rs u/Rs 通过比较，得等效的条件：通过比较，得等效的条件：iS=uS/Rs ,RS=RPiRP+u_iSi+_uSRs+u_2-42由电压源变换为电流源：由电压源变换为电流源：转换转换转换转换由电流源变换为电压源：由电流源变换为电压源：注意参考方向！注意参考方向！iRS+u_iSi+_uSRs+u_iRS+u_iSi+_uSRs+u_2-43 IS iS iS iS (2)所谓的所谓的等效等效是对是对外部电路外部电路等效，对等效，对内部电路内部电路是不等效的。是不等效的。注意注意：开路的电流源可以有电流流过并联电导开路的电流源可以有电流流过并联电导GP。电流源短路时电流源短路时,并联电导并联电导GP中无电流。中无电流。电压源短路时，电阻电压源短路时，电阻Rs中有电流；中有电流；开路的电压源中无电流流过开路的电压源中无电流流过 Rs；ISiGPiS(1)方向：电流源电流方向与电压源电压方向相反。方向：电流源电流方向与电压源电压方向相反。iSiSiSGPiiS(3)独立电压源与独立电流源不能相互转换。独立电压源与独立电流源不能相互转换。2-44例例2-2-2.求求I_4V4A4 8 I_+8V4 6A(a)+2 _4V(b)2A4 8 I4 6A+2 _4A_4V(c)8 I2+2 _4A4A4V(d)8 I2+2 4A+8V_2-45例例2-2-2.求求I_(e)8 I4 4A+4V4V(d)8 I2+2 4A+8V_(f)8 I4 4A1A(g)8 I4 3A2-46例例2-2-3.简化电路，使它具有最简形式。简化电路，使它具有最简形式。8 4+_U(a)6 I8 4+_U(b)6 I+_6I12+_U(c)6 I0.5I(e)+_UII6 4+_U(d)I2I+_2-47独立电压源与支路并联的等效电路独立电压源与支路并联的等效电路电压源与支路并联的等效变换电压源与支路并联的等效变换 u+_uSiR+_u+_uSi+_iS(a)独立电压源与任一独立电压源与任一 一端口并联的等效电路一端口并联的等效电路+_uSi+_u(a)N+_uS+_u(b)i+_uS+_u(b)i2-48例例2-2-4.求求I1、I2、I3及此三条支路所吸收的功率。及此三条支路所吸收的功率。解解.求出等效电路（求出等效电路（b）_7V5A12 8 I2_+25V(a)+16 I1I3+_9V8 I2_+25V(b)16 I1I3+_9V2-49电流源与支路串联的等效电路电流源与支路串联的等效电路电流源与支路串联的等效变换电流源与支路串联的等效变换 _iSRi+_uiSi+u+_uS(a)iS+_iu(b)电流源与任一电流源与任一 一端口串联的等效电路一端口串联的等效电路iSi+_u(a)NiS+_iu(b)2-506A+_U+_+_5 5 10V10VU=20V例例11.求求U2A55 6A+_U2-51一、无伴电压源的转移一、无伴电压源的转移R3us+R2R1R5R4(a)R5R3+R2R1R4(b)usus+R4R3us+R2R1R5(c)+usR3us+R2R5R4(d)+us+us2.2.5 无伴电源的等效变换无伴电源的等效变换2-52BAD1V5 5(e)+例例2-2-5 求支路电压求支路电压10V转移转移CBAD10V2A4(b)+10VC5 3 4 CBAD+10V2A(a)5 3 4 4 BAD2A(c)2.5A5 3 4 4 BAD6V(d)5V+2 5 3 2-53二、无伴电流源的转移二、无伴电流源的转移is(a)isisisis(b)isisis(c)is2-54例例2-2-6.求等效求等效Y型连接电路。型连接电路。(d)1A0.5 1 2A3A1/3 3A(a)6V+_2 1+_2V+_3V3(b)1A2 1 2A3A3(c)1A0.5 1 2A3A1/3 2-55例例2-2-6求等效求等效Y型连接电路。型连接电路。(d)1A0.5 1 2A3A1/3 3A(e)2A0.5 1 1A1/3(f)2A0.5 1 1A1/3 1A2A(g)2V0.5 1 1/3V_+_1/3 0.5V2-56入端电阻入端电阻2.3 2.3 入端电阻入端电阻R=u/i+u_iR(b)+uiN0_(a)2-57求入端电阻的一些方法求入端电阻的一些方法例例2-3-1 求入端电阻求入端电阻(a)R=1+3.5=4.5 解法一：解法一：图图2-3-2 例例2-3-1图图R+3 RbRdRcRa1 4 8 6 7 2-58解法二：解法二：设设i1=1A例例2-3-1 求入端电阻求入端电阻R+3 RbRdRcRa1 4 8 6 7 iu5+1 i1i2i3i4u+u6+u4+u2u3+u1+i53 4 8 7 6 2-59例例 13.求求 a,b 两端的入端电阻两端的入端电阻 Rab(b b 1)解：解：含受控源的电路通常有两种含受控源的电路通常有两种求入端电阻的方法求入端电阻的方法 加压求流法加压求流法 加流求压法加流求压法下面用下面用加流求压法加流求压法求求RabRab=U/I=(1-b b)R当当b b0，正电阻，正电阻正电阻正电阻负电阻负电阻uib bIIab+U_RU=(I-b bI)R=(1-b-b)IR当当b b1,Rab0，负电阻，负电阻2-60例例2-3-2 求求Rab由（由（a)-(c)解：解：方法一：找等电位点方法一：找等电位点(a)RabodcefhgRRRRRRRRRRaboc(d)e(f)hgRRRRRRR(b)RRRRabc(d)e(f)2R(c)上下对称电路对称点为等电位点，上下对称电路对称点为等电位点，左右对称电路中分线为等电位点。左右对称电路中分线为等电位点。2-61RabodcefRRR2RRRR(d)RRR2Rh2h1g1g2RabRRR2RRRR(e)RRR2R例例2-3-2求求Rab由由(d)-(e)方法二：找可断开点。将中间方法二：找可断开点。将中间R变为两个变为两个2R并联，则并联，则g1g2、h1h2之间无电流，可断开。之间无电流，可断开。(a)RabodcefhgRRRRRRRRRR2-622i1i1u4(c)+2 2+iRinu3i14(a)+6 3 2+i1i例例2-3-3 求求Rin解：解：i1ui14(b)+6 3 2 iii1u4(d)+4 控制量转移控制量转移 i1=u/4iu 2(e)+2-63例例2-3-4.求求RinRin2 5(a)6 i2i联立求解：联立求解：解：采用加流求压法解：采用加流求压法iS5(b)6 i2i+_ui12 2-64第二章作业：第二章作业：2-9,2-10,2-20,2-21
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